第四節 條件概率先由一個簡單的例子引入條件概率的概念.分布圖示 概念引入 條件概率的定義 例1 例2 乘法公式 例3 例4 例5 例6 全概率公式 例7 例8 例9 例10 貝葉斯公式 例11 例12 例13 例14 例15 例16 內容小結 課堂練習 習題1-4內容要點 一、條件概率的概念在解決許多概率問題時,往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率. 如在事件發生的條件下,求事件發生的條件概率,記作.定義1 設是兩個事件, 且, 則稱 (1)為在事件發生的條件下,事件的條件概率.相應地，把稱為無條件概率。一般地，.注: 1. 用維恩圖表達(1)式.若事件已發生,則為使也發生,試驗結果必須是既在中又在中的樣本點,即此點必屬于.因已知已發生,故成為計算條件概率新的樣本空間.2. 計算條件概率有兩種方法:a) 在縮減的樣本空間中求事件的概率，就得到；b) 在樣本空間中，先求事件和，再按定義計算。二、條件概率的定義三、乘法公式由條件概率的定義立即得到: (2)注意到, 及的對稱性可得到: (3)(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計算兩個事件同時發生的概率. 四、全概率公式 全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發生的簡單事件的概率的求和問題。定理1 設是一個完備事件組,且則對任一事件,有注: 全概率公式可用于計算較復雜事件的概率, 公式指出: 在復雜情況下直接計算不易時,可根據具體情況構造一組完備事件, 使事件發生的概率是各事件發生條件下引起事件發生的概率的總和.五、貝葉斯公式利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題,即,一事件已經發生,要考察該事件發生的各種原因、情況或途徑的可能性. 例如,有三個放有不同數量和顏色的球的箱子,現從任一箱中任意摸出一球,發現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.或問:該球取自哪號箱的可能性最大?定理2 設是一完備事件組,則對任一事件,有 貝葉斯公式注: 公式中,和分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.是在沒有進一步信息(不知道事件是否發生)的情況下諸事件發生的概率.當獲得新的信息(知道發生),人們對諸事件發生的概率有了新的估計. 貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化. 特別地,若取,并記, 則,于是公式成為例題選講條件概率例1 (E01) 一袋中裝有10個球, 其中3個黑球, 7個白球, 先后兩次從袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.解記為事件“第次取到的是黑球” (1)在已知發生, 即第一次取到的是黑球的條件下, 第二次取球就在剩下的2個黑球、7個白球共9個球中任取一個, 根據古典概率計算, 取到黑球的概率為2/9, 即有(2)在已知發生, 即第二次取到的是黑球的條件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球發生在第二次取球之前, 故問題的結構不像(1)那么直觀.我們可按定義計算更方便一些.由 例2 (E02) 袋中有5個球, 其中3個紅球2個白球. 現從袋中不放回地連取兩個. 已知第一次取得紅球時, 求第二次取得白球的概率.解法1設表示“第一次取得紅球”, 表示“第二次取得白球”, 依題意要求縮減樣本空間中的樣本點數, 即第一次取得紅球的取法為 其中, 第二次取得白球的取法有種, 所以也可以直接用公式(1)計算, 因為第一次取走了一個紅球, 袋中只剩下4個球, 其中有兩個白球, 再從中任取一個, 取得白球的概率為2/4, 所以解法2設表示“第一次取得紅球”, 表示 “第二次取得白球”, 求在5個球中不放回連取兩球的取法有種, 其中, 第一次取得紅球的取法有種, 第一次取得紅球第二次取得白球的取法有種, 所以由定義得乘法公式例3 (E03) 一袋中裝10個球, 其中3個黑球、7個白球, 先后兩次從中隨意各取一球(不放回), 求兩次取到的均為黑球的概率.分析：這一概率, 我們曾用古典概型方法計算過, 這里我們使用乘法公式來計算. 在本例中, 問題本身提供了兩步完成一個試驗的結構, 這恰恰與乘法公式的形式相應, 合理地利用問題本身的結構來使用乘法公式往往是使問題得到簡化的關鍵.解設表示事件“第次取到的是黑球” 則表示事件“兩次取到的均為黑球”. 由題設知于是根據乘法公式, 有例4設袋中裝有只紅球, 只白球.每次自袋中任取一只球, 觀察其顏色然后放回, 并再放入只與所取出的那只球同色的球. 若在袋中連續取球四次, 試求第一, 二次取到紅球且第三, 四次取到白球的概率.解以表示事件 “第次取到紅球”, 則分別表示事件第三、四次取到白球. 所求概率為例5(E04) 一批燈泡共100只, 其中10只是次品, 其余為正品. 作不放回抽取, 每次取一只, 求第三次才取到正品的概率.解 設第次取到正品，第三次取到正品，則于是 所以，第三次才取到正品的概率為0.0083.例6 已知 ， 試求解 由乘法公式, 因此 又因為 所以 從而全概率公式 例7一袋中裝有10個球, 其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.解這一概率, 我們前面在古典概型中已計算過, 這里我們用一種新的方法來計算. 將事件 “第二次取到的是黑球” 根據第一次取球的情況分解成兩個互不相容的部分, 分別計算其概率, 再求和. 記為事件 “第一、二次取到的是黑球”, 則有由題設易知 于是 例8 (E05) 人們為了解一支股票未來一定時期內價格的變化, 往往會去分析影響股票價格的基本因素, 比如利率的變化. 現假設人們經分析估計利率下調的概率為60%, 利率不變的概率為40%. 根據經驗, 人們估計, 在利率下調的情況下, 該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下, 其價格上漲的概率為40%, 求該支股票將上漲的概率.解記為事件“利率下調”, 那么即為 “利率不變”, 記為事件“股票價格上漲”. 依題設知 于是例9 某商店收進甲廠生產的產品30箱，乙廠生產的同種產品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06, 乙廠每箱裝120個, 廢品率為0.05, 求: (1) 任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；(2) 若將所有產品開箱混放,求任取一個為廢品的概率.解記事件分別為甲、乙兩廠的產品, 為廢品, 則(1) 由全概率公式, 得 (2) 由全概率公式, 得 例10(E06) 有三個罐子,1號裝有2紅1黑共3個球,2號裝有3紅1黑共4個球,3號裝有2紅2黑共4個球.如下圖. 某人從中隨機取一罐，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率.213解 記 =球取自 i 號罐,i=1, 2, 3; A =取得紅球.因為A 發生總是伴隨著 ,之一同時發生, ,是樣本空間的一個劃分依題意: P(A|)=2/3, P(A| )=3/4,P(A| )=1/2,代入數據計算得：P(A) 0.639 . 貝葉斯公式 例11(E07) 對于例10，若取出的一球是紅球，試求該紅球是從第一個罐中取出的概率.解 仍然用例11的記號.要求,由貝葉斯公式知例12 一袋中裝有10個球, 其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），假設已知二次取到的球為黑球, 求“第一次取到的也是黑球”的概率.解設 “第一次取到的是黑球” 這一事件為 “第二次取到的是黑球”這一事件為則問題歸結為求條件概率 根據貝葉斯公式, 有據題涉及例7的結果易知從而 例13 對以往數據分析結果表明, 當機器調整得良好時, 產品的合格率為98%, 而當機器發生某種故障時, 其合格率為55%. 每天早上機器開動時, 機器調整良好的概率為95%. 試求已知某日早上第一件產品是合格時, 機器調整得良好的概率是多少?解設為事件“產品合格”, 為事件“機器調整良好”.所求的概率為這就是說, 當生產出第一件產品是合格時, 此時機器調整良好的概率為0.97. 這里, 概率0.95是由以往的數據分析得到的, 叫做先驗概率.而在得到信息(即生產的第一件產品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做叫做后驗概率.例14 設某批產品中, 甲, 乙, 丙三廠生產的產品分別占45%, 35%, 20%, 各廠的產品的次品率分別為4%, 2%, 5%, 現從中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率;(2) 經檢驗發現取到的產品為次品, 求該產品是甲廠生產的概率. 解記事件“該產品是次品”, 事件“該產品為乙廠生產的”, 事件“該產品為丙廠生產的”, 事件“該產品是次品”. 由題設, 知(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式(或條件概率定義), 得例15 根據以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“試驗反應為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有現在對自然人群進行普查, 設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005, 即, 試求解 由題設, 有由貝葉斯公式, 得注:本題表明,雖然這兩個概率都比較高,但 即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人確患癌癥.例16 8支步槍中有5支已校準過，3支未校準. 一名射手用校準過的槍射擊時