現代控制理論 控制系統的狀態空間分析與綜合 2 引論 經典控制理論 數學模型 線性定常高階微分方程和傳遞函數 分析方法 時域法 低階1 3階 根軌跡法頻域法適應領域 單輸入 單輸出 SISO 線性定常系統缺點 只能反映輸入 輸出間的外部特性 難以揭示系統內部的結構和運行狀態 現代控制理論 數學模型 以一階微分方程組成差分方程組表示的動態方程分析方法 精準的時域分析法適應領域 1 多輸入 多輸出系統 MIMO SISO MISO SIMO 2 非線性系統 3 時變系統優越性 1 能描述系統內部的運行狀態 2 便于考慮初始條件 與傳遞函數比較 3 適用于多變量 非線性 時變等復雜大型控制系統 4 便于計算機分析與計算 5 便于性能的最優化設計與控制內容 線性系統理論 最優控制 最優估計 系統辨識 自適應控制 近似分析 3 第一章控制系統的狀態空間描述 第二章線性系統的運動分析 第三章控制系統的李雅普諾夫穩定性分析 第四章線性系統的可控性和可觀測性 第五章線性系統非奇異線性變換及系統的規范分解 第六章線性定常控制系統的綜合分析 4 1 1系統數學描述的兩種基本方法1 2狀態空間描述常用的基本概念1 3系統的傳遞函數矩陣1 4線性定常系統動態方程的建立 第一章控制系統的狀態空間 5 典型控制系統方框圖 1 1系統數學描述的兩種基本方法 6 典型控制系統由被控對象 傳感器 執行器和控制器組成 被控過程具有若干輸入端和輸出端 數學描述方法 輸入 輸出描述 外部描述 高階微分方程 傳遞函數矩陣 狀態空間描述 內部描述 基于系統內部結構 是對系統的一種完整的描述 7 輸入 外部對系統的作用 激勵 控制 人為施加的激勵 輸入分控制與干擾 輸出 系統的被控量或從外部測量到的系統信息 若輸出是由傳感器測量得到的 又稱為觀測 狀態 狀態變量和狀態向量 能完整描述和唯一確定系統時域行為或運行過程的一組獨立 數目最小 的變量稱為系統的狀態 其中的各個變量稱為狀態變量 當狀態表示成以各狀態變量為分量組成的向量時 稱為狀態向量 狀態空間 以狀態向量的各個分量作為坐標軸所組成的n維空間稱為狀態空間 狀態軌線 系統在某個時刻的狀態 在狀態空間可以看作是一個點 隨著時間的推移 系統狀態不斷變化 并在狀態空間中描述出一條軌跡 這種軌跡稱為狀態軌線或狀態軌跡 狀態方程 描述系統狀態變量與輸入變量之間關系的一階向量微分或差分方程稱為系統的狀態方程 它不含輸入的微積分項 一般情況下 狀態方程既是非線性的 又是時變的 可以表示為輸出方程 描述系統輸出變量與系統狀態變量和輸入變量之間函數關系的代數方程稱為輸出方程 當輸出由傳感器得到時 又稱為觀測方程 輸出方程的一般形式為動態方程 狀態方程與輸出方程的組合稱為動態方程 又稱為狀態空間表達式 一般形式為 1 2狀態空間描述常用的基本概念 8 或離散形式 線性系統 線性系統的狀態方程是一階向量線性微分或差分方程 輸出方程是向量代數方程 線性連續時間系統動態方程的一般形式為線性定常系統 線性系統的A B C D或G H C D中的各元素全部是常數 即 或離散形式 若有 9 分別寫出狀態矩陣A 控制矩陣B 輸出矩陣C 前饋矩陣D 已知 為書寫方便 常把連續系統和離散系統分別簡記為S A B C D 和S G H C D 線性系統的結構圖 線性系統的動態方程常用結構圖表示 圖中 I為 單位矩陣 s是拉普拉斯算子 z為單位延時算子 10 討論 1 狀態變量的獨立性 2 由于狀態變量的選取不是唯一的 因此狀態方程 輸出方程 動態方程也都不是唯一的 但是 用獨立變量所描述的系統的維數應該是唯一的 與狀態變量的選取方法無關 3 動態方程對于系統的描述是充分的和完整的 即系統中的任何一個變量均可用狀態方程和輸出方程來描述 例1 1試確定圖8 5中 a b 所示電路的獨立狀態變量 圖中u i分別是是輸入電壓和輸入電流 y為輸出電壓 xi為電容器電壓或電感器電流 解并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨立變量 對圖8 5 a 不失一般性 假定電容器初始電壓值均為0 有 11 因此 只有一個變量是獨立的 狀態變量只能選其中一個 即用其中的任意一個變量作為狀態變量便可以確定該電路的行為 實際上 三個串并聯的電容可以等效為一個電容 對圖 b x1 x2 因此兩者相關 電路只有兩個變量是獨立的 即 x1和x3 或 x2和x3 可以任用其中一組變量如 x2 x3 作為狀態變量 12 令初始條件為零 對線性定常系統的動態方程進行拉氏變換 可以得到 系統的傳遞函數矩陣 簡稱傳遞矩陣 定義為 例1 2已知系統動態方程為 試求系統的傳遞函數矩陣 解已知 故 1 3系統的傳遞函數矩陣 13 1 4 1由物理模型建動態方程根據系統物理模型建立動態方程 1 4線性定常系統動態方程的建立 RLC電路 例1 3試列寫如圖所示RLC的電路方程 選擇幾組狀態變量并建立相應的動態方程 并就所選狀態變量間的關系進行討論 解有明確物理意義的常用變量主要有 電流 電阻器電壓 電容器的電壓與電荷 電感器的電壓與磁通 根據獨立性要求 電阻器的電壓與電流 電容器的電壓與電荷 電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統的狀態 根據回路電壓定律 電路輸出量y為 1 設狀態變量為電感器電流和電容器電壓 即則狀態方程為 輸出方程為 14 其向量 矩陣形式為 簡記為 式中 2 設狀態變量為電容器電流和電荷 即則有 3 設狀態變量 無明確意義的物理量 可以推出 15 其向量 矩陣形式為 可見對同一系統 狀態變量的選擇不具有唯一性 動態方程也不是唯一的 例1 4由質量塊 彈簧 阻尼器組成的雙輸入三輸出機械位移系統如圖所示 具有力F和阻尼器氣缸速度V兩種外作用 輸出量為質量塊的位移 速度和加速度 試列寫該系統的動態方程 分別為質量 彈簧剛度 阻尼系數 x為質量塊位移 雙輸入 三輸出機械位移系統 解根據牛頓力學可知 系統所受外力F與慣性力m 阻尼力f V 和彈簧恢復力構成平衡關系 系統微分方程如下 這是一個二階系統 若已知質量塊的初始位移和初始速度 系統在輸入作用下的解便可唯一確定 故選擇質量塊的位移和速度作為狀態變量 設 由題意知系統有三個輸出量 設 16 于是由系統微分方程可以導出系統狀態方程 其向量 矩陣形式為 1 4 2由高階微分方程建動態方程1 微分方程不含輸入量的導數項 選n個狀態變量為有 得到動態方程 17 式中 系統的狀態變量圖 2 微分方程輸入量中含有導數項 一般輸入導數項的次數小于或等于系統的階數n 首先研究情況 為了避免在狀態方程中出現輸入導數項 可按如下規則選擇一組狀態變量 設 例1 5 18 其展開式為 式中 是n個待定常數 是n個 由上式的第一個方程可得輸出方程是n個 其余 n 個狀態方程如下n個 對 式求導 有 19 由展開式將均以及u的各階導數表示 經整理可得 令上式中u的各階導數的系數為零 可確定各h值 記 故 則系統的動態方程為 式中 20 若輸入量中僅含 次導數且 可將高于 次導數項的系數置0 仍可應用上述公式 1 4 3由系統傳遞函數建立動態方程 應用綜合除法有 式中 是直接聯系輸入 輸出量的前饋系數 當G s 的分母次數大于分子次數時 是嚴格有理真分式 其分子各次項的系數分別為 下面介紹由導出幾種標準型動態方程的方法 1 串聯分解如圖 取z為中間變量 將分解為相串聯的兩部分 有 選取狀態變量 21 則狀態方程為 輸出方程為 其向量 矩陣形式 式中 當具有以上形狀時 陣稱為友矩陣 相應的狀態方程則稱為可控標準型 時 的形式不變 22 當時 不變 當時 若按下式選取狀態變量 式中 T為轉置符號 則有 注意的形狀特征 若動態方程中的具有這種形式 則稱為可觀測標準型 自行證明 可控標準型和可觀測標準型是同一傳遞函數的不同實現 可控標準型和可觀測標準型的狀態變量圖如圖 對偶關系 可控標準型狀態變量圖 可觀測標準型狀態變量圖 23 例1 6設二階系統微分方程為 試列寫可控標準型 可觀測標準型動態方程 并分別確定狀態變量與輸入 輸出量的關系 解系統的傳遞函數為 于是 可控標準型動態方程的各矩陣為 由G s 串聯分解并引入中間變量z有 對y求導并考慮上述關系式 則有 令可導出狀態變量與輸入 輸出量的關系 可觀測標準型動態方程中各矩陣為 24 狀態變量與輸入 輸出量的關系為 該系統的可控標準型與可觀測標準型的狀態變量圖 a 可控標準型實現 b 可觀測標準型實現 2 只含單實極點時的情況當只含單實極點時 動態方程除了可化為可控標準型或可觀測標準型以外 還可化為對角型動態方程 其A陣是一個對角陣 設D s 可分解為D s 式中 為系統的單實極點 則傳遞函數可展成部分分式之和 25 而 為在極點處的留數 且有Y s U s 若令狀態變量其反變換結果為 展開得 其向量 矩陣形式為 其狀態變量如圖 a 所示 26 若令狀態變量則Y s 進行反變換并展開有 其向量 矩陣形式為 其狀態變量圖如圖 b 所示 兩者存在對偶關系對角型動態方程狀態變量圖如下 27 a b 對角型動態方程狀態變量圖 3 含重實極點時的情況當傳遞函數除含單實極點之外還含有重實極點時 不僅可化為可控標準型或可觀測標準型 還可化為約當標準型動態方程 其A陣是一個含約當塊的矩陣 設D s 可分解為D s 式中為三重實極點 為單實極點 則傳遞函數可展成為下列部分分式之和 28 其狀態變量的選取方法與之含單實極點時相同 可分別得出向量 矩陣形式的動態方程 29 其對應的狀態變量圖如圖 a b 所示 上面兩式也存在對偶關系 約當型動態方程狀態變量圖 30 1 4 4由差分方程和脈沖傳遞函數建立離散動態方程單輸入 單輸出線性定常離散系統差分方程的一般形式為 兩端取z變換并整理得 G z 稱為脈沖傳遞函數 利用z變換關系和 可以得到動態方程為 簡記為 31 1 4 5由傳遞函數矩陣建動態方程 傳遞函數矩陣的實現 給定一傳遞函數矩陣G s 若有一系統 A B C D 能使成立 則稱系統 A B C D 是G s 的一個實現 這里僅限于單輸入 多輸出和多輸入 單輸出系統 SIMO系統的實現 單輸入 多輸出系統結構圖 1 系統可看作由q個獨立子系統組成 傳遞矩陣為 32 式中 d為常數向量 為不可約分的嚴格有理真分式 即分母階次大于分子階次 函數 通常 的特性并不相同 具有不同的分母 設最小公分母為 的一般形式為 將作串聯分解并引入中間變量Z 令若將A陣寫為友矩陣 便可得到可控標準型實現的狀態方程 每個子系統的輸出方程 33 每個子系統的輸出方程 可以看到 單輸入 q維輸出系統的輸入矩陣為q維列向量 輸出矩陣為 qn 矩陣 故不存在其對偶形式 即不存在可觀測標準型實現 MISO系統的實現 多輸入 單輸出系統結構圖 系統由p個獨立子系統組成 系統輸出由子系統輸出合成為 34 式中 同理設 的最小公分母為D s 則 若將A陣寫成友矩陣的轉置形式 便可得到可觀測標準型實現的動態方程 35 可見 p維輸入 單輸入系統的輸入矩陣為 np 矩陣輸出矩陣為一行矩陣 故不存在其對偶形式 即不存在可控標準型實現 例1 7已知單輸入 多輸出系統的傳遞函數矩陣為 求其傳遞矩陣的可控標準型實現及對角型實現 例1 7已知單輸入 多輸出系統的傳遞函數矩陣為 求其傳遞矩陣的可控標準型實現及對角型實現 解由于系統是單輸入 多輸出的 故輸入矩陣只有一列 輸出矩陣有兩行 將化為嚴格有理真分式 各元素的最小公分母D s 為 故 則可控標準型動態方程為 36 由可確定系統極點為 1 2 它們構成對角形狀態矩陣的元素 鑒于輸入矩陣只有一列 這里不能選取極點的留數來構成輸入矩陣 而只能取元素全為1的輸入矩陣 于是 對角型實現的狀態方程為 其輸出矩陣由極點對應的留數組成 在 1 2處的留數分別為 故其輸出方程為 37 本章作業 8 3 8 4 8 5 8 7 38 第二章線性系統的運動分析 2 1線性定常連續系統的自由運動2 2狀態轉移矩陣的性質2 3線性定常連續系統的受控運動2 4線性定常離散系統的分析2 5連續系統的離散化 39 在控制u 0情況下 線性定常系統由初始條件引起的運動稱為線性定常系統的自由運動 可由齊次狀態方程描述 齊次狀態方程求解方法 冪級數法 拉普拉斯變換法和凱萊 哈密頓定理法 冪級數法 設齊次方程的解是t的向量冪級數式中 都是n維向量 且 求導并考慮狀態方程 得 2 1線性定常連續系統的自由運動 等號兩邊對應的系數相等 有 40 故 定義 則 稱為矩陣指數函數 簡稱矩陣指數 又稱為狀態轉移矩陣 記為 求解齊次狀態方程的問題 核心就是計算狀態轉移矩陣的問題 拉普拉斯變換法 對進行拉氏變換 有 進行拉氏反變換 有 與相比有 它是的閉合形式 例2 1設系統狀態方程為 試用拉氏變換求解 解 41 狀態方程的解為 凱萊 哈密頓定理矩陣A滿足它自己的特征方程 即若設n階矩陣A的特征多項式為 則有 42 從該定理還可導出以下兩個推論 推論1矩陣A的次冪 可表為A的 n 1 階多項式 推論2矩陣指數可表為A的 n 1 階多項式 即 且各作為時間的函數是線性無關的 在式推論1中用A的特征值替代A后等式仍能滿足 利用上式和k個就可以確定待定系數 若互不相等 可寫出各所構成的n元一次方程組為 43 求解上式 可求得系數 它們都是時間t的函數 將其代入推論2式后即可得出 例2 2已知 求 解首先求A的特征值 將其代入 有 44 若矩陣A的特征值是m階的 則求解各系數的方程組的前m個方程可以寫成 其它由組成的 k m 個方程仍與第一種情況相同 它們上式聯立即可解出各待定系數 45 例2 3已知 求 解先求矩陣A的特征值 由得 46 2 2狀態轉移矩陣的性質 狀態轉移矩陣具有如下運算性質 1 2 3 4 表明與可交換 且 在式3 中 令便可證明 表明可分解為的乘積 且是可交換的 證明 由性質3 有 根據的這一性質 對于線性定常系統 顯然有 5 證明 由于 則 即由 轉移至 的狀態轉移矩陣為 47 6 證明 由 和 得到 7 8 若 則 證明 例2 4已知狀態轉移矩陣為 試求 解 根據狀態轉移矩陣的運算性質有 9 若 則 48 2 3線性定常連續系統的受控運動 線性定常系統的受控運動 線性定常系統在控制作用下的運動 數學描述為 主要有如下兩種解法 1 積分法由上式 由于 積分后有 即 式中 第一項為零輸入響應 第二項是零狀態響應 通過變量代換 上式又可表示為 若取作為初始時刻 則有 49 2 拉普拉斯變換法將式兩端取拉氏變換 有 進行拉氏反變換有 例2 5設系統狀態方程為 且 試求在 作用下狀態方程的解 解由于 前面已求得 50 51 2 4線性定常離散系統的分析 1 遞推法 線性定常系統 重寫系統的動態方程如下 令狀態方程中的k 0 1 k 1 可得到T 2T kT時刻的狀態 即 k 0 k 2 k 1 k k 1 于是 系統解為 52 2 5連續系統的離散化 2 5 1線性定常連續系統的離散化 已知線性定常連續系統狀態方程 在 及作用下的解為 令 則 令 則 并假定在區間內 于是其解化為 若記 變量代換得到 故離散化狀態方程為 式中 與連續狀態轉移矩陣 的關系為 53 2 5 2非線性時變系統的離散化及分析方法 對于非線性時變系統 常采用近似的離散化處理方法 當采樣周期T足夠小時 按導數定義有 代入 8 5a 得到離散化狀態方程 對于非線性時變系統 一般都是先離散化 然后再用遞推計算求數值解的方法進行系統的運動分析 本章作業 8 8 8 9 8 11 54 3 1李雅普諾夫穩定性概念3 2李雅普諾夫穩定性間接判別法3 3李雅普諾夫穩定性直接判別法3 4線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 第三章控制系統的李雅普諾夫穩定性分析 55 如果對于所有t 滿足的狀態稱為平衡狀態 平衡點 1 平衡狀態 3 1李雅普諾夫穩定性概念 平衡狀態的各分量不再隨時間變化 若已知狀態方程 令所求得的解x 便是平衡狀態 1 只有狀態穩定 輸出必然穩定 2 穩定性與輸入無關 2 李雅普諾夫穩定性定義 如果對于任意小的 0 均存在一個 當初始狀態滿足時 系統運動軌跡滿足lim 則稱該平衡狀態xe是李雅普諾夫意義下穩定的 簡稱是穩定的 表示狀態空間中x0點至xe點之間的距離 其數學表達式為 3 一致穩定性 通常 與 t0都有關 如果 與t0無關 則稱平衡狀態是一致穩定的 定常系統的 與t0無關 因此定常系統如果穩定 則一定是一致穩定的 56 4 漸近穩定性 系統的平衡狀態不僅具有李雅普若夫意義下的穩定性 且有 稱此平衡狀態是漸近穩定的 5 大范圍穩定性 當初始條件擴展至整個狀態空間 且具有穩定性時 稱此平衡狀態是大范圍穩定的 或全局穩定的 此時 6 不穩定性 不論 取得得多么小 只要在內有一條從x0出發的軌跡跨出 則稱此平衡狀態是不穩定的 注意 按李雅普諾夫意義下的穩定性定義 當系統作不衰減的振蕩運動時則認為是穩定的 同經典控制理論中的穩定性定義是有差異的 經典控制理論的穩定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩定 57 穩定性定義的平面幾何表示 設系統初始狀態x0位于平衡狀態xe為球心 半徑為 的閉球域內 如果系統穩定 則狀態方程的解在的過程中 都位于以xe為球心 半徑為 的閉球域內 a 李雅普諾夫意義下的穩定性 b 漸近穩定性 c 不穩定性 58 3 2李雅普諾夫穩定性間接判別法 李雅普諾夫第一法 間接法 是利用狀態方程解的特性來判斷系統穩定性的方法 它適用于線性定常 線性時變及可線性化的非線性系統 線性定常系統的特征值判據系統漸近穩定的充要條件是 系統矩陣A的全部特征值位于復平面左半部 即證明 略 59 李雅普諾夫第二法 直接法 基本原理 根據物理學原理 若系統貯存的能量 含動能與位能 隨時間推移而衰減 系統遲早會到達平衡狀態 實際系統的能量函數表達式相當難找 因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數 稱之為李雅普諾夫函數 它與及t有關 是一個標量函數 記以 若不顯含t 則記以 考慮到能量總大于零 故為正定函數 能量衰減特性用或表示 實踐表明 對于大多數系統 可先嘗試用二次型函數作為李雅普諾夫函數 3 3李雅普諾夫穩定性直接判別法 60 3 3 1標量函數定號性 正定性 標量函數在域S中對所有非零狀態有且 則稱均在域S內正定 如是正定的 負定性 標量函數在域S中對所有非零x有且 則稱在域S內負定 如是負定的 如果是負定的 則一定是正定的 負 正 半定性 且在域S內某些狀態處有 而其它狀態處均有 則稱在域S內負 正 半定 設為負半定 則為正半定 如為正半定不定性 在域S內可正可負 則稱不定 如是不定的 二次型函數是一類重要的標量函數 記 其中 P為對稱矩陣 有 61 當的各順序主子行列式均大于零時 即 則正定 且稱P為正定矩陣 當P的各順序主子行列式負 正相間時 即 則負定 且稱P為負定矩陣 若主子行列式含有等于零的情況 則為正半定或負半定 不屬以上所有情況的不定 62 設系統狀態方程為 其平衡狀態滿足 不失一般性地把狀態空間原點作為平衡狀態 并設在原點鄰域存在對x的連續一階偏導數 3 3 2李雅普諾夫第二法諸穩定性定理 定理1若 1 正定 2 負定 則原點是漸近穩定的 負定表示能量隨時間連續單調地衰減 故與漸近穩定性定義敘述一致 定理2若 1 正定 2 負半定 且在非零狀態不恒為零 則原點是漸近 穩定的 負半定表示在非零狀態存在 但在從初態出發的軌跡 上 不存在 的情況 于是系統將繼續運行至原點 狀態軌跡僅是經歷能量不變的狀態 而不 會維持在該狀態 定理3若 1 正定 2 負半定 且在非零狀態恒為零 則原點是李雅普 表示系統能維持等能量水平運行 使系統維持在非零狀態 沿狀態軌跡能維持 諾夫意義下穩定的 而不運行至原點 定理4若 1 正定 2 正定 則原點是不穩定的 正定表示能量函數隨時間增大 故狀態軌跡在原點鄰域發散 正定 當 正半定 且在非零狀態不恒為零時 則原點不穩 參考定理2可推論 定 63 注意 李雅普諾夫第二法諸穩定性定理所述條件都是充分條件 具體分析時 先構造一個李雅普諾夫函數 通常選二次型函數 求其導數 再將狀態方程代入 最后根據 是否有恒為零 令 將狀態方程代入 若能導出非零解 表示對 若導出的是全零解 表示只有原點滿足 的條件 的定號性判別穩定性 的條件是成立的 例3 1試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統的穩定性 解令 及 可以解得原點 是系統的唯一平衡狀態 則 將狀態方程代入有 顯然 負定 根據定理1 原點是漸近穩定的 鑒于只有一個平衡狀態 該非線性 與t無關 系統大范圍一致漸近穩定 取李雅普諾夫函數為 系統是大范圍漸近穩定的 因 判斷在非零狀態下 64 例3 2試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性 解令 得知原點是唯一的平衡狀態 選 則 當 時 當 時 故 不定 不能對穩定性作出判斷 應重選 選 則考慮狀態方程后得 對于非零狀態 如 存在 對于其余非零狀態 故 根據定理2 原點是漸近穩定的 且是大范圍一致漸近穩定 負半定 例3 3試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性 解由 可知原點是唯一平衡狀態 選 考慮狀態方程則有 對所有狀態 故系統是李雅普諾夫意義下穩定的 65 例3 4試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性 解原點是唯一平衡狀態 選 則 與 故存在非零狀態 如 使 而對其余任意狀態有 故 根據定理4的推論 系統不穩定 無關 正半定 解 是系統的唯一平衡狀態 方程中的常數項可以看作是階躍輸入作用的 得到 原狀態方程在 狀態空間 1 1 處穩定性判別問題就變成變換后狀態方程在X 對其求導考慮狀態方程得到 系統原點是大范圍一致漸近穩定的 因而原系統在平衡狀態 1 1 處是大 結果 作坐標變換 選 狀態空間原點處穩定性的判別問題 圍一致漸近穩定的 注意 一般不能用李雅普諾夫函數去直接判別非原點的平衡狀態穩定性 例3 5試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性 66 例3 6試判斷下列非線性系統平衡狀態的穩定性 解這實際上是一個可線性化的非線性系統的典型例子 令 得知系統有兩個平衡狀態 和 對位于原點的平衡狀態 選 于是 當 時 系統在原點處的平衡狀態是局部 根據定理4 當 時原點顯然是不穩定的 時原點也是不穩定的 從狀態方程直接看出 作坐標變換 得到新的狀態方程 因此 通過與原狀態方程對比可以斷定 對于原系統在狀態空間 處的平衡狀態 當 時是局部一致漸近穩定的 當 時是不穩定的 時也是不穩定的 一致漸近穩定的 或系統發散 也可以 當 對于平衡狀態 當 有 67 3 4線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 3 4 1連續系統漸近穩定的判別 設系統狀態方程為 平衡狀態 可以取下列正定二次型函數 作為李雅普諾夫函數 根據定理1 只要 正定 即 負定 則系統是大范圍一致漸近穩定的 于是線性 存在滿足式的 為非奇異矩陣 故原點是唯一 求導并考慮狀態方程 令 得到 定常連續系統漸近穩定的判定條件可表示為 給定一正定矩陣 正定矩陣 先指定正定的 陣 然后驗證 陣是否正定 注 68 定理5 證明從略 系統 漸近穩定的充要條件為 給定正定實對稱矩陣 正定實對稱矩陣 使式成立 存在 該定理為系統的漸近穩定性判斷帶來實用上的極大方便 例3 7試用李雅普諾夫方程確定使圖所示系統漸近穩定的 值范圍 例3 7系統框圖 解由圖示狀態變量列寫狀態方程 穩定性與輸入無關 可令 由于 非奇異 原點為唯一的平衡狀 為正半定矩陣 態 取 則 負半定 令 有 考慮狀態方程中 解得 考慮到 解得 表明唯有原點存在 69 令 展開的代數方程為6個 即 解得 使 正定的條件為 及 故 時 系統漸近穩定 由于是線性定 常系統 系統大范圍一致漸近穩定 70 3 4 2離散系統漸近穩定的判別 設系統狀態方程為 式中 以 代替 有 陣非奇異 原點 考慮狀態方程 有 是系統的一個李雅普諾夫函數 于是 式稱為李雅普諾夫代數方程 定理7系統 漸近穩定的充要條件是 給定任一正定實對稱矩陣 常 存在正定對稱矩陣 使式成立 令 取正定二次型函數 是平衡狀態 71 本章作業 8 14 8 15 72 可控性和可觀測性的概念 線性系統的可控性和可觀測性 線性定常系統的可控性 線性定常系統的可觀測性 可控性 可觀測性與傳遞函數矩陣的關系 返回 連續系統離散化后的可控性與可觀測性 73 4 1可控性和可觀測性的概念 可控性 如果系統所有狀態變量的運動都可以通過有限點的控制輸入來使其由任意的初態達到任意設定的終態 則稱系統是可控的 更確切的說是狀態可控的 否則 就稱系統是不完全可控的 簡稱為系統不可控 可觀性 如果系統所有的狀態變量任意形式的運動均可由有限點的輸出測量完全確定出來 則稱系統是可觀測的 簡稱為系統可觀測 反之 則稱系統是不完全可觀測的 簡稱為系統不可觀測 可控性與可觀測性的概念 是用狀態空間描述系統引伸出來的新概念 在現代控制理論中起著重要的作用 可控性 可觀測性與穩定性是現代控制系統的三大基本特性 第四章線性系統的可控性和可觀測性 74 下面舉幾個例子直觀地說明系統的可控性和可觀測性 上圖所示的結構圖 其中左圖顯見 受 的控制 但 與 無關 故系統不可 但 是受 影響的 能間接獲得 中圖中的 均受 的控制 故系統可控 但 與 中的 均受u的控制 且在 中均能觀測到 故系統是可控可觀測的 控 系統輸出量 的信息 故系統是可觀測的 無關 故系統不可觀測 又圖 只有少數簡單的系統可以從結構圖或信號流圖直接判別系統的可控性與可觀測性 如果系統結構 參數復雜 就只能借助于數學方法進行分析與研究 才能得到正確的結論 75 4 2線性定常系統的可控性 可控性分為狀態可控性和輸出可控性 若不特別指明 一般指狀態可控性 狀態可控性只與狀態方程有關 與輸出方程無關 4 2 1離散系統的可控性 1 單輸入離散系統 為導出系統可控性的條件 設單輸入系統狀態方程為 定義 其解為 由于 和 取值都可以是任意的 因此 的取值也可以是任意的 76 記 稱 為可控性矩陣 個方程中有 個未知數 稱為可控性判據 此為充要條件 當rankS1 n時 系統不可控 表示不存在能使任意 轉移至任意 的控制 4 1 或 則 4 2 式 4 1 是一個非齊次線性方程組 77 從以上推導看出 狀態可控性取決于 和 當 不受約束時 可控系統的狀態轉移 個采樣周期便可以完成 有時狀態轉移過程還可能少于 上述過程不僅導出了單輸入離散系統可控性條件 而且還給出了求取控制指 過程至多以 個采樣周期 令的具體方法 4 2 1多輸入離散系統 設系統狀態方程為 可控性矩陣為 多輸入線性定常散離系統狀態可控的充分必要條件是 或 4 1 78 的行數總小于列數 在列寫 時 若能知道 的秩為 便不必把 和列寫出來 階行列式 多輸入線性定常離散系統 轉移過程一般可少于 個采樣 周期 例8 30設單輸入線性定常散離系統狀態方程為 試判斷可控性 若初始狀態 確定使 的控制序列 研究使 的可能性 解由題意知 故該系統可控 技巧 便可確定可控性 2 利用 計算一次 1 的其余列 都計算 79 可按式 8 90 求出 令k 0 1 2 可得狀態序列 為了避免矩陣求逆 下面用遞推法來求 令 即解下列方程組 80 其系數矩陣即可控性矩陣S1 它的非奇異性可給出如下的解 若令 即解下列方程組 容易看出其系數矩陣的秩為2 但增廣矩陣 兩個秩不等 方程組無解 意為不能在第二個采樣周期內使給定初態轉移至原點 若 的秩為3 該兩個秩相等時 便意味著可用兩步完成狀態轉移 81 例8 31輸入線性定常離散系統的狀態方程為 試判斷可控性 設初始狀態為 研究使 的可能性 解 由前三列組成的矩陣的行列式不為零 故該系統可控 一定能求得控制使 給出 系統從任意初態在三步內轉移到原點 由 設初始狀態為 82 由于 可求得 在一步內使該初態轉移到原點 當初始狀態為 亦然 只是 但本例不能對任意初態 使之在一步內轉移到原點 時 4 2 1連續系統的可控性 1 單輸入系統 如果存在無約束的分段連續控制函數 從任意初態 轉移至任意終態 則稱該系統是狀態完全可控的 簡稱是可控的 間間隔內 設狀態方程為 定義 終態解為 顯然 的取值也是任意的 于是有 能使系統 定義 在有限時 83 利用凱萊 哈密頓定理的推論 有 令 則有 記 其狀態可控的充分必要條件是 2 多輸入系統 記可控性矩陣 狀態可控的充要條件為 或 84 例8 32試用可控性判據判斷圖8 20所示橋式電路的可控性 解選取狀態變量 電路的狀態方程如下 可控性矩陣為 當 時 系統可控 反之當 即電橋處于平衡狀態時 系統不可控 顯然 不能控制 85 圖8 20電橋電路圖8 21并聯電路 例8 33試用可控性判斷圖8 21并聯網絡的可控性 解網絡的微分方程為 式中 狀態方程為 于是 當 時 系統可控 當 有 系統不可控 實際上 設初始狀態 只能使 而不能將 與 分別轉移到不同的數值 即不能同時控制住兩個狀態 86 例8 34判斷下列狀態方程的可控性 解 顯見S4矩陣的第二 三行元素絕對值相同 3 A為對角陣或約當陣時的可控性判據 系統不可控 設二階系數A b矩陣為 其可控性矩陣S3的行列式為 由此可知 A陣對角化且有相異元素時 只需根據輸入矩陣沒有全零行即可判斷系統可控 時 則不能這樣判斷 這時 系統總是不可控的 若 87 又設二階系數A b矩陣為 其可控性矩陣S3的行列式為 矩陣中與約當塊最后一行所對應的行不是全零 由此可知 當A陣約當化且相同 矩陣中的其它行是否為零行是無關的 以上判斷方法可推廣到A陣對角化 約當化的n階系統 設系統狀態方程為 A為對角陣時的可控性判據可表為 A為對角陣且元素各異時 輸入矩陣不存在全零行 特征值分布在一個約當快時 只需根據輸入 行 即可判斷系統可控 與輸入 88 當A為對角陣且含有相同元素時 上述判據不適用 應根據可控性矩陣的秩來判斷 設系統狀態方程為 全零行 與約當塊其它行所對應的行允許是全零行 輸入矩陣中與相異特征值所對應的行不存在全零行 A陣約當化時的可控性判據可表為 輸入矩陣中與約 當A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當塊時 例如 適用 也應根據可控性矩陣的秩來判斷 以上判據不 當塊最后一行所對應的行不存在 89 例8 35下列系統是可控 1 2 3 例8 36下列系統不可控1 2 3 90 4 可控標準型問題 其可控性矩陣為 與該狀態方程對應的可控性矩陣 一定是可控的 這就是式 4 3 稱為可控標準型的由來 是一個右下三角陣 且其主對角線元素均為1 系統 4 3 91 4 3線性定常系統的可觀測性 4 3 1離散系統的狀態可觀測性 及 則稱系 因為是討論可觀性 可假設輸入為0 其解為 將 寫成展開式 定義 已知輸入向量序列 輸出向量序列 能唯一確 確定任意初始狀態向量 統是完全可觀測的 92 其向量 矩陣形式為 令 為線性定常離散系統可觀測性矩陣 可觀測的充分必要條件為 93 例8 37判斷下列線性定常離散系統的可觀測性 并討論可觀測性的物理解釋 其輸出矩陣取了兩種情況 解計算可觀測性矩陣V1 1 故系統可觀測 由輸出方程 由于 可見 在第k步便可由輸出確定狀態變量 故在第 k 1 步便可確定 由于 故在第 k 2 步便可確定 該系統為三階系統 可觀測意味著至多以三步便能由y k y k 1 y k 2 的輸出測量值來確定三個狀態變量 94 2 故系統不可觀測 由輸出方程 可看出三步的輸出測量值中始終不含 故是不可觀測狀態變量 只要有一個狀態變量不可觀測 稱系統不完全可觀測 簡稱不可觀測 連續系統的狀態可觀測性其定義為 已知輸入 及有限時間間隔 到的輸出 能唯一確定初始狀態 則稱系統是完全可觀測的 簡稱系統可觀測 內測量 95 4 3 2 連續系統的可觀測性 定義 已知輸入u t 及有限時間間隔 對于多輸入系統 狀態可觀測的充分必要條件是 或 均稱為可觀測性矩陣 96 4 3 3A為對角陣或約當陣時的可觀測性判據 1 單輸入對角二階系統 可觀測矩陣 的行列式為 判據 A陣對角化且有相異特征值時 只需根據輸出矩陣中沒有全零列即可判斷系統 時 則不能這樣判斷 這時 系統總是不可觀測的 可觀測 若 2 單輸入約當二階系統 則 97 有時A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當塊內時 例如 以上判斷方法不適用 以下推廣到A陣對角化 約當化的n階系統 設系統動態方程為 令u 0 式中 為系統相異特征值 狀態變量間解耦 輸出解為 判據 輸出矩陣中與約當塊最前一列所對應的列不是全零列 98 A為對角陣時可觀測判據 可表為 A為對角陣且元素各異時 輸出矩陣不 存在全零列 當A為對角陣但含有相同元素時 上述判據不適用 應根據可觀測矩陣的秩來判斷 設系統動態方程為 為二重特征值且構成一個約當塊 為相異特征值 動態方程解為 99 輸出矩陣中與約當塊最前一列對應的列不存在全零列 與約當塊其它列所對應的列允許是全零列 輸出矩陣中與相異特征值所對應的列不存在全零列 對于相同特征值分布在兩個或更多個約當塊內的情況 以上判據不適用 仍應用可觀測矩陣來判斷 故A為約當 例8 38下列系統可觀測 試自行說明 1 2 陣且相同特征值分布在一個約當塊內時 可觀測判據 100 例8 39下列系統不可觀測 試自行說明 1 2 4 3 4可觀測標準型問題動態方程中的A c矩陣具有下列形式 101 其可觀測性矩陣 V2是一個右下三角陣 系統一定可觀測 這就是形如 8 125 所示的A C 矩陣稱為可觀測標準型名稱的由來 一個可觀測系統 當A C陣不具有可觀測標準型時 也可選擇適當的變換化為可觀測標準型 102 4 4可控性 可觀測性與傳遞函數矩陣的關系 4 4 1SISO系統 當A陣具有相異特征值 時 通過線性變換定可是A對角化為 利用A陣對角化的可控 可觀測性判據可知 當 時 不可控 當 時 測 試看傳遞函數 所具有的相應特點 由于 不可觀 其中 令初始條件為零 來導出 乃是輸入至狀態向量之間的傳遞矩陣 這可由狀態方程 兩端取拉氏變換 當 時 不可控 則 矩陣一定會出現零 極點對消現象 103 如 是初始狀態至輸出向量之間的傳遞矩陣 當 時 不可觀測 則 也一定會出現零 極點對消現象 如 104 有以上分析可知 單輸入 單輸出系統可控可觀測的充要條件是 由動態方程導出的傳遞函數不存在零極點對消 即傳遞函數不可約 或系統可控的充要條件是 對消 系統可觀測的充要條件是 以上判據僅適用于單輸入 單輸出系統 對多輸入 多輸出系統一般不適用 不存在零極點 不存在零 極點對消 105 例8 40已知下列動態方程 試研究其可控性 可觀測性與傳遞函數的關系 1 2 3 106 解三個系統的傳遞函數均為 1 A b為可控標準型故可控不可觀測 2 A c為可觀測標準型 故可觀測不可控 3 由A陣對角化時的可控可觀測判據可知 系統不可控不可觀測 為不可控不可觀測的狀態變量 存在零 極點對消 例8 41設二階系統結構圖如圖所示 試用狀態空間及傳遞函數描述判斷系統的可控性與可觀測性 并說明傳遞函數描述的不完全性 解由結構圖列寫系統傳遞函數 系統結構圖 再寫成向量 矩陣形式的動態方程 由狀態可控性矩陣 及可觀測性矩陣 有 故不可控 107 故不可觀測 由傳遞矩陣 兩式均出現零極點對消 系統不可控 不可觀測 系統特征多項式為 二階系統的特征多項式是二次多項式 對消結果是二階系統降為一階 本系統原是不穩 系統穩定 定系統 含一個右特征值 但如果用對消后的傳遞函數來描述系統時 會誤認為 4 4 2MIMO系統多輸入 多輸出系統傳遞函數矩陣存在零極點對消時 系統并非一定是不可控或不可觀測的 需要利用傳遞函數矩陣中的行或列的線性相關性來判斷 108 傳遞函數矩陣的元素是s的多項式 設以下面列向量組來表示 若存在不全為零的時常數 使下式 成立 則稱函數 是線性相關的 若只有當 式 8 133 才成立 則稱函數 定理多輸入系統可控的充要條件是 定理多輸出系統可觀的充要條件是 8 132 8 133 全為零時 是線性無關的 的n行線性無關 的n行線性無關 109 例8 42試用傳遞矩陣判據判斷下列雙輸入 雙輸出系統的 解 寫出特征多項式 將矩陣中各元素的公因子提出矩陣符號外面以便判斷 若存在不全零的時常數 能使下列向量方程 故 成立 則稱三個行向量線性相關 若只有當 量線性無關 時上式才成立 則稱三個行向 可控性和可觀測性 110 運算時可先令上式成立 可分列出 解得 且 同冪項系數應相等 有 故只有 時才能滿足上述向量方程 于是可斷定 關 系統可控 由 令 的三行線性無 可分列為 解得 故 顯見 這時與傳遞矩陣出現零極點對消無關 利用可控性矩陣及可觀測性矩陣的判據 的三列線性無關 系統可觀測 可得相同結論 111 例8 43試用傳遞矩陣判據判斷下列單輸入 單輸出系統的可控性 可觀測性 解 故 令 分列出 解得 可為任意值 112 于是能求得不全零的 使上述代數方程滿足 故 系統不可控 該單輸入系統 存在零極點對消 由此同樣得出不可控的結論 令 可分列為 解得 可見存在不全零的 滿足上述代數方程 故 不可觀測 此時 也存在零極點對消 同樣得出不可觀測的結論 的三行線性相關 由 的三列線性相關 系統 113 4 5連續系統離散化后的可控性與可觀測性一個可控的連續系統 當其離散化后并不一定能保持其可控性 一個可觀測的連續系統 離散化后并也不一定能保持其可觀測性 下面舉例說明 設連續系統動態方程為 其狀態轉移矩陣為 其離散化狀態方程為 它是可控標準型 故一定可控 離散化系統的可控性矩陣為 114 當采樣周期 時 可控性矩陣為零陣 系統不可控 故離散化系統的 采樣周期選擇不當時 便不能保持原連續系統的可控性 當連續系統狀態方程不可控時 不管采樣周期T如何選擇 離散化系統一定是不可控的 讀者可自行證明 離散后的系統 不可觀測 115 線性系統的非奇異線性變換及其性質 幾種常見的線性變換 對偶原理 線性系統的規范分解 返回 線性系統非奇異線性變換及系統的規范分解 緒論 116 第五章線性系統非奇異線性變換及系統的規范分解為了便于研究系統固有特性 曾經引入過多種非奇異線性變換 如經常要將A陣對角化 約當化 將系統化為可控標準型 可觀測標準型也需要進行線性變換 為了便于分析與設計 需要對動態方程進行規范分解 如何變換 變換后 系統的固有特性是否會引起改變呢 117 5 1線性系統的非奇異線性變換及其性質 5 1 1非奇異線性變換 設系統動態方程為 令 非奇異矩陣P 將狀態 變換為狀態 變換后動態方程 則有 并稱為對系統進行P變換 線性變換的目的在于使 特性 簡化分析 計算與設計 在系統建模 可控性 可觀測性 穩定性分析 系統綜合設計方面特別有用 非奇異線性變換不會改變系統的固有性質 所以它是等價變換 待計算出所需結果之后 再引入反變換 終結果 陣或系統規范化 以便于揭示系統 將新系統變回原來的狀態空間中去 獲得最 118 5 1 2非奇異線性變換性質系統經過非奇異線性變換 系統的特征值 傳遞矩陣 可控性 可觀測性等重要性質均保持不變性 下面進行證明 變換后系統傳遞矩陣不變證明 列出變換后系統傳遞矩陣 變換前后的系統傳遞矩陣相同 119 2 線性變換后系統特征值不變證明變換后系統的特征多項式 變換前后的特征多項式相同 故特征值不變 由此 非奇異變換后 系統的穩定性不變 3 變換后系統可控性不變證明變換后系統可控性陣的秩 變換前后的可控性矩陣的秩相同 故可控性不變 120 4 變換后系統可觀測性不變證明列出變換后可可觀測性矩陣的秩 變換前后可觀測性矩陣的秩相同 故可觀測性不變 證明 5 121 5 2幾種常用的線性變換 5 2 1化A為對角陣1 A陣為任意方陣 且有互異實數特征根 則由非奇異變換可將其化為對角 P由特征向量 組成 特征向量滿足 陣 2 A陣為友矩陣 且有互異實數特征根 則用范德蒙特 Vandermode 矩陣 P可以將A對角化 122 3 A為任意方陣 有m重實數特征根 異實數特征根 但在求解 時 仍有m個獨立的特征向量 則仍可以將A化為對角陣 其余 n m 個特征根為互 式中 是互異實數特征根 對應的特征向量 8 144 123 5 2 2化A為約當陣1 A陣有m重實數特征根 根 但重根只有一個獨立的特征向量 時 只能將A化為約當陣J 式中 分別是互異實數特征根 對應的特征向量 而 是廣義特征向量 可由下式求得 其余 n m 個特征根為互異實數特征 124 2 A陣為友矩陣 具有m重實數特征根 互異實數特征根 但重根只有一個獨立的特征向量 時 將A約當陣化的P陣為 其余 n m 個特征根為 3 A陣有五重特征根 但有兩個獨立特征向量 特征根 一般可化A為如下形式的約當陣J 其余 n 5 個特征根為互異 125 5 2 3化可控狀態方程為可控標準型前面曾對單輸入 單輸出建立了如下的可控標準型狀態方程 與該狀態方程對應的可控性矩陣 是一個右下三角陣 且其主對角線元素均為1 一個可控系統 當A b不具有可控標準型時 定可選擇適當的變換化為可控標準型 變換 即令 設系統狀態方程為 進行 126 狀態方程變換為 要求 4 4 根據A陣變換要求 P應滿足式 4 4 即 設變換矩陣為 127 展開之 增補一個方程 整理后 得到變換矩陣為 另根據b陣變換要求 P應滿足式 4 4 有 即 故 該式表示 是可控性矩陣逆陣的最后一行 128 于是可以得到變換矩陣P的求法如計算可控性矩陣 2 計算可控性矩陣的逆陣 3 取出 的最后一行 即第n行 構成 行向量 4 按下列方式構造P陣 任意矩陣A化為對角型 然后再將對角陣化為友矩陣的方法將A為友矩陣 5 便是將普通可控狀態方程可化為可控標準型狀態方程的變換矩陣 當然 也可先將 129 5 3對偶原理設有系統 則稱系統 為系統 的對偶系統 其動態方程分別為 式中 x z均為n維狀態向量 u w均為p維 y v均為q維 注意到系統與對偶系統之 為 的對偶系統時 也是 的對偶系統 間 其輸入 輸出向量的維數是相交換的 當 如果系統 可控 則 必然可觀測 如果系統 可觀測 則 是對偶原理 必然可控 反之亦然 這就 實際上 不難驗證 系統 的可控性矩陣與對偶系統 的可觀測性矩陣完全相同 系 的可觀測性矩陣與對偶系統 在動態方程建模 系統可控性和可觀測性的判別 系統線性變換等問題上 應用對偶原理 往往可以使問題得到簡化 統 的可控性矩陣完全相同 130 設單輸入 單輸出系統動態方程為 系統可觀測 但 不是可觀測標準型 其對偶系統動態方程為 對偶系統一定可控 但不是可控標準型 可利用可控標準型變換的原理和步驟 先將對偶系統化為可控標準型 再一次使用對偶原理 便可獲得可觀測標準型 下面僅給出其計算步驟 1 列出對偶系統的可控性矩陣 及原系統的可觀測性矩陣 2 求 的逆陣 且記為行向量組 3 取 的第n行 并按下列規則構造變換矩陣 131 4 求P的逆陣 并引入 變換即 變換后動態方程為 5 對對偶系統再利用對偶原理 便可獲得原系統的可觀測標準型 結果為 8 170 8 169 與原系統動態方程相比較 可知將原系統化為可觀測標準型需進行變換 即令 式中 8 172 為原系統可觀測性矩陣的逆陣中第n行的轉置 8 171 132 5 4線性系統的規范分解不可控系統含有可控