從前有個聰明的孩子叫王戎 他7歲時 與小伙伴們外出游玩 看到路邊的李樹上結滿了果子 小伙伴們紛紛去摘取果子 只有王戎站在原地不動 有人問王戎為什么 王戎回答說 樹在道邊而多子 此必苦李 小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李 王戎是怎樣知道李子是苦的呢 他運用了怎樣的推理方法 小故事 路邊苦李 假設 李子甜 樹在道邊則李子少 與已知條件 樹在道邊而多子 產生矛盾 假設 李子甜 不成立 所以 樹在道邊而多子 此必為苦李 是正確的 王戎推理方法是 4 4反證法 先假設命題不成立 從這樣的假設出發 經過推理得出和已知條件矛盾 或者與定義 公理 定理等矛盾 從而得出假設命題不成立 是錯誤的 即所求證的命題正確 在證明一個命題時 人們有時 反證法定義 這種證明方法叫做反證法 寫出下列各結論的反面 1 a b 2 a 0 3 b是正數 4 a b 5 至多有一個 6 至少有三個 7 至少有一個 8 至少有n個 a 0 b是0或負數 a不垂直于b 一個也沒有 至少有兩個 至多有兩個 至多有 n 1 個 例 求證 在同一平面內 如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交 那么和另一條也相交 已知 直線l1 l2 l3在同一平面內 且l1 l2 l3與l1相交于點p 求證 l3與l2相交 證明 假設 即 因為已知 這與 矛盾 所以假設不成立 即求證的命題正確 l3與l2不相交 l3 l2 l1 l2 經過直線外一點 有且只有一條直線平行于已知直線 所以過直線l2外一點p 有兩條直線和l2平行 所以l3與l2相交 定理 反證法的一般步驟 假設命題結論不成立 假設不成立 假設命題結論反面成立 與已知條件矛盾 假設 推理得出的結論 與定理 定義 公理矛盾 所證命題成立 寫出下列各結論的反面 1 a b 2 a 0 3 b是正數 4 a b 5 至多有一個 6 至少有三個 7 至少有一個 8 至少有n個 a 0 b是0或負數 a不垂直于b 一個也沒有 至少有兩個 至多有兩個 至多有 n 1 個 用反證法證明 填空 在三角形的內角中 至少有一個角大于或等于 已知 如圖 是 的內角 求證 中至少有一個角大于或等于 度 證明 假設所求證的結論不成立 即 則 度這于 矛盾所以假設命題 所以 所求證的結論成立 三角形的內角和等于 不成立 試試看 合作學習 求證 在同一平面內 如果兩條直線都和第三條直線平行 那么這兩條直線也互相平行 1 你首先會選擇哪一種證明方法 2 如果選擇反證法 先怎樣假設 結果和什么產生矛盾 已知 如圖 l1 l2 l2 l3 求證 l l l l l l 則過點p就有兩條直線l l 都與l 平行 這與 經過直線外一點 有且只有一條直線平行于已知直線 矛盾 證明 假設l 不平行l 則l 與l 相交 設交點為p p 所以假設不成立 所求證的結論成立 即l l 合作學習 求證 在同一平面內 如果兩條直線都和第三條直線平行 那么這兩條直線也互相平行 定理 3 不用反證法證明 已知 如圖 l1 l2 l2 l3 求證 l1 l3 l b l1 l2 l2 l3 已知 2 1 1 3 兩直線平行 同位角相等 證明 作直線l 分別與直線l1 l2 l3交于于點a b c 2 3 等式性質 l1 l3 同位角相等 兩直線平行 l c a 已知 如圖 直線l與l1 l2 l3都相交 且l1 l3 l2 l3 求證 1 2 l1 l2 l3 l 1 2 學以致用 試一試 1 2 兩直線平行 同位角相等 這與已知的 1 2矛盾 假設不成立 證明 假設結論不成立 則a b 如圖 在 abc中 若 c是直角 那么 b一定是銳角 你能用反證法證明以下命題嗎 延伸拓展 證明 假設結論不成立 則 b是 或 這與 矛盾 當 b是 時 則 這與 矛盾 直角 鈍角 直角 b c 180 三角形的三個內角和等于180 鈍角 b c 180 三角形的三個內角和等于180 當 b是 時 則 綜上所述 假設不成立 b一定是銳角 先假設命題不成立 從這樣的假設出發 經過推理得出和已知條件矛盾 或者與定義 公理 定理等矛盾 從而得出假設命題不成立 是錯誤的 即所求證的命題正確 在證明一個命題時 人們有時 反證法定義 這種證明方法叫做反證法 常用的互為否定的表述方式 是 不是 存在 不存在平行 不平行 垂直 不垂直等于 不等于 都是 不都是大于 不大于 小于 不小于至少有一個 一個也沒有至少有三個 至多有兩個至少有n個 至多有 n 1 個