橢圓的基本知識一、基本知識點知識點一：橢圓的定義：橢圓三定義，簡稱和比積1、定義1：（和）到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距,定值為_。2、定義2：（比）到定點和定直線的距離之比是定值的點的軌跡叫做橢圓。定點為焦點，定直線為準線，定值為_。3、定義3：（積）到兩定點連線的斜率之積為定值的點的軌跡是橢圓。兩定點是長軸端點，定值為。知識點二：橢圓的標準方程1、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為_，其中。2、當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為_，其中。知識點三：橢圓的參數(shù)方程的參數(shù)方程為_。知識點四：橢圓的一些重要性質（1）對稱性：橢圓的標準方程是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心就是橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點為橢圓的頂點；橢圓與坐標軸的四個頂點分別為_。橢圓的長軸和短軸。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。（5）焦半徑：橢圓上任一點到焦點的連線段叫做焦半徑。對于焦點在軸上的橢圓，左焦半徑，右焦半徑。（6）準線方程：（7）焦準距：焦點到準線的距離，用表示，記作。（8）通徑：過焦點垂直于長軸的直線與橢圓的兩交點之間的距離稱為橢圓的通徑，長用表示，記作。（9）切線方程：過橢圓上點的切線方程，可以用等效代替橢圓方程得到。等效代替后的切線方程是：。（10）極點與極線：若是橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點為，則點和切點弦分別稱為橢圓的極點和極線。切點弦的直線方程即極線方程是（極線定理）。（11）中點弦方程和弦中點軌跡：中點弦的方程：在橢圓中，若弦的中點為，弦稱為中點弦，則中點弦的方程就是，是直線方程。弦中點的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內(nèi)點的弦，其中點的方程就是，仍為橢圓。知識點五：橢圓和的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形性質焦點焦距范圍對稱性頂點軸長離心率準線方程焦半徑二、規(guī)律方法1、如何確定橢圓的標準方程？確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2、橢圓標準方程中的三個量的幾何意義構成一個直角三角形的三邊，滿足勾股定理。3、如何由橢圓標準方程判斷焦點的位置？橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4、方程是表示橢圓的條件。5、求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6、共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7、如何求解與焦三角形(是橢圓上的點)有關的計算問題？焦三角形：以橢圓的兩個焦點為頂點，另一個頂點在橢圓上的三角形稱為焦三角形。半角是指的一半。則焦三角形的面積為：。8、直線與橢圓問題的有關計算問題（韋達定理的應用）（1）弦長公式（2）中點弦問題（點差法）三、四種題型與三種方法（一）四種題型 1、已知橢圓內(nèi)有一點,為橢圓的左焦點，為橢圓上的一動點，求的最小值。2、已知橢圓內(nèi)有一點,為橢圓的左焦點，為橢圓上的一動點，求的最大值與最小值。3、已知橢圓外有一點,為橢圓的左準線，為橢圓上的一動點，點到的距離為，求的最小值。4、定長為的線段的兩個端點分別在橢圓上移動，求的中點到橢圓右準線的最短距離。（二）三種方法1、橢圓的切線與兩坐標軸分別交于兩點，求三角形的最小面積。2、已知橢圓和直線，在上取一點，經(jīng)過點且以橢圓的焦點為焦點做橢圓，求在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓。3、過橢圓的焦點的直線交橢圓于，求面積的最大值。四、經(jīng)典例題1、如圖，把橢圓的長軸分成8等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_。2、已知是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于兩點，則的周長為( )A8 B16 C25 D323、過點且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是_。4、若橢圓的離心率是，則的值等于_。5、分別是橢圓的左右焦點，點在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是_。6、在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離