1.4 三角函數的圖象與性質1.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象整體設計教學分析 研究函數的性質常常以圖象直觀為基礎,這點學生已經有些經驗,通過觀察函數的圖象,從圖象的特征獲得函數的性質是一個基本方法,這也是數形結合思想的應用.正弦函數、余弦函數的教學也是如此.先研究它們的圖象,在此基礎上再利用圖象來研究它們的性質.顯然,加強數形結合是深入研究函數性質的基本要求. 由于三角函數是刻畫周期變化現象的數學模型,這也是三角函數不同于其他類型函數的最重要的地方,而且對于周期函數,我們只要認識清楚它在一個周期的區間上的性質,那么它的性質也就完全清楚了,因此,教科書把對周期性的研究放在了首位.另外,教科書通過“旁白”,指出研究三角函數性質“就是要研究這類函數具有的共同特點”,這是對數學思考方向的一種引導. 由于正弦線、余弦線已經從“形”的角度描述了三角函數,因此利用單位圓中的三角函數線畫正弦函數圖象是一個自然的想法.當然,我們還可以通過三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯系性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個關鍵點,得到“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖.三維目標1.通過實驗演示,讓學生經歷圖象畫法的過程及方法,通過對圖象的感知,形成正弦曲線的初步認識,進而探索正弦曲線準確的作法,養成善于發現、善于探究的良好習慣.學會遇到新問題時善于調動所學過的知識,較好地運用新舊知識之間的聯系,提高分析問題、解決問題的能力.2.通過本節學習,理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.借助圖象變換,了解函數之間的內在聯系.通過三角函數圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法,體會用“五點法”作圖給我們學習帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數圖象.3.通過本節的學習,讓學生體會數學中的圖形美,體驗善于動手操作、合作探究的學習方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數形結合思想的認識,理解動與靜的辯證關系,樹立科學的辯證唯物主義觀.重點難點教學重點:正弦函數、余弦函數的圖象.教學難點:將單位圓中的正弦線通過平移轉化為正弦函數圖象上的點;正弦函數與余弦函數圖象間的關系.課時安排1課時教學過程導入新課 思路1.(復習導入)遇到一個新的函數,非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什么特殊點,并借助圖象研究它的性質,如:值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們在必修1中學過的指數函數、對數函數的圖象是什么?是如何畫出它們圖象的(列表描點法:列表、描點、連線)?進而引導學生通過取值,畫出當x0,2時,y=sinx的圖象. 思路2.(情境導入)請學生動手做一做章頭圖表示的“簡諧運動”實驗.教師指導學生將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗,再掛在架子上,就做成了一個簡易單擺.在漏斗下方放一塊紙板,板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸.把漏斗灌上沙并拉離平衡位置,放手使它擺動,同時勻速拉動紙板,這樣就可在紙板上得到一條曲線,它就是簡諧運動的圖象.物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對平衡位置的位移s(縱坐標)隨時間t(橫坐標)變化的情況.有了上述實驗,你對正弦函數、余弦函數的圖象是否有了一個直觀的印象?畫函數的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點法,但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數圖象.推進新課新知探究提出問題 問題:作正弦函數圖象的各點的縱坐標都是查三角函數表得到的數值,由于對一般角的三角函數值都是近似值,不易描出對應點的精確位置.我們如何得到任意角的三角函數值并用線段長(或用有向線段數值)表示x角的三角函數值?怎樣得到函數圖象上點的兩個坐標的準確數據呢?簡單地說,就是如何得到y=sinx,x0,2的精確圖象呢?問題:如何得到y=sinx,xR時的圖象? 活動:教師先讓學生閱讀教材、思考討論,對于程度較弱的學生,教師指導他們查閱課本上的正弦線.此處的難點在于為什么要用正弦線來作正弦函數的圖象,怎樣在x軸上標橫坐標?為什么將單位圓分成12份?學生思考探索仍不得要領時,教師可進行適時的點撥.只要解決了y=sinx,x0,2的圖象,就很容易得到y=sinx,xR時的圖象了. 對問題,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開并12等分,再把x軸上從0到2這一段分成12等份.由于單位圓周長是2,這樣就解決了橫坐標問題.過O1上的各分點作x軸的垂線,就可以得到對應于0、2等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標問題(相當于“列表”).第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合,這就得到了函數對(x,y)(相當于“描點”).第三步,再把這些正弦線的終點用平滑曲線連接起來,我們就得到函數y=sinx在0,2上的一段光滑曲線(相當于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學生仔細觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學生動手作圖,形成對正弦函數圖象的感知).這是本節的難點,教師要和學生共同探討.圖1 對問題,因為終邊相同的角有相同的三角函數值,所以函數y=sinx在x2k,2(k+1),kZ且k0上的圖象與函數y=sinx在x0,2上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數y=sinx,x0,2的圖象向左、右平行移動(每次2個單位長度),就可以得到正弦函數y=sinx,xR的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學們仔細觀察整個圖的形成過程,感知周期性)圖2討論結果:利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y=sinx,x0,2的圖象.左、右平移,每次2個長度單位即可.提出問題 如何畫出余弦函數y=cosx,xR的圖象?你能從正弦函數與余弦函數的關系出發,利用正弦函數圖象得到余弦函數圖象嗎? 活動:如果再用余弦線作余弦函數的圖象那太麻煩了,根據已學的知識,教師引導學生觀察誘導公式,思考探究兩個函數之間的關系,通過怎樣的坐標變換可得到余弦函數圖象?讓學生從函數解析式之間的關系思考,進而學習通過圖象變換畫余弦函數圖象的方法.讓學生動手做一做,體會正弦函數圖象與余弦函數圖象的異同,感知兩個函數的整體形狀,為下一步學習正弦函數、余弦函數的性質打下基礎.討論結果:把正弦函數y=sinx,xR的圖象向左平移個單位長度即可得到余弦函數圖象.如圖3.圖3正弦函數y=sinx,xR的圖象和余弦函數y=cosx,xR的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點.提出問題 問題:以上方法作圖,雖然精確,但不太實用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數圖象的方法.你認為哪些點是關鍵性的點?問題:你能確定余弦函數圖象的關鍵點,并作出它在0,2上的圖象嗎? 活動:對問題,教師可引導學生從圖象的整體入手觀察正弦函數的圖象,發現在0,2上有五個點起關鍵作用,只要描出這五個點后,函數y=sinx在0,2上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點如下:(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0). 因此,在精確度要求不太高時,我們常常先找出這五個關鍵點,然后用光滑的曲線將它們連接起來,就可快速得到函數的簡圖.這種近似的“五點(畫圖)法”是非常實用的,要求熟練掌握.對問題,引導學生通過類比,很容易確定在0,2上起關鍵作用的五個點,并指導學生通過描這五個點作出在0,2上的圖象.討論結果:略.關鍵點也有五個,它們是:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).應用示例思路1例1 畫出下列函數的簡圖(1)y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2. 活動:本例的目的是讓學生在教師的指導下會用“五點法”畫圖,并通過獨立完成課后練習1領悟畫正弦、余弦函數圖象的要領,最終達到熟練掌握.從實際教學來看,“五點法”畫圖易學卻難掌握,學生需練好扎實的基本功.可先讓學生按“列表、描點、連線”三步來完成.對學生出現的種種失誤,教師不要著急,在學生操作中指導一一糾正,這對以后學習大有好處.解:(1)按五個關鍵點列表:x02sinx010-101+sinx12101描點并將它們用光滑的曲線連接起來(圖4).圖4(2)按五個關鍵點列表:x02cosx10-101-cosx-1010-1描點并將它們用光滑的曲線連接起來(圖5).圖5 點評:“五點法”是畫正弦函數、余弦函數簡圖的基本方法,本例是最簡單的變化.本例的目的是讓學生熟悉“五點法”.如果是多媒體教學,要突破課件教學的互動性,多留給學生一些動手操作的時間,或者增加圖象糾錯的環節,效果將會令人滿意,切不可教師畫圖學生看.完成本例后,讓學生閱讀本例下面的“思考”,并回答如何通過圖象變換得出要畫的圖象,讓學生從另一個角度熟悉函數作圖的方法.變式訓練 2007山東臨沂一摸統考17(1)在給定的直角坐標系如圖6中,作出函數f(x)=cos(2x+)在區間0,上的圖象.解:列表取點如下:x02f(x)1001描點連線作出函數f(x)=cos(2x+)在區間0,上的圖象如圖7所示. 圖6 圖7思路2例1 畫出函數y=|sinx|,xR的簡圖. 活動:教師引導學生觀察探究y=sinx的圖象并思考sinx的意義,發現只要將其x軸下方的圖象翻上去即可.進一步探究發現,只要畫出y=|sinx|,x0,的圖象,然后左、右平移(每次個單位)就可以得到y=|sinx|,xR的圖象.讓學生嘗試尋找在0,上哪些點起關鍵作用,易看出起關鍵作用的點有三個:(0,0),(,1),(,0).然后列表、描點、連線,讓學生自己獨立操作完成,對其失誤的地方再予以一一糾正.解:按三個關鍵點列表:x0sinx010y=sinx010描點并將它們用光滑的曲線連接起來(圖8).圖8 點評:通過本例,讓學生更深刻地理解正弦曲線及“五點法”畫圖的要義,并進一步從圖象變換的角度認識函數之間的關系,也為下一步將要學習的周期打下伏筆.變式訓練1.方程sinx=的根的個數為( )A.7 B.8 C.9 D.10解:這是一個超越方程,無法直接求解,可引導學生考慮數形結合的思想方法,將其轉化為函數y=的圖象與y=sinx的圖象的交點個數問題,借助圖形直觀求解.解好本題的關鍵是正確地畫出正弦函數的圖象.如 圖9,從圖中可看出,兩個圖象有7個交點.圖9答案:A2.用五點法作函數y=2sin2x的圖象時,首先應描出的五點橫坐標可以是( )A.0,2 B.0,C.0,2,3,4 D.0,答案:B知能訓練課本本節練習解答:1.可以用單位圓中的三角函數線作出它們的圖象,也可以用“五點法”作出它們的圖象,還可以用圖形計算器或計算機直接作出它們的圖象.兩條曲線形狀相同,位置不同,例如函數y=sinx,x0,2的圖象,可以通過將函數y=cosx,x,的圖象向右平行移動個單位長度而得到(圖10).圖10 點評:在同一個直角坐標系中畫出兩個函數圖象,利于對它們進行對比,可以加強正弦函數與余弦函數的聯系.通過多種方法畫圖,滲透數形結合思想,強化學生對數學概念本質的認識.2.兩個函數的圖象相同. 點評:先用“五點法”畫出余弦函數的圖象,再通過對比函數解析式發現另一函數的圖象的變化規律,最后變換余弦曲線得到另一函數的圖象(圖11).圖11課堂小結以提問的方式,先由學生反思學習內容并回答,教師再作補充完善.1.怎樣利用“周而復始”的特點,把區間0,2上的圖象擴展到整個定義域的?2.如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線?這節課學習了正弦函數、余弦函數圖象的畫法.除了它們共同的代數描點法、幾何描點法之外,余弦函數圖象還可由平移交換法得到.“五點法”作圖是比較方便、實用的方法,應熟練掌握.數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.作業1.課本習題1.4 A組1.2.預習下一節:正弦函數、余弦函數的性質.設計感想1.本節課操作性強,學生活動量較大.新課從實驗演示入手,形成圖象的感知后,升級問題,探索正弦曲線準確的作法,形成理性認識.問題設置層層深入,引導學生發現問題,解決問