反比例函數的圖像和性質（1）教學設計第一部分 教學設計一、內容和內容解析本節課內容屬于全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）中的“數與代數”領域，是在已經學習了平面直角坐標系和一次函數的基礎上，進一步研究反比例函數的圖象，并通過圖象的研究和分析，來確定反比例函數的性質反比例函數是最基本的初等函數之一，是學習后續各類函數的基礎反比例函數的核心內容是反比例函數的概念、圖象和性質反比例函數的圖象和性質的核心，是圖象“特征”、函數“特性”以及它們之間的相互轉化關系，這也正是反比例函數的本質屬性所在反比例函數的圖象和性質，蘊含著豐富的數學思想首先，反比例函數圖象和性質，本身就是“數”與“形”的統一體通過對圖象的研究和分析，可以確定函數本身的性質，體現了數形結合的思想方法這在學習數軸、平面直角坐標系時，學生已經接觸過，結合本課內容，可以進一步加強對數形結合思想方法的理解，發揮從“數”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優勢其次，從本節課知識的形成過程來看，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點、連線）”，再到“性質（觀察圖象探究性質）”，充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，這種函數解析式及性質與函數圖象之間的聯系，突出體現了兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用再次，將函數中變量、之間的對應關系，通過圖象的形狀、變化趨勢，借助平面直角坐 標系和點的坐標，直觀地予以呈現，這又充分體現了變化與對應的數學思想對于反比例函數圖象及性質的研究與學習，盡管還處于函數學習的初級階段，但它所體現的函數學習的一般規律和方法，是繼一次函數學習之后的再一次強化教材中呈現的“函數概念函數的圖象和性質函數的實際應用”的結構，是學習初等函數時不可或缺的使學生理解這樣的“同構現象”，對于明確學習任務，建立完善的認知結構也將是非常有意義的再有，用描點法畫反比例函數的圖象時，先由函數解析式考慮自變量的取值范圍，分析、的對應變化關系，然后構思函數圖象的大致位置、輪廓、趨勢，進而列表、描點、連線作出函數圖象，反映了作函數圖象的一般規律另外，利用圖象“特征”確定函數“特性”，也是初中階段研究函數性質的常用方法此外，反比例函數圖象和性質的學習，是繼一次函數后，知識與方法上的一次拓展，理解與認識上的一次升華，也是思維上的一次飛躍圖象由由“一條”到“兩支”，形態由“直”到“曲”，由“連續”到“間斷”，由與坐標軸“相交”到“漸近”，無不折射出對函數概念本質屬性認識的進一步深化因此，學好本節課內容將為今后的函數學習奠定堅實的基礎教學重點：反比例函數的圖象和性質二、目標和目標解析（一）教學目標1會畫反比例函數圖象，理解反比例函數的圖象和性質2感悟“數形結合”、“變化與對應”和“轉化”的數學思想，并能應用數形結合和轉化思想根據反比例函數的圖象探究其性質3培養學生的觀察、分析、探究、歸納及概括能力（二）目標解析1本節教學內容的脈絡是：先使用描點法畫出反比例函數的圖象，然后依據圖象分析、探究、歸納得到函數的性質因此，準確畫出反比例函數的圖象，是探究反比例函數性質的前提此時，雖然學生已經學過用描點法畫函數圖象，但是由于反比例函數圖象的特殊性，會畫反比例函數的圖象，仍是學習中的目標之一通過列表、描點、畫出反比例函數的圖象，進而觀察、分析、探究、歸納、概括，得到反比例函數的性質，可以進一步加深對函數三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法）的理解；2數學思想的教學一般要經過滲透孕育期、領悟形成期、應用發展期、鞏固深化期四個階段，而非能復制與灌輸在探究反比例函數性質時，讓學生領悟到數形結合思想、轉化思想、變化與對應思想的存在，并能運用這些數學思想觀察、分析反比例函數的圖象，探究、歸納、概括反比例函數的性質3通過對反比例函數性質探究，使學生經歷觀察、分析、探究、歸納、概括的認知過程，培養學生良好的思維品質，提高學生思維能力三、教學問題診斷分析對于用描點法畫函數的圖象，學生已經學過，但因當時處于函數學習的初始階段，重點只是讓學生掌握用描點法畫函數圖象的“三步曲（列表、描點、連線）”，所以，學生對每步要求的理解并不深刻因此，在畫反比例函數圖象時，常遇到如下的問題：（1）“列表”時確定自變量的取值缺乏代表性及忽略等現象；（2）“連線”時，由于一次函數圖象是一條直線，容易使學生產生知識上的負遷移，把雙曲線畫成折線；（3）對雙曲線與軸、軸“越來越靠近”但不相交的趨勢不易理解教學時，應注意有針對性的引導，注意從解析式的分析入手，讓學生先進行“數”（，,）、“式”（解析式中、的反比例關系）的分析，進而過渡到對“形”（圖象）的認識在學習一次函數的時候，學生已經歷過觀察、分析圖象的特征，抽象、概括函數性質的過程，對研究函數性質所用的探究方法也有一定的了解、因此，通過類比，結合反比例函數的圖象探究性質，從使用的方法上不會存在障礙，但由于反比例函數圖象比一函數圖象的形態豐富，結構復雜，具有自身的特殊性，故對性質的深刻理解和掌握，對性質探究中的數學思想的體會和運用，還存在一定的困難教學中，應注重強調說明由“數”到“形”、由“形”到“數”的轉化關系，以“數”與“形”的轉化為途徑，展開探究活動教學難點：準確畫出反比例函數的圖象，理解反比例函數的性質，并能靈活應用四、教學支持條件分析根據本節課教材內容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術工具，以幾何畫板軟件為平臺，繪制反比例函數圖象，同時輔之以“點跟蹤”等手段，通過動態的演示，觀察相關數值的變化，研究圖象的變化趨勢，抽象概括當自變量變化時，對應的函數值的變化規律，進而探究反比例函數的性質五、教學過程設計 （一）創設情境，引入新知 問題1：我們已經學習了正比例函數的哪些內容？是如何研究的？ 以正比例函數為例師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據學生回答的情況加以補充，并將答案填寫在黑板的表格中，強調是從形狀、位置、變化趨勢三個方面去研究 【設計意圖】通過復習正比例函數的圖象和性質，以及研究函數的一般方法，為學習反比例函數的圖象和性質做好鋪墊（二）觀察探究，形成新知問題2：反比例函數的圖象是什么樣的？以畫出反比例函數的圖象為例，教師引導學生經歷列表、描點、連線的過程（1）列表：-6-5-4-3-2-1123456列表時，關注學生是否注意到自變量的取值應使函數有意義（即），同時，所取的點既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或對應的函數值太大或是太小，以便于描點和全面反映圖象的特征；（2）描點：一般情況下，所選的點越多圖象越精確；（3）連線：引導學生用平滑的曲線，按照自變量從小到大的順序連接各點，注意圖象末端的延伸和延伸的趨勢，得到反比例函數的圖象師生活動：教師引導學生列表、描點、作圖；展示學生作品；教師板書示范，并通過課件演示反比例函數圖象的生成過程，給出雙曲線的名稱，并滲透它的形態特征.【設計意圖】圖象是直觀地描述和研究函數的重要工具，通過經歷用描點法畫出反比例函數圖象的基本步驟，可以使學生對反比例函數先有一個初步的感性認識問題3：請觀察反比例函數的圖象，有哪些特征？師生活動：教師引導學生觀察，類比正比例函數，歸納說出反比例函數圖象的形狀、位置、變化趨勢及其函數的增減性【設計意圖】通過類比正比例函數，引導學生觀察圖象的形狀、位置、變化趨勢，感受“形”的特征，感受自變量與函數值之間變化與對應的關系，使學生對反比例函數的圖象和性質形成初步的印象問題4：是不是所有的反比例函數的圖象都具有這樣的特征呢？以討論反比例函數為例在教師引導下，學生借鑒畫反比例函數的圖象的經驗，自主畫出反比例函數的圖象，教師巡視指導作圖完成后，學生展示作品，并說出該函數圖象的特征，教師適時點評【設計意圖】通過再次畫出反比例函數的圖象，使學生鞏固前面已獲得的作圖經驗，提高學生利用描點法畫出函數圖象的能力同時，在總結說出反比例函數的圖象特征的過程中，使學生增強對圖象的觀察、感知、分析、概括的能力，以及經歷通過畫出函數圖象，并利用圖形研究函數性質的過程問題5：反比例函數與的圖象有什么共同特征？有什么不同點？是由什么決定的？師生活動：教師啟發學生對比、思考，組織學生討論，引導學生關注反比例系數“”的作用【設計意圖】學生通過觀察比較，總結這兩個反比例函數圖象的特征，在活動中，讓學生自己去觀察、發現、總結，實現學生主動參與，探究新知的目的問題6：當取不同的值，上述結論是否適用于所有的反比例函數？教師演示課件，賦予不同的值，觀察所得到的不同的反比例函數圖象的特征，引導學生歸納“變化中的規律性”然后，從解析式的角度，引導學生分析上述結論的合理性【設計意圖】通過計算機動態演示，驗證猜想，使學生經歷從特殊到一般的過程，加強對反比例函數圖象“特征”和函數“特性”以及它們之間的相互轉化關系的認識問題7：總結反比例函數（）圖象的特征和性質教師幫助學生梳理、歸納，填寫表格：函數圖象形狀圖象位置圖象變化趨勢函數增減性【設計意圖】通過歸納，培養學生抽象概括能力（三）鞏固提高，應用新知課堂練習： 1下列圖象中，可以是反比例函數的圖象的是（ ）2已知反比例函數的圖象如圖所示，則 0， 且在圖象的每一支上，值隨的增大而 3. 已知反比例函數的圖象過點（2，1），則它的圖象在 象限，且 04. 若反比例函數（）的圖象上有兩點(，)，(，)，且，則的值是（ ）（A）正數（B）負數（C）非正數（D）非負數【設計意圖】通過一系列的練習，可以實現知識向能力的轉化（四）歸納反思，深化新知問題8：通過本節課的學習，你有哪些收獲？學生談本節課的學習感受，教師梳理、概括本節課主要的學習內容，并揭示蘊涵的數學思想方法【設計意圖】教師引導學生歸納本節課的知識要點和思想方法，使學生對反比例函數的圖象和性質有一個較為整體、全面認識，同時，使學生養成良好的學習習慣布置作業：（1）基礎達標：教材中練習的第1、2題，習題17.1的第3題；（2）反思提升：將反比例函數（為常數，）與正比例函數（為常數，）進行對比，可以從如下方面考慮：兩種函數的解析式有何相同與不同？兩種函數的圖象的特征有何區別？在常數相同的情況下，當自變量變化時，兩種函數的函數值的變化趨勢有什么區別？兩種函數中的取值范圍有何不同？常數的符號改變對兩種函數圖象所處象限的影響如何？六、目標檢測設計1反比例函數的圖象在（ ）（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限2在同一直角坐標系中，函數與的圖象大致是（ ）3寫出一個反比例函數，使得該反比例函數的圖象在第一、三象限，該函數