第九節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差 三年22考高考指數(shù) 1 理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值 方差的概念 2 會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值 方差 并能解決一些實際問題 1 離散型隨機(jī)變量的均值是高考考查的重點 2 數(shù)形結(jié)合 分類討論是解決均值與方差問題的重要思想方法 3 題型以解答題為主 常與分布列等知識綜合考查 1 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 1 離散型隨機(jī)變量x的分布列 p1 p2 pi pn 2 離散型隨機(jī)變量x的均值與方差 反映了離散型隨機(jī)變量取值的 刻畫了隨機(jī)變量x與其均值e x 的 方差的算術(shù)平方根為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差 平均水平 平均偏離程度 即時應(yīng)用 1 思考 隨機(jī)變量的均值 方差與樣本均值 方差的關(guān)系是怎樣的 提示 隨機(jī)變量的均值 方差是一個常數(shù) 樣本的均值 方差是一個變量 隨著樣本容量的增加 樣本的均值 方差趨于隨機(jī)變量的均值 方差 2 隨機(jī)變量x的分布列如表 則x的數(shù)學(xué)期望是 解析 由題知 0 2 0 5 m 1 m 0 3 e x 1 0 2 2 0 5 3 0 3 2 1 答案 2 1 3 有一批產(chǎn)品 其中有12件正品和4件次品 從中任取3件 若x表示取到次品的個數(shù) 則e x 解析 x的取值為0 1 2 3 則p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 e x 答案 4 甲 乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量x y 其分布列分別為 若甲 乙兩人的日產(chǎn)量相等 則甲 乙兩人中技術(shù)較好的是 解析 甲 乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為e x 0 0 4 1 0 3 2 0 2 3 0 1 1 e y 0 0 3 1 0 5 2 0 2 0 9 所以e x e y 故乙的技術(shù)較好 答案 乙 2 均值與方差的性質(zhì) 1 e ax b 2 d ax b a b為常數(shù) ae x b a2d x 即時應(yīng)用 1 已知分布列為 且設(shè)y 2x 3 則y的均值是 2 有一批產(chǎn)品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3件 若取到一件次品得2分 用y表示得分?jǐn)?shù) 則d y 解析 1 由分布列性質(zhì)有 a 1 即a e x 1 e y e 2x 3 2e x 3 2 設(shè)x表示取到的次品數(shù) 則y 2x 由題意知取到次品的概率為 x b 3 d x 故d y d 2x 4d x 答案 1 2 3 兩點分布與二項分布的均值 方差 e x d x e x d x p p 1 p np np 1 p 即時應(yīng)用 1 設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件次品 有放回地從中抽取150件進(jìn)行檢查 則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 2 設(shè) 是服從二項分布b n p 的隨機(jī)變量 又e 15 d 則n的值為 p的值為 解析 1 設(shè)查得次品數(shù)為隨機(jī)變量 由題意得 b 150 所以e 150 10 2 由 b n p 有e np 15 d np 1 p p n 60 答案 1 10 2 60 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 方法點睛 求離散型隨機(jī)變量 的均值與方差的方法 1 理解 的意義 寫出 可能取的全部值 2 求 取每個值的概率 3 寫出 的分布列 4 由均值的定義求e 5 由方差的定義求d 例1 2011 福建高考 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級 等級系數(shù)x依次為1 2 8 其中x 5為標(biāo)準(zhǔn)a x 3為標(biāo)準(zhǔn)b 已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)a生產(chǎn)該產(chǎn)品 產(chǎn)品的零售價為6元 件 乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)b生產(chǎn)該產(chǎn)品 產(chǎn)品的零售價為4元 件 假定甲 乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) 1 已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x1的概率分布列如下所示 且x1的數(shù)學(xué)期望e x1 6 求a b的值 2 為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x2 從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件 相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本 數(shù)據(jù)如下 353385563463475348538343447567 用這個樣本的頻率分布估計總體分布 將頻率視為概率 求等級系數(shù)x2的數(shù)學(xué)期望 3 在 1 2 的條件下 若以 性價比 為判斷標(biāo)準(zhǔn) 則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性 說明理由 注 1 產(chǎn)品的 性價比 2 性價比 大的產(chǎn)品更具可購買性 解題指南 1 利用期望公式和e x1 6以及分布列中的所有概率和為1 聯(lián)立關(guān)于a b的方程組 解方程組求得a b的值 2 根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù) 列等級系數(shù)x2的概率分布列 再利用期望公式求期望 3 根據(jù) 性價比 公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價比 性價比 大的產(chǎn)品更具可購買性 規(guī)范解答 1 因為e x1 6 所以5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 又由x1的概率分布列得0 4 a b 0 1 1即a b 0 5 由解得 2 由已知得 樣本的頻率分布表如下 用這個樣本的頻率分布估計總體分布 將頻率視為概率 可得等級系數(shù)x2的概率分布列如下 所以e x2 3 0 3 4 0 2 5 0 2 6 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4 8 3 乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性 理由如下 因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6 價格為6元 件 所以其性價比為因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4 8 價格為4元 件 所以其性價比為 1 2 所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性 反思 感悟 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差時 關(guān)鍵是先求出隨機(jī)變量的分布列 求離散型隨機(jī)變量的分布列時要注意兩個問題 一是求出隨機(jī)變量所有可能的值 二是求出取每一個值時的概率 求概率時 要注意概率類型的確定與轉(zhuǎn)化 如古典概型 互斥事件的概率 相互獨立事件同時發(fā)生的概率 n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等 變式訓(xùn)練 在一次電視節(jié)目的搶答中 題型為判斷題 只有 對 和 錯 兩種結(jié)果 其中某明星判斷正確的概率為p 判斷錯誤的概率為q 若判斷正確則加1分 判斷錯誤則減1分 現(xiàn)記 該明星答完n題后總得分為sn 1 當(dāng)p q 時 記 s3 求 的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差 2 當(dāng)p q 時 求s8 2且si 0 i 1 2 3 4 的概率 解析 1 s3 的取值為1 3 又p q 故p 1 p 3 所以 的分布列為 且e d 2 當(dāng)s8 2時 即答完8題后 回答正確的題數(shù)為5題 回答錯誤的題數(shù)是3題 又已知si 0 i 1 2 3 4 若第一題和第二題回答正確 則其余6題可任意答對3題 若第一題和第三題回答正確 第二題回答錯誤 則后5題可任意答對3題 此時的概率為p 變式備選 如圖 一個小球從m處投入 通過管道自上而下落入a或b或c 已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動 若投入的小球落到a b c 則分別設(shè)為1 2 3等獎 1 已知獲得1 2 3等獎的折扣率分別為50 70 90 記隨機(jī)變量 為獲得k k 1 2 3 等獎的折扣率 求隨機(jī)變量 的分布列及期望e 2 若有3人次 投入1球為1人次 參加促銷活動 記隨機(jī)變量 為獲得1等獎或2等獎的人次 求p 2 解析 1 由題意得 的分布列為則e 2 由 1 可知 獲得1等獎或2等獎的概率為由題意得 b則p 2 與二項分布有關(guān)的期望與方差 方法點睛 與二項分布有關(guān)的期望與方差的求法 1 求隨機(jī)變量 的期望與方差時 可首先分析 是否服從二項分布 如果服從 b n p 則用公式e np d np 1 p 求解 可大大減少計算量 2 有些隨機(jī)變量雖不服從二項分布 但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項分布 這時 可以綜合應(yīng)用e a b ae b以及e np求出e a b 同樣還可求出d a b 提醒 e a b ae b 但注意d a b ad b d a b ad 例2 1 某同學(xué)參加科普知識競賽 需回答4個問題 每一道題能否正確回答是相互獨立的 且回答正確的概率是若回答錯誤的題數(shù)為 則e d 2 罐中有6個紅球 4個白球 從中任取1球 記住顏色后再放回 連續(xù)取4次 設(shè) 為取得紅球的次數(shù) 則e 解題指南 兩題中的 都服從二項分布 故可直接套用公式求解 規(guī)范解答 1 回答正確的概率是 回答錯誤的概率是故 b 4 e 4 1 d 4 1 2 因為是有放回的摸球 所以每次摸球 試驗 摸得紅球 成功 的概率為連續(xù)摸4次 做4次試驗 為取得紅球 成功 的次數(shù) 則 b 4 所以e 答案 1 1 2 互動探究 在本例 1 中 若競賽規(guī)定 答對1題得10分 否則扣1分 其他條件不變 求該同學(xué)得分 的期望與方差 解析 由題意知 10 4 40 11 故由均值與方差的性質(zhì)得e e 40 11 40 11e 40 11 1 29 d d 40 11 112d 反思 感悟 是隨機(jī)變量 則 f 一般也是隨機(jī)變量 在求 的均值和方差時 熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì) 可以避免再求 的分布列帶來的繁瑣運算 變式備選 甲 乙 丙三個同學(xué)一起參加某高校組織的自主招生考試 考試分筆試和面試兩部分 筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生 可在高考中加分錄取 兩次考試過程相互獨立 根據(jù)甲 乙 丙三個同學(xué)的平時成績分析 甲 乙 丙三個同學(xué)能通過筆試的概率分別是0 6 0 5 0 4 能通過面試的概率分別是0 5 0 6 0 75 1 求甲 乙 丙三個同學(xué)中恰有一人通過筆試的概率 2 設(shè)經(jīng)過兩次考試后 能被該高校預(yù)錄取的人數(shù)為 求隨機(jī)變量 的期望e 解析 1 分別記甲 乙 丙三個同學(xué)筆試合格為事件a1 a2 a3 e表示事件 恰有一人通過筆試 則p e 0 6 0 5 0 6 0 4 0 5 0 6 0 4 0 5 0 4 0 38 2 方法一 因為甲 乙 丙三個同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為p 0 3 所以 b 3 0 3 故e np 3 0 3 0 9 方法二 分別記甲 乙 丙三個同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格為事件a b c 則p a p b p c 0 3所以p 0 1 0 3 3 0 343 p 1 3 1 0 3 2 0 3 0 441 p 2 3 0 32 0 7 0 189p 3 0 33 0 027 于是 e 0 0 343 1 0 441 2 0 189 3 0 027 0 9 均值與方差的實際應(yīng)用 方法點睛 均值與方差的實際應(yīng)用 1 d x 表示隨機(jī)變量x對e x 的平均偏離程度 d x 越大表明平均偏離程度越大 說明x的取值越分散 反之 d x 越小 x的取值越集中在e x 附近 統(tǒng)計中常用來描述x的分散程度 2 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平 方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度 它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量 是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù) 一般先比較均值 若均值相同 再用方差來決定 例3 某突發(fā)事件 在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0 3 一旦發(fā)生 將造成400萬元的損失 現(xiàn)有甲 乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用 單獨采用甲 乙預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元 采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0 9和0 85 若預(yù)防方案允許甲 乙兩種預(yù)防措施單獨采用 聯(lián)合采用或不采用 請確定預(yù)防方案使總費用最少 總費用 采取預(yù)防措施的費用 發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值 解題指南 要確定預(yù)防方案的總費用應(yīng)分別計算出采取預(yù)防措施的費用和發(fā)生突發(fā)事件損失的均值 可從 不采取預(yù)防措施 單獨采取預(yù)防措施甲 單獨采取預(yù)防措施乙 聯(lián)合采取甲 乙兩種預(yù)防措施 四種情況考慮 規(guī)范解答 不采取預(yù)防措施時 總費用即損失期望為400 0 3 120 萬元 若單獨采取預(yù)防措施甲 則預(yù)防措施費用為45萬元 發(fā)生突發(fā)事件的概率為1 0 9 0 1 損失期望值為400 0 1 40 萬元 所以總費用為45 40 85 萬元 若單獨采取預(yù)防措施乙 則預(yù)防措施費用為30萬元 發(fā)生突發(fā)事件的概率為1 0 85 0 15 損失期望值為400 0 15 60 萬元 所以總費用為30 60 90 萬元 若聯(lián)合采取甲 乙兩種預(yù)防措施 則預(yù)防措施費用為45 30 75 萬元 發(fā)生突發(fā)事件的概率為 1 0 9 1 0 85 0 015 損失期望值為400 0 015 6 萬元 所以總費用為75 6 81 萬元 綜合 比較其總費用可知 應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲 乙兩種預(yù)防措施 可使總費用最少 反思 感悟 解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件 求得該事件發(fā)生的概率 對于實際問題要通過分析題意抽象出具體的數(shù)學(xué)模型來求解 變式訓(xùn)練 某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出 有一萬人參加 每人一張門票 每張100元 在演出過程中穿插抽獎活動 第一輪抽獎從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張 其持有者獲得價值1000元的獎品 并參加第二輪抽獎活動 第二輪抽獎由第一輪獲獎?wù)擢毩⒉僮靼粹o 電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個數(shù)x y x y 1 2 3 隨即按如圖所示程序框圖運行相應(yīng)程序 若電腦顯示 中獎 則抽獎?wù)攉@得9000元獎金 若電腦顯示 謝謝 則不中獎 1 已知小曹在第一輪抽獎中被抽中 求小曹在第二輪抽獎中獲獎的概率 2 若小葉參加了此次活動 求小葉參加此次活動收益的期望 3 若此次募捐除獎品和獎金外 不計其他支出 該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款 問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo) 解析 1 從1 2 3三個數(shù)字中有重復(fù)地取2個數(shù)字 其基本事件有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 共9個 設(shè) 小曹在第二輪抽獎中獲獎 為事件a 且事件a所包含的基本事件有 3 1 3 3 共2個 p a 2 設(shè)小葉參加此次活動的收益為 的可能取值為 100 900 9900 p 100 p 900 p 9900 的分布列為 e 3 由 2 可知 購票者每人收益期望為 97 有一萬人購票 除獎金和獎品外 不計其他支出 該機(jī)構(gòu)此次收益期望為97 10000 970000元 97萬元 97 96 該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo) 滿分指導(dǎo) 離散型隨機(jī)變量均值解答題的規(guī)范解答 典例 12分 2011 天津高考 學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目 甲箱子里裝有3個白球 2個黑球 乙箱子里裝有1個白球 2個黑球 這些球除顏色外完全相同 每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球 若摸出的白球不少于2個 則獲獎 每次游戲結(jié)束后將球放回原箱 1 求在1次游戲中 摸出3個白球的概率 獲獎的概率 2 求在2次游戲中獲獎次數(shù)x的分布列及數(shù)學(xué)期望e x 解題指南 1 根據(jù)古典概型 互斥事件的概率公式求解 2 先求出獨立事件的概率 再求數(shù)學(xué)期望 規(guī)范解答 1 設(shè) 在