第七章布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 一 期權(quán) 一 期權(quán)概念期權(quán) Option 一種提供未來(lái)選擇權(quán)的交易合約 購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的人可以獲得一種在指定時(shí)間內(nèi)按協(xié)議價(jià)格買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出一定數(shù)量的某種金融資產(chǎn)的權(quán)力 期權(quán)合約的要素 UnderlyingassetanditspriceSExerciseprice strikeprice XExpirationdate maturitydate T todayis0 EuropeanorAmerican 一 期權(quán) 二 期權(quán)合約的特點(diǎn) 期權(quán)合約交易的是一種買(mǎi)賣(mài)證券的權(quán)力 而不是交易證券本身 期權(quán)的買(mǎi)方有權(quán)力買(mǎi)進(jìn)或賣(mài)出 但沒(méi)有義務(wù)買(mǎi)進(jìn)或者賣(mài)出 期權(quán)的賣(mài)方有義務(wù)履行合約 卻沒(méi)有權(quán)利要求執(zhí)行合約 期權(quán)買(mǎi)方要向期權(quán)賣(mài)方支付一定的費(fèi)用 這就是期權(quán)費(fèi) Premiun 或期權(quán)價(jià)格 OptionPrice 期權(quán)交易具有風(fēng)險(xiǎn)與收益形式上不對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 交易所中交易的大部分期權(quán)合約是標(biāo)準(zhǔn)化合約 一 期權(quán) 三 期權(quán)的主要分類(lèi) 1 CallOption Givesownertherighttopurchaseanasset theunderlyingasset foragivenprice exerciseprice onorbeforeagivendate expirationdate 2 PutOption Givesownertherighttosellanassetforagivenpriceonorbeforetheexpirationdate 3 EuropeanOption Givesownertherighttoexercisetheoptiononlyontheexpirationdate 4 AmericanOption Givesownertherighttoexercisetheoptiononorbeforetheexpirationdate 一 期權(quán) 思考 期權(quán)與期貨的主要區(qū)別 一 期權(quán) 四 期權(quán)的價(jià)格和價(jià)值1 期權(quán)合約涉及三個(gè)價(jià)格 期權(quán)合約標(biāo)的證券當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格S 期權(quán)合約到期執(zhí)行時(shí)標(biāo)的證券的執(zhí)行價(jià)格X 期權(quán)合約的價(jià)格 即期權(quán)費(fèi)P 一 期權(quán) 2 期權(quán)價(jià)值期權(quán)價(jià)值由內(nèi)涵價(jià)值和時(shí)間價(jià)值兩部分組成 V IV TV內(nèi)涵價(jià)值IV 是指期權(quán)本身具有的價(jià)值 是合約購(gòu)買(mǎi)者行使期權(quán)所能獲得的金額 反映了期權(quán)敲定價(jià)格 X 與證券市價(jià) S 之間的差異 看漲期權(quán)的IV max S X 0 看跌期權(quán)的IV max X S 0 時(shí)間價(jià)值TV 是指期權(quán)買(mǎi)方在有效期內(nèi)可選擇有利時(shí)機(jī)執(zhí)行期權(quán)而產(chǎn)生的價(jià)值 有效期越長(zhǎng) 時(shí)間價(jià)值越大 一 期權(quán) 五 期權(quán)價(jià)格的合理界限1 假設(shè) 沒(méi)有交易費(fèi)用 所有交易利潤(rùn) 減去交易損失后 具有相同的稅率可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金一旦有套利機(jī)會(huì)出現(xiàn) 市場(chǎng)參與者隨時(shí)準(zhǔn)備利用這些套利機(jī)會(huì) 一 期權(quán) 2 符號(hào)S 股票現(xiàn)價(jià) X 期權(quán)執(zhí)行價(jià) T 期權(quán)的到期時(shí)間 ST 在T時(shí)刻股票價(jià)格 r T時(shí)期到期的投資的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 連續(xù)復(fù)利 一 期權(quán) C 購(gòu)買(mǎi)一股股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格 P 出售一股股票的美式看跌期權(quán)的價(jià)格 c 購(gòu)買(mǎi)一股股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 p 出售一股股票的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格 一 期權(quán) 3 期權(quán)價(jià)格的基本性質(zhì) 1 任何情況下 期權(quán)的價(jià)值都是非負(fù)的 2 在到期日 美式期權(quán)與歐式期權(quán)的價(jià)值相等 且看漲期權(quán)的價(jià)值等于到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格減去行權(quán)價(jià) 看跌期權(quán)的價(jià)值等于行權(quán)價(jià)減去標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格 3 美式期權(quán)的價(jià)值不小于其行權(quán)時(shí)的內(nèi)在價(jià)值 4 在其他條件不變的情況下 后延到期日將提高美式期權(quán)的價(jià)值 5 美式期權(quán)的價(jià)值高于具有同一標(biāo)的資產(chǎn)和到期日的歐式期權(quán)的價(jià)值 隨著有效期的增加 歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)值并不一定增加 一 期權(quán) 6 其他條件相同時(shí) 行權(quán)價(jià)越高 買(mǎi)權(quán)價(jià)值越低 賣(mài)權(quán)價(jià)值越高 7 任何一份買(mǎi)權(quán)的價(jià)值不可能高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格 8 到期日無(wú)限 行權(quán)價(jià)為0的期權(quán)價(jià)格為標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格 9 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格為0時(shí) 看漲期權(quán)的價(jià)格為0 一 期權(quán) 4 期權(quán)價(jià)格的上限 1 股票價(jià)格是期權(quán)價(jià)格的上限 S C S c 如果不存在這一關(guān)系 則套利者購(gòu)買(mǎi)股票并賣(mài)出看漲期權(quán) 可以輕易獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn) 2 美式看跌期權(quán)或歐式看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價(jià)格出售一股股票 3 歐式看跌期權(quán) 在T時(shí)刻 期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)X 所以有 如果不存在這一關(guān)系 則套利者出售期權(quán)并將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資 可以輕易獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益 一 期權(quán) 4 期權(quán)的價(jià)格下限 1 不付紅利股票的歐式期權(quán)歐式看漲期權(quán)的下限 歐式看跌期權(quán)的下限 2 紅利的影響歐式看漲期權(quán)的下限 歐式看跌期權(quán)的下限 其中 D表示期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值 一 期權(quán) 注 1 提前執(zhí)行不付紅利美式看漲期權(quán)是不明智的 2 不付紅利的美式看跌期權(quán)可能提前執(zhí)行 3 在紅利的影響下 美式看漲期權(quán)可能提前執(zhí)行 Return 二 隨機(jī)過(guò)程 如果某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化 則稱(chēng)該變量遵循某種隨機(jī)過(guò)程 stochasticprocess 描述布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程的定義是維納 wiener 給出的 因此布朗運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)維納過(guò)程 布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程的一種特殊形式 二 隨機(jī)過(guò)程 一 馬爾科夫過(guò)程 MarkovStochasticprocess 1 無(wú)記憶性 只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)預(yù)測(cè)有關(guān) 變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)2 如果股價(jià)過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程 那么股價(jià)在未來(lái)某時(shí)刻的概率分布不依賴(lài)于股價(jià)過(guò)去的路徑 只取決于該證券現(xiàn)在的值 3 股價(jià)過(guò)程是馬爾科夫過(guò)程等于股票市場(chǎng)的弱有效性 二 隨機(jī)過(guò)程 二 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)或維納過(guò)程 變量z是一個(gè)隨機(jī)變量 設(shè)一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度為 t 定義 z為在 t時(shí)間內(nèi)z的變化 要使z遵循維納過(guò)程 z必須滿足兩個(gè)基本性質(zhì) 性質(zhì)1 z與 t的關(guān)系滿足方程式 其中 為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)值 性質(zhì)2 對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 t z的值相互獨(dú)立 二 隨機(jī)過(guò)程 從性質(zhì)1 得知 z具有正態(tài)分布 z的均值 0 z的標(biāo)準(zhǔn)差 z的方差 t性質(zhì)2則隱含z遵循馬爾科夫過(guò)程 即變量對(duì)過(guò)去沒(méi)有記憶效應(yīng) 二 隨機(jī)過(guò)程 維納過(guò)程 長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi) 的增量 在任一長(zhǎng)度為T(mén)的時(shí)間間隔內(nèi) 遵循維納過(guò)程的隨機(jī)變量值的增加具有均值為0 標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布 正態(tài)分布的可加性 當(dāng) t 0時(shí) 我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)或維納過(guò)程 二 隨機(jī)過(guò)程 例 假設(shè)一個(gè)遵循維納過(guò)程的變量z 其最初值為25 以年為單位計(jì)時(shí) 那么 則有 在第一年末 變量值服從均值為25 標(biāo)準(zhǔn)差為1 0的正態(tài)分布 在第二年末 Z將服從均值為25 標(biāo)準(zhǔn)差為或1 414的正態(tài)分布 分析 之所以第2年末標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)?是因?yàn)樽兞恐翟谖磥?lái)某一確定時(shí)刻的不確定性 用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示 是隨著時(shí)間長(zhǎng)度的平方根而增加的 二 隨機(jī)過(guò)程 二 隨機(jī)過(guò)程 二 隨機(jī)過(guò)程 二 隨機(jī)過(guò)程 三 普通布朗運(yùn)動(dòng)或一般維納過(guò)程 漂移率 DriftRate 單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值 方差率 VarianceRate 單位時(shí)間變量z的方差變動(dòng)比率 1 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0 方差率為1 0 漂移率為0意味著在未來(lái)任意時(shí)刻z的均值都等于它的當(dāng)前值 方差率為1 0意味著在一段長(zhǎng)度為T(mén)的時(shí)間段后 z的方差為1 0 T 二 隨機(jī)過(guò)程 2 變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng) 令漂移率為a 方差率為b2 則 dx adt bdz其中a和b為常數(shù) dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 這個(gè)過(guò)程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz動(dòng)態(tài)過(guò)程 第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng) 它說(shuō)明了x變量單位時(shí)間的漂移率期望值為a 如果缺省bdz項(xiàng) 方程變?yōu)?dx adt dx dt a x x0 at其中 x0為x在零時(shí)刻的值 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為T(mén)的時(shí)間段后 x增加的值為aT 第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng) 它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音或波動(dòng)率 這些噪聲或波動(dòng)率的值為維納過(guò)程的b倍 二 隨機(jī)過(guò)程 短時(shí)間 t后 x值的變化 x為 其中 是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值 因此 x具有正態(tài)分布 且 x的均值 a t x的標(biāo)準(zhǔn)差 b x的方差 b2 t 二 隨機(jī)過(guò)程 例 假設(shè)某公司的現(xiàn)金頭寸遵循一般維納過(guò)程 每年漂移率為20 每年方差為900 最初的現(xiàn)金頭寸為50萬(wàn) 那么 則有 在第6個(gè)月末 該頭寸將服從正態(tài)分布 均值為60 標(biāo)準(zhǔn)差為 30 0 5 21 21的正態(tài)分布 在第1年末 該頭寸將服從正態(tài)分布 均值為70 標(biāo)準(zhǔn)差為30 分析 隨機(jī)變量值在未來(lái)某一確定時(shí)刻的不確定性 用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示 是隨著時(shí)間長(zhǎng)度的平方根增加而增加的 二 隨機(jī)過(guò)程 二 隨機(jī)過(guò)程 四 幾何布朗運(yùn)動(dòng) 1 假定股票價(jià)格遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的不合理性 這種假定表明股票價(jià)格S運(yùn)動(dòng)具有不變的期望漂移率a和方差率b2 S a t b z t時(shí)間內(nèi)股價(jià)的變化為 S S的均值為a t 方差為b2 t那么 股票的期望收益率 a t S這表明承擔(dān)相同風(fēng)險(xiǎn)的情況下 股價(jià)高的獲得的收益率低 股價(jià)低的獲得的收益率高 這與投資者要求來(lái)自股票的期望收益率與股票價(jià)格無(wú)關(guān)的現(xiàn)實(shí)不一致 二 隨機(jī)過(guò)程 2 修正 假定股票價(jià)格變化率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)股價(jià)變化率 S S遵循普通布朗運(yùn)動(dòng) 參數(shù) 為股票在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的股票價(jià)格的預(yù)期收益率 作為期望漂移率 參數(shù) 2表示股票收益率單位時(shí)間的方差 作為方差率 這兩個(gè)參數(shù)假設(shè)為常數(shù)則可將式 S a t b z轉(zhuǎn)換為適合描述股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)形式 S S t z 二 隨機(jī)過(guò)程 S S t z其中 為 S S的期望漂移率 t是 t時(shí)間后 S S的期望漂移 S t是 t時(shí)間后S的期望漂移 因此 S的瞬態(tài)期望漂移率 instantaneousvariancerate 為 S 2為 S S變化的方差率 2 t是 t時(shí)間后 S S變化的方差 2S2 t是經(jīng)過(guò) t后S實(shí)際變化的方差 因此 S的瞬態(tài)方差率 instantaneousvariancerate 為 2S2 二 隨機(jī)過(guò)程 股票價(jià)格 可以用瞬態(tài)期望漂移率 S和瞬態(tài)方差率為 2S2的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)表達(dá) 表示為 即幾何布朗運(yùn)動(dòng)是描述股票價(jià)格行為最廣泛使用的一種模型 只要假設(shè)股價(jià)變動(dòng)率遵循布朗運(yùn)動(dòng) 則股價(jià)本身就遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 換言之 只要假定股價(jià)變動(dòng)率服從正態(tài)分布 則股價(jià)本身服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 二 隨機(jī)過(guò)程 例 設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 其波動(dòng)率為每年20 預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年18 其目前的市價(jià)為50元 求6個(gè)月后該股票價(jià)格變化值的概率分布 解 0 18 0 20 其股價(jià)過(guò)程為 dS S 0 18dt十0 20dz在隨后短時(shí)間間隔后的股價(jià)變化為 S S 0 18 t 0 20 由于6個(gè)月等于0 5年 因此 S 50 0 09 0 1414 4 5 7 07 上式表示6個(gè)月后股價(jià)的增加值是均值為4 5元 標(biāo)準(zhǔn)差為7 07元的正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣值 二 隨機(jī)過(guò)程 五 伊藤過(guò)程若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù) 得到另一種類(lèi)型隨機(jī)過(guò)程 即著名的Ito過(guò)程 Itoprocess 即伊藤過(guò)程 1 Ito引理假設(shè)隨機(jī)變量x的值遵循Ito過(guò)程 dx a x t dt b x t dz其中 dz是一個(gè)維納過(guò)程 a與b是x和t的函數(shù) 變量x的漂移率為a和方差率為b2 即Ito過(guò)程的期望漂移率和方差率都隨時(shí)間變化而變化 二 隨機(jī)過(guò)程 若X遵循Ito過(guò)程 G是上述隨機(jī)變量X t的函數(shù) 則G X t 遵循下面的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 其中dz是維納過(guò)程 因此G也遵循Ito過(guò)程 它的漂移率是 方差率是 伊藤引理 它將證券定價(jià)與衍生證券定價(jià)結(jié)合到一起 二 隨機(jī)過(guò)程 2 股價(jià)過(guò)程證券價(jià)格的變化可用漂移率為 S和方差率為 2S2的伊藤過(guò)程來(lái)表示 兩邊同時(shí)除以S得到 幾何布朗運(yùn)動(dòng) 衍生證券的價(jià)格G S t 遵循以下過(guò)程 2020 2 4 38 二 隨機(jī)過(guò)程 3 股價(jià)過(guò)程 對(duì)數(shù)正態(tài)分布定義 G lnS 證券價(jià)格的對(duì)數(shù)lnS的變化遵循的隨機(jī)過(guò)程 由于 得出G的過(guò)程為 上式說(shuō)明lnS服從正態(tài)分布 S服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 令t時(shí)刻的G為lnS T時(shí)刻的G為lnST 是正態(tài)分布函數(shù) 即 二 隨機(jī)過(guò)程 例 設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 其波動(dòng)率為每年20 預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年18 其目前的市價(jià)為50元 求6個(gè)月后該股票價(jià)格變化值的概率分布 解 6個(gè)月后股價(jià)的概率分布為 由于一個(gè)正態(tài)分布變量取值位于均值左右兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95 因此 置信度為95 時(shí) 3 992 1 96 0 141 3 71 3 992 1 96 0 141 4 2683 71 lnST 4 268即 40 85 ST 71 38因此 6個(gè)月后A股票價(jià)格落在40 85元到71 38元之間的概率為95 二 隨機(jī)過(guò)程 總結(jié) 與描述證券價(jià)格變化有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)或維納過(guò)程 遵循該隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量值的增加具有均值為0 方差為T(mén)的正態(tài)分布 2 普通布朗運(yùn)動(dòng)或一般維納過(guò)程 遵循該隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量的均值漂移率的期望值為a 方差率的期望值為b2 兩參數(shù)均為常數(shù) dx adt bdz 二 隨機(jī)過(guò)程 3 幾何布朗運(yùn)動(dòng) 適用于描述股票價(jià)格運(yùn)動(dòng) 是伊藤過(guò)程的一種特定形式 遵循該隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量的均值漂移率的期望值為 S 方差率的期望值為 2S2 變量 特定為股票價(jià)格波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差 變量 特定為股票價(jià)格的預(yù)期收益率 這兩個(gè)參數(shù)假設(shè)為常數(shù)4 伊藤過(guò)程 適用于描述衍生證券價(jià)格運(yùn)動(dòng) 遵循該隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)變量的均值漂移率為a和方差率為b2 但I(xiàn)to過(guò)程的期望漂移率和方差率都隨時(shí)間變化而變化 而且函數(shù)F X T 也遵循伊藤過(guò)程 dx a x t dt b x t dzReturn 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 1973年金融學(xué)家F Black和M Scholes發(fā)表了 期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債 一文 該論文首次推出了確定歐式期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式 B S歐式期權(quán)定價(jià)公式 探討了期權(quán)定價(jià)在估計(jì)公司證券價(jià)值方面的應(yīng)用 更重要的是它采用的動(dòng)態(tài)復(fù)制方法成為期權(quán)定價(jià)研究的經(jīng)典方法 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 一 衍生證券 期權(quán) 定價(jià)思路 由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性 dz 影響 若匹配適當(dāng) 這種不確定性就可以相互抵消 布萊克和斯科爾斯建立一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合 若數(shù)量適當(dāng) 標(biāo)的證券多頭盈利 或虧損 總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損 或盈利 相抵消 因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的 在無(wú)套利機(jī)會(huì)的情況下 該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 二 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 即 和 為常數(shù) 允許賣(mài)空標(biāo)的證券 沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收 所有證券都是完全可分的 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付 不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì) 證券交易是連續(xù)的 價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的 在衍生證券有效期內(nèi) 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三 布萊克 斯科爾斯微分方程的推導(dǎo)1 基礎(chǔ)證券的運(yùn)動(dòng)模型 由于假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) 因此有 dS Sdt十 Sdz其在一個(gè)小的時(shí)間間隔 t中 S的變化值 S為 S S t S z 1 確定項(xiàng) 風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 2 衍生工具的運(yùn)動(dòng)模型 假設(shè)f是依賴(lài)于S的衍生證券的價(jià)格 則f一定是S和t的函數(shù) 由伊藤引理可得 在一個(gè)小的時(shí)間間隔 t中 f的變化值 f為 2 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 從上面分析看出 1 和 2 中的 z相同 都等于因此只要選擇適當(dāng)?shù)难苌C券和標(biāo)的證券的組合就可以消除不確定性 為了消除 z 我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 令 代表該投資組合的價(jià)值 則 組合 的價(jià)值為 3 在 t時(shí)間之后 該投資組合的價(jià)格發(fā)生變化 為 4 將式 1 2 代入 4 可得 5 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 4 無(wú)套利定價(jià)由于式 5 中不含有 z 該組合的價(jià)值在一個(gè)小時(shí)間間隔 t后必定沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn) 因此該組合在 t中的瞬時(shí)收益率一定等于 t中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 因此 在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下 r t 6 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 5 布菜克 斯科爾斯微分分程把式 3 和 5 代入 6 得 變換可得 7 布菜克 斯科爾斯微分分程 它適用于其價(jià)格取決標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 股票衍生工具都滿足上述方程 不同工具的差異體現(xiàn)在邊界條件上 歐式買(mǎi)權(quán) 當(dāng)t T時(shí) f max S X 歐式賣(mài)權(quán) 當(dāng)t T時(shí) f max X S 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 6 注意組合的風(fēng)險(xiǎn)性當(dāng)S和t變化時(shí) 的值也會(huì)變化 因此上述投資組合的價(jià)值并不是永遠(yuǎn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的 它只是在一個(gè)很短的時(shí)間間隔 t中才是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的 從式 7 可以看出 衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià) S 時(shí)間 t 證券價(jià)格的波動(dòng)率 和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 它們?nèi)际强陀^變量 獨(dú)立于主觀變量 風(fēng)險(xiǎn)收益偏好 而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率 并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中 這意味著 無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何 都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 四 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式1 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 1 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè) 在一個(gè)假想的風(fēng)險(xiǎn)中性世界里 所有的市場(chǎng)參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的 所有資產(chǎn)不論其風(fēng)險(xiǎn)大小或者是否有風(fēng)險(xiǎn) 預(yù)期收益率都相同 等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 而且所有資產(chǎn)現(xiàn)在的均衡價(jià)格都等于其未來(lái)收益的預(yù)期值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 任何基于其他交易證券的衍生產(chǎn)品都可以在投資者風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下定價(jià) 所有證券的預(yù)期收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是任何預(yù)期的未來(lái)現(xiàn)金流的最合適的折現(xiàn)率 3 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)步驟 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性的概率 計(jì)算期權(quán)或衍生品在到期的預(yù)期收益 以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率將預(yù)期收益折現(xiàn) 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 2 歐式看漲期權(quán)的精確公式在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下 歐式看漲期權(quán)到期時(shí) T時(shí)刻 的期望值為 其中 T為期權(quán)到期時(shí)刻 ST為期權(quán)到期時(shí)的股票價(jià)格 X為期權(quán)合約中事先約定買(mǎi)賣(mài)股票的執(zhí)行價(jià)格 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 其中 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格f等于將此期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值 即 8 這是上述布萊克和斯科爾斯微分方程的重要的邊界條件 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下 我們還需要用r取代下式中的 替換為 考慮到前述的邊界條件 求解前面的微分方程可得 9 其中 N d 為累計(jì)正態(tài)分布函數(shù) 即隨機(jī)變量小于d的概率 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 3 歐式看跌期權(quán)的精確公式由于 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的特性 N x 1 N x 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 可得看跌期權(quán)的價(jià)格P為 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 注 歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)在時(shí)間t 0 構(gòu)造兩個(gè)投資組合A和B tT組合A 一份看漲期權(quán)多頭ff X貸出一筆現(xiàn)金Xe r T r 組合B 一份看跌期權(quán)多頭PP ST買(mǎi)入一股股票S 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 在T時(shí) 當(dāng)ST X 執(zhí)行看漲期權(quán) 用X去買(mǎi)股票即變成ST不執(zhí)行看跌期權(quán) 剩余ST當(dāng)ST X 看漲期權(quán)自動(dòng)作廢 剩X執(zhí)行看跌期權(quán) 變成X所以 無(wú)論什么情況下兩個(gè)組合當(dāng)前價(jià)格都相等 即 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 例 考慮一種期權(quán) 還有6個(gè)月有效期 股票現(xiàn)價(jià)為 42 期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為 40 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10 連續(xù)復(fù)利 股票價(jià)格波動(dòng)率為每年20 請(qǐng)計(jì)算該股票期權(quán)價(jià)格 解 已知S 42 X 40 r 0 10 0 2 t T 0 5 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 因此 若該期權(quán)為看漲期權(quán) 則其價(jià)值f為 若該期權(quán)為看跌期權(quán) 則其價(jià)值p為 查表可得 N 0 7693 0 7791 N 0 6278 0 7349N 0 7693 0 2209 N 0 6278 0 2651因此 f 4 76 p 0 81 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 4 對(duì)B S公式理解 1 上式右邊的第二項(xiàng) e r T t XN d2 是構(gòu)建無(wú)套利組合時(shí)加入的一個(gè)單位衍生證券空頭的現(xiàn)值 價(jià)值貼現(xiàn) 由于該頭寸是空頭 所以符號(hào)為負(fù) 可以理解為組合中的負(fù)債價(jià)值 N d2 是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率 即是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率 XN d2 是執(zhí)行價(jià)格乘以行權(quán)的概率 是概率折扣后到期行權(quán)獲得的價(jià)值 是T時(shí)刻的終值 e r T t XN d2 是上面終值XN d2 貼現(xiàn)到當(dāng)前的現(xiàn)值 它構(gòu)成當(dāng)前期權(quán)價(jià)格的一部分 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 2 上式右邊的第一項(xiàng)SN d1 是構(gòu)建無(wú)套利組合時(shí)加入的若干個(gè)單位的標(biāo)的證券的多頭的現(xiàn)值 由于該頭寸是多頭 所以符號(hào)為正 可以理解為組合中的資產(chǎn)價(jià)值 無(wú)套利資產(chǎn)組合中必然同時(shí)存在多頭和空頭 否則風(fēng)險(xiǎn)無(wú)法對(duì)沖 N d1 可以看作是組合中股票的數(shù)量 不超過(guò)1 SN d1 就是股票的市值 考慮到在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下 ST實(shí)際上是S按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)在T時(shí)的終值 ST Ser T t 或S e r T t ST因此SN d1 可以變換為 SN d1 e r T t STN d1 期權(quán)定價(jià)公式 9 可以相應(yīng)表示為 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 3 d1和d2的性質(zhì)當(dāng)股票價(jià)格S變得很大時(shí) d1和d2變得很大 N d1 和N d2 趨近于1 則 看漲期權(quán)價(jià)格f S Xe r T t 看跌期權(quán)價(jià)格p為0 因?yàn)镹 d1 和N d2 趨近于0 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 當(dāng)股價(jià)波動(dòng)率 趨近于0時(shí) 有兩種情況 當(dāng)S Xe r T t 時(shí) d1和d2趨向于正無(wú)窮大 N d1 和N d2 趨近于1 看漲期權(quán)價(jià)格f為 S Xe r T t 看跌期權(quán)價(jià)格p為0 當(dāng)S Xe r T t 時(shí) d1和d2趨向于負(fù)無(wú)窮大 N d1 和N d2 趨近于0 看漲期權(quán)價(jià)格f為0 看跌期權(quán)價(jià)格p為 Xe r T t S總之 只要 趨近于0 一定有 看漲期權(quán)價(jià)值總為 Max S Xe r T t 0 看跌期權(quán)價(jià)值總為 Max Xe r T t S 0 Return 三 布萊克 斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型