海淀區高三年級第一學期期末練習數學（文科） 2018.1 本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，將答題紙交回。第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1） 已知是虛數單位,若，則實數的值為(A) 1（B） 0（C） -1（D） -2（2） 已知，若，則 (A) （B） （C）（D） （3） 執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）4 （B） 5 (C) 6 （D）7（4） 下面的莖葉圖記錄的是甲、乙兩個班級各5個同學在一次數學測試中的選擇題的成績(單位:分，每道題5分，共8道題) :甲班乙班52530 0 5 0040已知兩組數據的平均數相等，則的值分別為（A） 0，0（B） 0，5（C） 5，0（D）5，5（5）已知直線與圓相交于兩點，且為正三角形，則實數的值為（A） （B） （C）或 （D）或（6） 設,則“”是 “直線與直線平行”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7） 在中，是邊的中點，則的取值范圍是(A) (B) （C） （D） （8）已知正方體的棱長為2，分別是棱的中點，點在平面內，點在線段上. 若，則長度的最小值為 (A) （B） （C） （D） 第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則實數的值為 .（10）若變量滿足約束條件則的最大值是 .（11）在中，且的面積為，則 .（12） 某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐四個面的面積中最大的值是 .（13）函數的最大值為 ；若函數的圖象與直線有且只有一個公共點，則實數的取值范圍是 .（14）某次高三英語聽力考試中有5道選擇題，每題1分，每道題在A，B，C三個選項中只有一個是正確的.下表是甲、乙、丙三名同學每道題填涂的答案和這5道題的得分：12345得分甲CCABB 4乙CCBBC3丙BCCBB2則甲同學答錯的題目的題號是 ；此正確的選項是 .三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（15） （本小題13分） 已知等差數列的前項和為，且，（）求數列的通項公式；（）若，求數列的前項和（16） （本小題13分） 已知函數.（）求函數的定義域；（）求函數的值域.（17） （本小題13分） 據中國日報網報道，2017年11月13日，TOP500發布了最新一期全球超級計算機500強榜單，中國超算在前五名中占據兩席. 其中，超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產處理器. 為了了解國產品牌處理器打開文件的速度，某調查公司對兩種國產品牌處理器進行了12次測試，結果如下：（數值越小，速度越快，單位是MIPS）測試1測試2測試3測試4測試5測試6測試7測試8測試9測試10測試11測試12品牌3691041121746614品牌2854258155121021設、分別表示第次測試中品牌和品牌的測試結果，記（）（）求數據的眾數；（）從滿足的測試中隨機抽取兩次，求品牌的測試結果恰有一次大于品牌的測試結果的概率；（）經過了解，前6次測試是打開含有文字與表格的文件，后6次測試是打開含有文字與圖片的文件.請你根據表中數，運用所學的統計知識，對這兩種國產品牌處理器打開文件的速度進行評價.（18） （本小題14分）如圖，三棱柱中，側面底面， 分別為棱的中點.（）求證：；（）求三棱柱的體積；（）在直線上是否存在一點，使得平面. 若存在，求出的長；若不存在，說明理由.19. （本小題14分）已知橢圓，直線與橢圓相交于， 兩點，與軸交于點B，點與點不重合.（）求橢圓的離心率；（）當時，求橢圓的方程；（）過原點作直線的垂線，垂足為若，求的值.20. （本小題13分） 已知函數.（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：“”是“函數有且只有一個零點”的充分不必要條件.海淀區高三年級第一學期期末練習參考答案數學（文科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678選項AD BBDCAC二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.(有兩空的小題第一空3分)9. 10. 11. 或 （答對一個給3分） 12. 13. 1 14. 5 A三、解答題: 本大題共6小題，共80分.15（本題共13分）解：（）設等差數列的首項為，公差為.，解得， -3分由，則 -5分因此，通項公式為.（）由（）可知：，則 -6分 因為， 所以是首項為8，公比為的等比數列. -7分記的前項和為，則 -11分 -13分16（本題共13分）解：（）， -2分解得：， 所以，函數的定義域為 -4分注：不寫扣1分，只扣一次；（）（）結果有一個寫了集合符號，不扣分，都沒寫集合符號，統一扣1分.（） -8分 -9分 -10分 -11分因為，所以，所以， 所以，函數的值域為. - -13分 注：結果寫成扣兩分.17. （本題共13分） 解：（）124624421647所以等于1有2次， =2有3次，=4有4次，=6有2次，=7有1次，則數據的眾數為4 -5分（）設事件D=“品牌的測試結果恰有一次大于品牌的測試結果”.-6分滿足的測試共有4次，其中品牌的測試結果大于品牌的測試結果有2次即測試3和測試7，不妨用M，N表示.品牌的測試結果小于品牌的測試結果有2次即測試6和測試11，不妨用P，Q表示. 從中隨機抽取兩次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六種情況，其中事件D發生，指的是MP,MQ,NP,NQ四種情況.故. -10分（）本題為開放問題，答案不唯一，在此給出評價標準，并給出可能出現的答案情況，閱卷時按照標準酌情給分.給出明確結論，1分，結合已有數據，能夠運用以下兩個標準中的任何一個陳述得出該結論的理由，2分.標準1: 分別比較兩種不同測試的結果，根據數據進行闡述標準2：會用測試結果的平均數進行闡述 -13分標準1: 會用前6次測試品牌A、品牌B的測試結果的平均值與后6次測試品牌A、品牌B的測試結果的平均值進行闡述（這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的測試結果的平均值均小于打開含有文字和圖片的文件的測試結果平均值；這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的平均速度均快于打開含有文字和圖片的文件的平均速度）標準2: 會用前6次測試品牌A、品牌B的測試結果的方差與后6次測試品牌A、品牌B的測試結果的方差進行闡述（這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件的測試結果的方差均小于打開含有文字和圖片的文件的測試結果的方差；這兩種品牌的處理器打開含有文字與表格的文件速度的波動均小于打開含有文字和圖片的文件速度的波動）標準3：會用品牌A前6次測試結果的平均值、后6次測試結果的平均值與品牌B前6次測試結果的平均值、后6次測試結果的平均值進行闡述（品牌A前6次測試結果的平均值大于品牌B前6次測試結果的平均值，品牌A后6次測試結果的平均值小于品牌B后6次測試結果的平均值，品牌A打開含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打開含有文字和圖形的文件的速度快于品牌B）標準4：會用品牌A前6次測試結果的方差、后6次測試結果的方差與品牌B前6次測試結果的方差、后6次測試結果的方差進行闡述（品牌A前6次測試結果的方差大于品牌B前6次測試結果的方差，品牌A后6次測試結果的方差小于品牌B后6次測試結果的方差，品牌A打開含有文字和表格的文件的速度波動大于品牌B，品牌A打開含有文字和圖形的文件的速度波動小于品牌B）標準5：會用品牌A這12次測試結果的平均值與品牌B這12次測試結果的平均值進行闡述（品牌A這12次測試結果的平均值小于品牌B這12次測試結果的平均值，品牌A打開文件的平均速度快于B）標準6：會用品牌A這12次測試結果的方差與品牌B這12次測試結果的方差進行闡述（品牌A這12次測試結果的方差小于品牌B這12次測試結果的方差，品牌A打開文件速度的波動小于B）標準7：會用前6次測試中，品牌A測試結果大于（小于）品牌B測試結果的次數、后6次測試中，品牌A測試結果大于（小于）品牌B測試結果的次數進行闡述（前6次測試結果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次測試中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打開含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打開含有文字和圖片的文件的速度快于B）標準8：會用這12次測試中，品牌A測試結果大于（小于）品牌B測試結果的次數進行闡述（這12次測試結果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2. 故品牌A和品牌B打開文件的速度相當）參考數據期望前6次后6次12次品牌A5.509.837.67品牌B4.3311.838.08品牌A與品牌B4.9210.83方差前6次后6次12次品牌A12.30 27.37 23.15 品牌B5.07 31.77 32.08 品牌A與品牌B8.27 27.97 18. （本題共14分）（）證明：三棱柱中，側面底面，又因為側面底面，底面，所以平面， -3分又因為平面，所以； -4分（）解：連接 ,因為三棱柱中，所以.因為，所以.又因為，所以是邊長為2的正三角形.因為是棱的中點，所以，.又因為，所以.因為，底面，所以底面. -6分所以三棱柱的體積為； 8分注：證明高得1分，計算高的數值為得1分，面積值為2得1分，體積值為得1分（）在直線上存在點，使得平面. -9分證明如下：連接并延長，與的延長線相交，設交點為.連接.因為，故 由于為棱的中點，所以， 故有 又為棱的中點，連接，故為的中位線，所以. -11分又平面，平面，所以平面. -13分故在直線上存在點，使得平面.此時，. -14分 注：證明線線平行2分，證明線面平行2分，下結論說明點P的存在1分，AP的長度1分19. （本題共14分）解：（）， -2分，故. -4分（）設，得到，依題意，由得. 且有， -6分， -7分原點到直線的距離 -8分所以 -9分解得 1，故橢圓方程為. -10分（）直線的垂線為， -11分由解得交點， -12分因為，又所以=，故的值為1. -14分20. （本題共13分）解：（）依題意， -1分所以切線的斜率 又因為， -2分所以切線方程為 y=-1. -3分（）先證不必要性.當時，令，解得. -4分此時，有且只有一個零點，故“有且只有一個零點則”不成立. -5分再證充分性.方法一：當時，.令，解得. -6分（i）當，即時，所以在上單調增.又，所以有且只有一個零點. -7分（ii）當，即時，隨的變化情況如下:000極大值極小值 -8分當時，所以 -9分又所以有且只有一個零點. -10分（說明：如果學生直接寫出時，要扣1分）（iii）當，即時，隨的變化情況如下:000極大值極小值 -11分因為，所以時， -12分令，則. 下面證明當時，.設，則.當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減.所以當時，取得極大值.所以當時，, 即.所以.由零點存在定理，有且只有一個零點. 綜上，是函數有且只有一個零點的充分不必要條件. -13分（說明：如果學生寫出下面過