高濃度固液兩相流的運動特性研究倪晉仁1,2，黃湘江1,2(1.北京大學環(huán)境科學中心；2.水沙科學教育部重點實驗室)摘要：利用固體顆粒運動的動理論，通過改變顆粒濃度可以考察非粘性顆粒在水流中運動的典型微觀和宏觀運動特性。本文分別對微觀的顆粒速度分布函數變化和由此衍生的諸如顆粒平均速度、顆粒脈動速度和單位體積顆粒數垂線分布等宏觀變量的變化進行了系統比較。研究結果表明：動理論能夠比傳統理論獲得更詳細的微觀和宏觀信息，也更適合研究高濃度固液兩相流運動特性，顆粒運動微觀和宏觀特性在顆粒濃度超過一定閾值后會發(fā)生本質的變化，但臨界顆粒濃度值(閾值)在不同的計算和實驗條件下會有一定的差別。關鍵詞：高濃度挾沙水流，微觀，宏觀，特性，運動學理論基金項目：國家自然科學基金資助項目(49625101)作者簡介：倪晉仁(1963-)，男，山西山陰人，教授，主要從事環(huán)境科學及泥沙方面的研究。高濃度固液兩相流在生產實踐中經常遇到。河流中的泥沙含量高，可能導致河道淤積、河床抬高和洪水頻率增加1。高濃度固液兩相流的流動和輸運特性與低濃度固液兩相流有著很大的不同。高濃度挾沙水流經常表現出非牛頓流體的特性2，不同于低濃度時的牛頓流體。以往對于高濃度固液兩相流的描述多基于賓漢塑性體模型或拜格諾的膨脹體模型3，4。就含有粘性顆粒的高濃度固液兩相流而言，中國學者提出了許多關于屈服應力和賓漢粘性系數的經驗表達式，這些表達式中大都采用顆粒濃度和反映顆粒大小組分的變量。Chen5曾對這方面的研究工作進行了全面的評述。就含有非粘性顆粒的高濃度固液兩相流而言，以往的研究6多從Bagnold3的顆粒離散應力概念出發(fā)。Chen7的粘塑體模型包含了以上兩種情況。最近，新的流變模型研究又有進展，并用于描述高濃度挾沙水流的復雜特性，參見Chen8和Brufau9等。通常描述固液兩相流的連續(xù)介質理論10能夠合理地描述流體和顆粒的宏觀運動特性，但不能充分解釋顆粒與顆粒的相互作用，更不能描述顆粒運動的微觀特性。采用基于Boltzmann方程的動理論能夠很好地描述個體顆粒運動和顆粒之間相互作用的微觀特性。這個方法類比自氣體分子運動論，一旦微觀的顆粒速度分布函數已知，固液兩相流的微觀和宏觀特性都可得到很好的認識。盡管動理論過去多被用于描述低濃度固液兩相流，近年來該方法已經被用于高濃度固液兩相流研究中。例如，倪晉仁和王光謙1114曾應用動理論研究高濃度固液兩相流中懸浮顆粒垂向分布。本文則將動理論的應用擴展到研究高濃度固液兩相流的主要微觀運動特性(如顆粒運動速度分布函數變化)和宏觀運動特性(如顆粒平均速度、顆粒脈動速度和單位體積顆粒數等)。為此，從顆粒速度分布函數的微觀信息入手，探討顆粒濃度由低向高變化時固體顆粒特性的響應變化。1 顆粒微觀和宏觀特性的主要變量王光謙和倪晉仁15，16曾在低濃度固液兩相流研究中引入了動理論，并建議固相顆粒類比氣體分子運動用Boltzmann方程(1)來描述。方程右邊是反映顆粒碰撞影響的積分項。在低濃度固液兩相流中，顆粒碰撞影響較小，積分碰撞項通常被忽略。顆粒速度分布函數f=f(vi,xi,t)是在空間坐標xi和時間t顆粒速度介于vi和vi+dvi的顆粒數目，其中dvi=dv1dv2dv3，vi是顆粒的隨機速度，Fi是作用在顆粒上的單位質量力，它包括重力和液相的作用力。顆粒速度分布函數f能夠很好地反映顆粒運動的特性。顆粒速度分布函數的任何變化都將引起一系列顆粒運動宏觀特性的變化12，13。例如，單位體積顆粒數目為n=fdvi(2)相密度為=mfdvi(3)其中m是單個顆粒的質量。顆粒平均速度為i=1/mvifdvi(4)顆粒的脈動速度為vi=vi-i(5)顆粒脈動速度的均方值為2=1/m(vi-i)(vi-i)fdvi(6)2 顆粒運動的微觀特性顆粒速度分布函數是顆粒運動最重要的微觀特性。王光謙和倪晉仁16在平衡條件下針對低濃度固液兩相流，通過忽略式(1)中的復雜碰撞項得到了一個與Champan & Cowling所推導形式類似的方程。當積分碰撞項很小并可被忽略時，得到了相應于低濃度固液兩相流情形下(顆粒體積濃度小于0.05)的顆粒速度分布函數f0=n0exp-/2u2L/u2*3/2L/pH/DCd(1-Cl/Cd)(1-u)2-(u-u0)2-/2u2L/u2*3/2L/PH/DCd(1-Cl/Cd)(1-u)2-(u-u0)2du(7)其中，u=v/uL和u0=v0/uL.=0.2(1+0.22/u*)/1+，(8)u0=0.3(0.45+0.1/u*)1+/1+1.6(9)n0=naexp(-A*(-a)，(10)A*=15(1-v)n1/u*(11)式中：v0為顆粒參考速度；為顆粒沉降速度；u*為剪切速度；D為顆粒粒徑；H為水深；uL為流體的平均流速；Cd為綜合阻力系數；Cl為綜合升力系數；P為顆粒密度；L為流體密度；為顆粒垂線平均的體積濃度；a為參考點位的相對高度；g為重力加速度;n1為指數。在高濃度固液兩相流中碰撞項不能再被忽略。在這種情況下，可以采用與分子氣體運動論中類似的方法進行簡化=-f-f0/(12)其中，f0是低濃度條件下的顆粒速度分布函數，與高濃度下的顆粒速度分布函數f不同；為松弛因子，可以表示為=l/vz(13)其中，l與固液兩相流中固體顆粒在垂向運動的平均自由程成正比，可近似地視為一常數(實際可能是顆粒特征的函數)；vz是等向速度場中的顆粒速度?？紤]恒定流動，則Boltzmann方程簡化為f=f0-1/vz(vi-Fi)(14)作為一階近似，再次采用氣體分子運動理論中的處理方法12,14，可以得到高濃度和低濃度固液兩相流條件下的顆粒速度分布函數之間的關系f=f0-l-mglf0(15)或者f=f0-L-ALf0(16)其中，L=l/H，=z/H，A=kmgH，k為反映顆粒濃度影響的系數；H為水深；為Lagrange系數15。為與作者以前的工作具有可比性和一致性，本文仍采用Michalik17的實驗作為計算條件。Michalik的實驗是在內徑為200mm的方管中進行的，挾沙水流由密度為p=2.65g/cm3的固體顆粒和密度為L=1.0g/cm3的水組成的固液混合流。顆粒的代表粒徑為d50=0.45mm。顆粒的垂線平均體積濃度()變化范圍為0.150.54。流體的運動粘滯系數為=0.01cm2/s,對應的顆粒雷諾數Re=VD=8105。在給定的顆粒粒徑和溫度條件下，顆粒沉降速度為=6.15cm/s。液相流體的速度分布可以根據修正的竇國仁公式(1987)計算，即uL/u*=2.5ln1+u*z/5+7.05(u*z/1+u*z/)2+2.5(u*z/1+u*z/)+0.51-cos(z/H)(17)這一處理方法可能在高含沙量條件下帶來一定的誤差，但根據作者采用其它流速分布公式進行比較，對所得結論不會有明顯影響。在具體計算時，這方面值得繼續(xù)改進。當顆粒濃度很高時，流體相關參數的測量存在很大困難。在求解方程過程中，邊界條件假設符合如下公式fb=Nb1/exp(-(u-ub)2/22b)(18)其中，fb為床面位置處的顆粒速度分布函數；Nb為床面處的單位體積顆粒數；b為床面處顆粒速度分布函數的標準偏差；ub為床面處顆粒分布函數的平均速度。在過去研究成果L=3的基礎上，進一步考慮高濃度條件下顆粒濃度的影響，并采用經驗系數k=30(-0.5)2進行修正。L的大小間接反映與平均自由程的比例關系，與顆粒連續(xù)兩次碰撞所用時間有關。取床面作為參考點，即a=0,便可通過求解上述諸方程得到相應的數值解(見圖1和圖2)。若定義顆粒速度概率密度分布函數為p(u)=(1n)f，則會相應用到兩個參數，一個是對應顆粒速度概率密度分布函數取最大值時的特征速度uc，另一個反映概率密度分布函數形態(tài)的標準偏差。當顆粒濃度給定時，圖1和圖2僅給出了沿垂直方向上相對水深為z/H=0.1，0.5和0.9的部分計算結果；顆粒平均體積濃度的變化則給出了=0.15，0.27，0.31，0.42和0.54的代表情形。圖1 不同顆粒濃度條件下的概率密度分布函數p(u)=(1/n)f變化分析表明，盡管對應于最大顆粒速度概率密度分布函數值的特征速度uc從床面向上呈不斷增加的趨勢，但在垂直方向的任一位置上基本不受顆粒平均濃度變化的影響，見圖3。然而，顆粒平均濃度的變化卻明顯地影響著標準偏差的變化。由圖4可見，沿垂線任意高度上，隨的變化可以大致分為三個階段：即對應于0.42的第三階段。在第一階段，隨的增加而緩慢減??；在第二階段，隨的增加而基本不變；在第三階段，隨的增加而急劇減小。 應該指出，不同階段劃分的閾值=0.31和0.42本身僅僅是在本文的實驗條件下獲得的，在其它實驗條件下可能會有所不同。但是，這里所揭示的高濃度固液兩相流中顆粒濃度超過一定閾值后發(fā)生的微觀運動特性變化卻是非常具有啟發(fā)性的。這一顆粒運動的微觀特性很難從一般的連續(xù)介質理論得到。從動理論獲得的微觀運動特性不僅為理解顆粒運動的細節(jié)增加了新的內容，而且也為研究下列顆粒運動的宏觀特性奠定了理論基礎。3 顆粒運動的宏觀特性3.1 顆粒平均速度垂直分布 顆粒運動的平均速度是一個十分重要的宏觀特性，可根據式(4)的定義和式(16)給出的顆粒速度分布函數表達式求解，計算結果見圖5。圖2 不同垂直高度下的概率密度分布函數p(u)=(1/n)f變化可以看出，顆粒平均速度隨顆粒濃度的變化基本表現為：當顆粒濃度沒有超過一定閾值前，顆粒平均速度的垂直分布與常規(guī)的固液兩相流垂直分布變化相似；但是，隨著顆粒濃度的繼續(xù)增加，顆粒平均速度因顆粒相互作用形式的變化而快速增加，突出表現為顆粒向上聚集趨勢的增加和最大顆粒平均速度出現位置的上移。二者的界限大致在顆粒濃度=0.42左右，這與顆粒運動微觀特性分析中討論的第二個閾值相近。3.2 顆粒脈動速度垂直分布 顆粒脈動速度的垂直分布可根據式(6)的定義和式(16)給出的顆粒速度分布函數求解，計算結果見圖6。由圖可見，在顆粒濃度0.31的范圍內，顆粒脈動速度的垂直分布隨顆粒濃度的增加而緩慢變化；當0.310.42時，顆粒脈動速度隨顆粒濃度的增加急劇增加，特別是對于靠近水流表面的區(qū)域。高濃度固液兩相流中顆粒脈動速度發(fā)生本質性變化的閾值與前面討論的顆粒速度分布函數變化對應的閾值具有較好的對應關系。3.3 顆粒濃度垂直分布 顆粒濃度(或顆粒數)的垂直分布可以很好地反映顆粒運動的狀態(tài)，是顆粒運動分析時不可缺少且相對容易測量的重要宏觀特性。顆粒濃度(或顆粒數)可根據式(2)的定義和式(16)給出的顆粒速度分布函數表達式求解，也可以對式(16)在速度空間上直接積分得到。仍然采用Michalik17的測量數據進行計算，可以得到如圖7所示的顆粒濃度分布。由圖可見，沿垂線上對應于最大顆粒濃度的位置隨顆粒平均濃度的增加而顯著上升，這有別于一般的低濃度固液兩相流。發(fā)生顯著變化的對應顆粒平均濃度大約為0.42。圖3 特征速度uc隨顆粒濃度和位置的變化圖4 標準偏差和平均顆粒濃度的關系圖5 顆粒平均速度垂向分布隨平均顆粒濃度的變化圖6 顆粒脈動速度隨顆粒平均濃度的變化由于對高濃度固液兩相流中微觀特性的直接測量在技術上存在很大的困難，因此要對顆粒速度分布函數進行直接驗證是不易做到的。鑒于此，我們可以用測量到的顆粒運動宏觀特征之一顆粒濃度垂直分布進行間接驗證。由Michalik的測量數據與本文計算結果進行的比較(見圖7)說明，測量和計算結果相當吻合。 4 結論顆粒運動的動理論為研究高濃度固液兩相流的微觀特性和宏觀特性提供了理論基礎。一旦獲得微觀特性的信息，就可相應得知所有傳統的顆粒運動宏觀特性。本文重點探討了微觀顆粒速度分布函數及其由它推演出的顆粒運動宏觀變量(如顆粒平均速度、顆粒脈動速度和顆粒濃度分布等)隨顆粒濃度不斷增加發(fā)生的變化規(guī)律。盡管本文計算時采用的實驗參數可以變化，但是由此得到的有關高濃度固液兩相流的特性很難由傳統的理論獲得，而且有關規(guī)律對研究者們具有啟發(fā)性。(1)顆粒速度概率密度分布函數的峰值隨顆粒平均濃度增加而減小，但是與顆粒速度概率密度分布函數峰值對應的特征速度uc與顆粒平均濃度的變化關系不大，盡管uc隨著垂直坐標的增大向上增加。(2)顆粒速度概率密度分布函數中的標準偏差主要受顆粒平均濃度的控制。對水流中任意給定的垂向高度上，隨顆粒平均體積濃度的變化被兩個閾值(即下臨界閾值和上臨界閾值)分為三個階段。當顆粒平均濃度小于下臨界閾值(本文條件下為=0.31)時，隨顆粒平均濃度的增加而緩慢減少；當顆粒平均濃度大于上臨界閾值(本文條件下為=0.42)時，隨顆粒平均濃度的增加而急劇減少；當顆粒平均濃度介于兩個閾值之間時，變化不明顯。(3)顆粒運動的宏觀特性基本上由顆粒運動的微觀運動特性決定。圖7 測量和計算的顆粒濃度分布在固液兩相流進入高濃度固液兩相流范圍且當顆粒平均大于上臨界閾值(本文條件下為=0.42)時，顆粒運動的宏觀特性變量，如顆粒平均速度、顆粒脈動速度和顆粒濃度垂向分布等變化劇烈，甚至出現反常變化趨勢。(4)應用顆粒運動的動理論能夠獲得高濃度固液兩相流中有關顆粒運動的詳盡的微觀和宏觀特性信息，這些是采用傳統連續(xù)介質理論和依靠修正低濃度固液兩相流研究結果無法做到的。參 考 文 獻：1 錢寧，萬兆惠，錢意穎.黃河高含沙水流問題J.清華大學學報，1979，19(2)：27-34.2 Krieger I M, Dougherty T J. 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