專題14概率與統計 概率與統計 要點回扣 易錯警示 查缺補漏 要點回扣 1 隨機抽樣方法簡單隨機抽樣 系統抽樣 分層抽樣的共同點是抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等 且是不放回抽樣 3 問題1 某社區現有480個住戶 其中中等收入家庭200戶 低收入家庭160戶 其他為高收入家庭 在建設幸福社區的某次分層抽樣調查中 高收入家庭被抽取了6戶 則該社區本次抽取的總戶數為 24 2 對于統計圖表問題 求解時 最重要的就是認真觀察圖表 從中提取有用信息和數據 對于頻率分布直方圖 應注意的是圖中的每一個小矩形的面積是數據落在該區間上的頻率 莖葉圖沒有原始數據信息的損失 但數據很大或有多組數據時 莖葉圖就不那么直觀 清晰了 問題2 從某校高三年級隨機抽取一個班 對該班50名學生的高校招生體檢表中視力情況進行統計 其結果的頻率分布直方圖如圖所示 若某高校a專業對視力的要求在0 9以上 則該班學生中能報a專業的人數為 20 3 眾數 在一組數據中 出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數 眾數為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標 中位數 將一組數據按大小依次排列 把處在最中間位置的一個數據 或最中間兩個數據的平均數 叫做這組數據的中位數 中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標 平均數 樣本數據的算術平均數 即 x1 x2 xn 平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小距形底邊中點的橫坐標之和 平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小距形底邊中點的橫坐標之和 標準差的平方就是方差 方差的計算 問題3 已知一個樣本中的數據為0 12 0 15 0 13 0 15 0 14 0 17 0 15 0 16 0 13 0 14 則該樣本的眾數 中位數分別是 0 15 0 145 5 獨立性檢驗的基本方法一般地 假設有兩個分類變量x和y 它們的取值分別為 x1 x2 和 y1 y2 其樣本頻數列聯表如表 根據觀測數據計算由公式k 所給出的檢驗隨機變量k2的觀測值k 并且k的值越大 說明 x與y有關系 成立的可能性越大 可以利用數據來確定 x與y有關系 的可信程度 問題5 為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關 對該班50名學生進行了問卷調查 得到了如下的2 2列聯表 則至少有 的把握認為喜愛打籃球與性別有關 請用百分數表示 99 5 6 互斥事件有一個發生的概率p a b p a p b 1 公式適合范圍 事件a與b互斥 2 p 1 p a 7 古典概型p a 其中 n為一次試驗中可能出現的結果總數 m為事件a在試驗中包含的基本事件個數 問題7 若將一枚質地均勻的骰子先后拋擲2次 則出現向上的點數之和為4的概率為 問題8 在棱長為2的正方體abcd a1b1c1d1中 點o為底面abcd的中心 在正方體abcd a1b1c1d1內隨機取一點p 則點p到點o的距離大于1的概率為 解析記 點p到點o的距離大于1 為a 答案b 9 解排列 組合問題的依據是 分類相加 分步相乘 有序排列 無序組合 解排列 組合問題的規律是 相鄰問題捆綁法 不相鄰問題插空法 多排問題單排法 定位問題優先法 定序問題倍縮法 多元問題分類法 有序分配分步法 綜合問題先選后排法 至多至少問題間接法 問題9 1 將5封信投入3個郵筒 不同的投法共有 種 2 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺 其中至少要甲型和乙型電視機各一臺 則不同的取法共有 種 70 特別提醒 二項式系數最大項與展開式系數最大項是兩個不同的概念 在求法上也有很大的差別 往往因為概念不清導致出錯 4 1 11 要注意概率p a b 與p ab 的區別 1 在p a b 中 事件a b發生有時間上的差異 b先a后 在p ab 中 事件a b同時發生 2 樣本空間不同 在p a b 中 事件b成為樣本空間 在p ab 中 樣本空間仍為 因而有p a b p ab 12 求分布列 要檢驗概率的和是否為1 如果不是 要重新檢查修正 還要注意識別獨立重復試驗和二項分布 然后用公式 問題12 若隨機變量 的分布列如下表 則e 的值為 p x 0 6826 p 2 x 2 0 9544 p 3 x 3 0 9974 問題13 已知隨機變量 服從正態分布n 2 2 且p 4 0 8 則p 0 2 等于 a 0 6b 0 4c 0 3d 0 2 解析 p 4 0 2 由題意知圖象的對稱軸為直線x 2 p 4 0 2 p 04 0 6 p 0 2 p 0 4 0 3 易錯點1統計圖表識圖不準致誤 易錯點2在幾何概型中 測度 確定不準致誤 易錯點3分不清是排列還是組合致誤 易錯警示 易錯點4均勻分組與非均勻分組混淆致誤 易錯點1統計圖表識圖不準致誤 例1如圖所示是某公司 共有員工300人 2012年員工年薪情況的頻率分布直方圖 由此可知 員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的大約有 人 錯解由頻率分布直方圖 員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的頻率為1 0 02 0 08 0 10 0 10 0 08 0 62 估計年薪在1 4萬元 1 6萬元之間約有300 0 62 186 人 找準失分點 本題主要混淆頻率分布直方圖與條形圖縱軸的意義 頻率分布直方圖中 縱軸 矩形高 表示 每個小矩形的面積才表示落在該區間上的頻率 由于概念不清 識圖不準導致計算錯誤 正解由所給圖形可知 員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的頻率為1 0 02 0 08 0 08 0 10 0 10 2 0 24 所以員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的共有300 0 24 72 人 答案72 易錯點2在幾何概型中 測度 確定不準致誤 例2如圖所示 在等腰rt abc中 過直角頂點c在 acb內部任意作一條射線cm 與線段ab交于點m 求am ac的概率 錯解記am ac為事件e 設ca cb a 因為 abc是直角三角形 在ab上取一點d 使ad ac a 那么對線段ad上的任意一點m都有am ad 即am ac 找準失分點 據題意 過直角頂點c在 acb內部作一條射線cm 射線cm在 acb內部均勻分布 但是點m在ab上的分布不是均勻的 正解在ab上取一點d 使ad ac 易錯點3分不清是排列還是組合致誤 例3如圖所示 a b c d是海上的四個小島 要建三座橋 將這四個島連接起來 不同的建橋方案共有多少種 錯解對于有一個中心的結構形式有 對于四個島依次相連的形式有 共有2 48 種 找準失分點 沒有分清是排列還是組合 正解由題意可能有兩種結構 如圖 第一種 第二種 易錯點4均勻分組與非均勻分組混淆致誤 例44個不同的小球放入編號為1 2 3 4的4個盒中 則恰有1個空盒的放法共有 種 用數字作答 錯解288 找準失分點 正解把4個球分成3組 每組至少1個 答案144 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 在某次測量中得到的a樣本數據如下 82 84 84 86 86 86 88 88 88 88 若b樣本數據恰好是a樣本數據每個都加2后所得數據 則a b兩樣本的下列數字特征對應相同的是 a 眾數b 平均數c 中位數d 標準差 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析對樣本中每個數據都加上一個非零常數時不改變樣本的方差和標準差 眾數 中位數 平均數都發生改變 答案d 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2014 湖北 根據如下樣本數據 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析作出散點圖如右 答案b 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析如圖 平面區域 1就是三角形區域oab 平面區域 2與平面區域 1的重疊部分就是區域oacd 答案d 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 2014 湖南 x 2y 5的展開式中x2y3的系數是 a 20b 5c 5d 20 a 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 如圖 矩形abcd中 點e為邊cd上任意一點 若在矩形abcd內部隨機取一個點q 則點q取自 abe內部的概率等于 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析這是一道幾何概型的概率問題 點q取自 abe內部的概率為 故選c 答案c 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2014 福建 如圖 在邊長為e e為自然對數的底數 的正方形中隨機撒一粒黃豆 則它落到陰影部分的概率為 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由題意知 所給圖中兩陰影部分面積相等 又該正方形面積為e2 故由幾何概型的概率公式可得所求概率為 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2014 江西 10件產品中有7件正品 3件次品 從中任取4件 則恰好取到1件次品的概率是 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 如圖所示 圖2中實線圍成的部分是長方體 圖1 的平面展開圖 其中四邊形abcd是邊長為1的正方形 若向虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點 它落在長方體的平面展開圖內的概率是 則此長方體的體積是 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析設長方體的高為h 由幾何概型的概率計算公式可知 質點落在長方體的平面展開圖內的概率 解得h 3或h 舍去 故長方體的體積為1 1 3 3 答案3 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 已知某人投籃的命中率為 則此人投籃4次 至少命中3次的概率是 解析該人投籃4次 命中3次的概率為 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 某路段檢查站監控錄像顯示 在某時段內 有1000輛汽車通過該站 現在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析 分析的結果表示為如圖所示的頻率分布直方圖 則估計在這一時段內通過該站的汽車中車速不小于90km h的約有 輛 注 分析時車速均取整數 查缺補漏 1 2 3 4