1.3.1 函數的單調性與最大(小)值（1）教案 授課人：馬山中學 蒙立勇1教學目標（1）知識與技能：使學生理解函數單調性的概念，掌握判別函數的單調性的方法（2）過程與方法：從生活實際和已有舊知出發，引導學生探索函數的單調性的概念，應用圖象和單調性的定義解決函數單調性問題，使學生領會數形結合的數學方法，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力（3）情感態度價值觀：使學生體驗數學的嚴謹性，培養學生細心觀察、歸納、分析的良好習慣和不斷探求新知識的精神2教學重點 （1）函數單調性的概念；（2）運用函數單調性的定義判斷和證明一些函數的單調性 教學難點 利用函數單調性的定義判斷和證明函數的單調性3教學方法和教學手段 運用導學案方式引導學探索發現新識。4教學過程5、教學基本流程：單調性的直觀感受-單調性的定性描述-單調性的定量刻畫-單調性的具體應用6、教學過程設計教學環節問題情境師生互動設計意圖創設情景引入新課觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化特征嗎？yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1學生可能的答案是：第一個圖中的函數圖像，自左而右是上升的，同時圖像關于原點對稱；第二個圖像，自左而右有時是上升的、有時是下降的；第三個圖像自左而右有時是上升的、有時是下降的，同時圖像關于y軸對稱。教師要引導，借助于對圖像的觀察，對所觀察到的特征進行歸類，及時指出本節課重點討論圖像的升降性，由圖像的升降性所表現出的函數的性質就是函數的單調性-板書課題函數的單調性從形到數，借助對函數圖像的觀察而獲得的圖像特征，想象出相應函數的性質合作學習問題探究問題1、畫出一次函數f(x)=x及二次函數f(x)=x2的圖像，說說隨著x的增大，圖像的升降情況函數f(x)=x的圖像自左向右是上升的，函數f(x)=x2的圖像在y軸左側自左向右是下降的，在y軸右側自左向右是上升的。教師要引導學生對函數單調性做直觀描述：函數在自變量x的某個區間上的圖像如果自左向右是上升的，那么函數在這個區間上是增函數，如果圖像是下降的，則函數在這個區間上是減函數以一次函數和二次函數為載體借助于圖像的直觀性給出函數單調性的直觀性定義，從而使學生對函數的單調性有感性的認識問題2、完成下列表格，觀察表格說說二次函數f(x)=x2隨著x的增大函數值y的變化規律是什么？是逐步增大還是逐步減小？x-3-2-10123Y=f(x)當是隨著自變量x的增大，函數值Y逐步增大；當是隨著自變量x的增大，函數值Y逐步減小教師要引導學生對函數的單調性做定性描述：函數在自變量x的某個區間上隨著自變量的增大，函數值逐步增大，那么函數在這個區間上是增函數，相應的函數值減小，則函數是減函數以二次函數為載體，在對函數的單調性的感性認識的基礎上逐步向理性轉化問題3、對一般函數f(x)而言，函數在定義域的某個區間上圖像自左而右圖像上升或下降，相應地函數值的變化規律是什么？圖像上升時隨著自變量的增大函數值逐步增大；圖像下降時隨著自變量的增大函數值逐步減小教師要引導學生由特殊函數的圖像的升降性與函數值的變化規律過渡到一般函數的圖像的升降性與函數值的變化規律由特殊函數的性質過渡到一般函數的性質，目的在于培養學生的合情推理能力問題4、對于隨著自變量的增大，函數值逐步增大，你認為下列哪種描述更為貼切？（1）對于函數f(x)，當自變量x在定義域的某個區間上的取兩個特殊的值x1，x2，當x1x2時， f(x1)f(x2)，則在這個區間上隨著自變量x的增大，函數值f(x)都在逐步增大，則函數在這個區間上是增函數學生相互討論，教師加以引導：對（1）來說教師以二次函數f(x)=x2為例，在定義域內取x1=-1，x2=2顯然x1x2 f(x1)f(x2)，但是由圖像可知函數在定義域內不是增函數讓學生體會自變量的任意兩個不同的值的必要性，為后面單調性定義的定量刻畫奠定基礎合作學習問題探究（2）對于函數f(x)，當自變量x在定義域的某個區間上的任取兩個值x1，x2，當x1x2時，都有 f(x1)f(x2)，則在這個區間上隨著自變量x的增大，函數值f(x)都在逐步增大，則函數在這個區間上是增函數由此可知要確保函數是增函數，x1，x2在這個區間必須是任意才可以歸納總結形成結論一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D上的自變量的任意兩個值x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數如果對于定義域I內的某個區間D上的自變量的任意兩個值x1，x2，當x1 f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是減函數如果函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數在這個區間上是單調函數，區間D叫做函數的單調區間，分為遞增區間和遞減區間引導學生依據前面的討論說出增函數的定義，同時讓學生模仿增函數的定義敘述出減函數的定義教師引導學生找出定義中的關鍵詞：定義域內的某個區間-自變量的任意兩個值-都有。通過以上對單調性的直觀感受到定性描述到最終的定量刻畫，循序漸進、層層深入，由特殊到一般，由直觀到抽象，符合學生的認知過程課堂練習加深理解練習1、如圖是定義在區間5，5上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？練習2、下列說法是否正確，請畫圖或舉例來說明理由（1）如果對于區間上的任意x，都有f(x)f(0),則函數f(x)在區間上是增函數（2）對于區間（a，b）的某三個值x1，x2，x3，當x1x2x3時， f(x1)f(x2)f(x3),則函數f(x)在（a，b）上是增函數引導學生通過對圖像的觀察以及對具體函數的探討進一步加深單調性的理解練習2（1）的設置體現在區間中任選一個值不能確定函數是否單調練習2 （2）的設置體現了：即使在區間內取三個不同的值、甚至更多的值也不能確定函數是否單調由此可知：刻畫函數的單調性不在于區間內所選取的自變量的值的多少，關鍵在于是否具有任意性，只要是任意的兩個不同的值就可以了，以避免學生在以后的證明中“以特殊的兩個不同值代替任意的兩個不同值”的錯誤的證明。例題講解鞏固知識3、反比例函數在是_函數，在是_函數，能否說函數在其整個定義域上是減函數？并證明你的結論。引導學生歸納函數在某個區間上是單調函數的證明方法和步驟：設 任取x1，x2D，且x1x2； 作差變形f(x1)f(x2)；定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）教師引導學生理解函數在區間、上都是減函數，在整個定義域上不是減函數，強調函數的單調區間不能寫成的形式從定向性的證明，到自我探索復雜函數的單調區間并完成證明，是一個很大的跨越，但在此探索過程中，學生體會到數學中“數形”的聯系和互相驗證，體會到成功解決問題的快樂通過具體問題，使學生認識到函數的單調性是函數在定義域的某個區間上的性質，是函數的局部性質，在整個定義域內函數未必是單調函數與當堂檢測4、探究一次函數的單調性，并證明你的結論。（當堂檢測另附）學生動手，引導學生對字母進行討論（參考答案用投影顯示）鞏固本節課所學知識以及函數單調性的探究方法納小結知識整合思考：1、函數的單調性的定義是怎樣的？2、函數的單調性在圖像上的表現是什么？3、函數的單調性在函數值上的變化規律是什么？4、函數的單調性是否為函數的整體性質？5、證明函數在某個區間上是增函數或是減函數的證明依據是什么？具體證明的步驟有哪些？現在對定義中的任意兩個字能正確理解嗎？6、判斷某個函數在定義域的某個區間上是否為增函數或是減函數，你有哪些判定方法？教師引導學生對本節課的學習內容和探究方法做總結通過學生的主體參與，使學生深切體會到本節課的主要內容和思想方法，從而實現對函數單調性認識的再次深化.知識拓展：在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜你能運用本節所學過的數學知識來解釋這一現象嗎？學生動手實驗分組討論，培養學生自主學習、合作探究的能力（參考答案用投影顯示）生活實際問題的提供體現了數學來源于生活，也用于解決生活中的問題板書設計：1.3函數的單調性 4、函數在某個區間上是單調函數的證明方法和步驟： 1、 增函數的定義： （1） （2）2、 減函數的定義： （3） （4）3、 函數的單調區間； 教學設計說明教案設計說明：本節課是一節概念課函數單調性的本質是利用解析的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達圍繞以上兩個難點，在本節課的處理上，著重注意了以下幾個問題：1、重視學生的親身體驗具體體現在兩個方面：將新知識與學生的已有知識建立了聯系如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識，學生對“y隨x的增大而增大”的理解；運用新知識嘗試解決新問題如：對函數在定義域上的單調性的討論2、重視學生發現的過程如：充分暴露學生將函數圖象（形）的特征轉化為函數值（數）的特征的思維過程；充分暴露在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程3、重視學生的動手實踐過程通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義4、重視課堂問題的設計通過對問題的設計，引導學生解決問題附： 知識檢測（第1到第5題各一分，第6題5分，滿分：10分）計分： 1. 如果函數在R上單調遞減，則（ ） A. B. C. D. 2. 在區間上為增函數的是（ ）A B C D3. 函數的單調增區間是（ ） A. B. C. R D.不存在4. 函數（）的單調性是