完全版完全版 概率論與數理統計習題答案概率論與數理統計習題答案 第四版第四版 盛驟盛驟 浙江大學浙江大學 浙大第四版 高等教育出版社 浙大第四版 高等教育出版社 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念 1 一一 寫出下列隨機試驗的樣本空間寫出下列隨機試驗的樣本空間 1 記錄一個小班一次數學考試的平均分數 充以百分制記分 記錄一個小班一次數學考試的平均分數 充以百分制記分 一一 1 n n nn o S 1001 n 表小班人數表小班人數 3 生產產品直到得到 生產產品直到得到 10 件正品 記錄生產產品的總件數 件正品 記錄生產產品的總件數 一一 2 S 10 11 12 n 4 對某工廠出廠的產品進行檢查 合格的蓋上 正品 不合格的蓋上 次品 對某工廠出廠的產品進行檢查 合格的蓋上 正品 不合格的蓋上 次品 如連續查出二如連續查出二個次品就停止檢查 或檢查個次品就停止檢查 或檢查 4 個產品就停止檢查 記錄檢查的結果 個產品就停止檢查 記錄檢查的結果 查出合格品記為 查出合格品記為 1 查出次品記為 查出次品記為 0 連續出現兩個 連續出現兩個 0 就停止檢查 或查滿 就停止檢查 或查滿 4 次才停止檢查 次才停止檢查 一一 3 S 00 100 0100 0101 1010 0110 1100 0111 1011 1101 1110 1111 2 二二 設設 A B C 為三事件 用為三事件 用 A B C 的運算關系表示下列事件 的運算關系表示下列事件 1 A 發生 發生 B 與與 C 不發生 不發生 表示為 表示為 CBA或或 A AB AC 或或 A B C 2 A B 都發生 而都發生 而 C 不發生 不發生 表示為 表示為 CAB或或 AB ABC 或或 AB C 3 A B C 中至少有一個發生中至少有一個發生 表示為 表示為 A B C 4 A B C 都發生 都發生 表示為 表示為 ABC 5 A B C 都不發生 都不發生 表示為 表示為 CBA或或 S A B C 或或CBA 6 A B C 中不多于一個發生 即中不多于一個發生 即 A B C 中至少有兩個同時不發生中至少有兩個同時不發生 相當于相當于CACBBA 中至少有一個發生 故中至少有一個發生 故 表表示為 示為 CACBBA 7 A B C 中不多于二個發生 中不多于二個發生 相當于 相當于 CBA 中至少有一個發生 故中至少有一個發生 故 表示為 表示為 ABCCBA或 8 A B C 中至少有二個發生 中至少有二個發生 相當于 相當于 AB BC AC 中至少有一個發生 故中至少有一個發生 故 表示為 表示為 AB BC AC 6 三三 設設 A B 是兩事件且是兩事件且 P A 0 6 P B 0 7 問問 1 在什么條件下在什么條件下 P AB 取到最取到最 大值 最大值是多少 大值 最大值是多少 2 在什么條件下 在什么條件下 P AB 取到最小值 最取到最小值 最小值是多少 小值是多少 解 由解 由 P A 0 6 P B 0 7 即知即知 AB 否則 否則 AB 依互斥事件加法定理 依互斥事件加法定理 P A B P A P B 0 6 0 7 1 3 1 與與 P A B 1 矛盾 矛盾 從而由加法定理得從而由加法定理得 P AB P A P B P A B 1 從 從 0 P AB P A 知 當知 當 AB A 即 即 A B 時時 P AB 取到最大值 最大值為取到最大值 最大值為 P AB P A 0 6 2 從 從 式知 當式知 當 A B S 時 時 P AB 取最小值 最小值為取最小值 最小值為 P AB 0 6 0 7 1 0 3 7 四四 設設 A B C 是三事件 且是三事件 且0 4 1 BCPABPCPBPAP 8 1 ACP 求求 A B C 至少有一個發生的概率 至少有一個發生的概率 解 解 P A B C 至少有一個發生至少有一個發生 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 8 5 0 8 1 4 3 8 五五 在一標準英語字典中具有在一標準英語字典中具有 55 個由二個不相同的字母新組成的單詞 若從個由二個不相同的字母新組成的單詞 若從 26 個英語字母中任取兩個英語字母中任取兩個字母予以排列 問能排成上述單詞的概率是多少 個字母予以排列 問能排成上述單詞的概率是多少 記記 A 表 能排成上述單詞 表 能排成上述單詞 從從 26 個任選兩個來排列 排法有個任選兩個來排列 排法有 2 26 A種 每種排法等可能 種 每種排法等可能 字典中的二個不同字母組成的單詞 字典中的二個不同字母組成的單詞 55 個個 130 1155 2 26 A AP 9 在電話號碼薄中任取一個電話號碼 求后面四個數全不相同的概率 設后面在電話號碼薄中任取一個電話號碼 求后面四個數全不相同的概率 設后面 4 個數中的每一個數都是等可能性地取自個數中的每一個數都是等可能性地取自 0 1 2 9 記記 A 表 后四個數全不同 表 后四個數全不同 后四個數的排法有后四個數的排法有 104種 每種排法等可能 種 每種排法等可能 后四個數全不同的排法有后四個數全不同的排法有 4 10 A 504 0 10 4 4 10 A AP 10 六六 在房間里有在房間里有 10 人 分別佩代著從人 分別佩代著從 1 號到號到 10 號的紀念章 任意選號的紀念章 任意選 3 人記錄人記錄 其紀念章的號碼 其紀念章的號碼 1 求最小的號碼為 求最小的號碼為 5 的概率 的概率 記 三人紀念章的最小號碼為記 三人紀念章的最小號碼為 5 為事件 為事件 A 10 人中任選人中任選 3 人為一組 選法有人為一組 選法有 3 10 種 且每種選法等可能 種 且每種選法等可能 又事件又事件 A 相當于 有一人號碼為相當于 有一人號碼為 5 其余 其余 2 人號碼大于人號碼大于 5 這種組合的種數有 這種組合的種數有 2 5 1 12 1 3 10 2 5 1 AP 2 求最大的號碼為 求最大的號碼為 5 的概率 的概率 記 三人中最大的號碼為記 三人中最大的號碼為 5 為事件 為事件 B 同上 同上 10 人中任選人中任選 3 人 選法有人 選法有 3 10 種 且種 且 每種選法等可能 又事件每種選法等可能 又事件 B 相當于 有一人號碼為相當于 有一人號碼為 5 其余 其余 2 人號碼小于人號碼小于 5 選法有 選法有 2 4 1 種種 20 1 3 10 2 4 1 BP 11 七七 某油漆公司發出某油漆公司發出 17 桶油漆 其中白漆桶油漆 其中白漆 10 桶 黑漆桶 黑漆 4 桶 紅漆桶 紅漆 3 桶 在搬桶 在搬 運中所標箋脫落 交貨人隨意將這些標箋重新貼 問一個定貨運中所標箋脫落 交貨人隨意將這些標箋重新貼 問一個定貨 4 桶白漆 桶白漆 3 桶黑漆和桶黑漆和 2 桶紅漆顧客 按所定的顏色如數得到定貨的概率是多少 桶紅漆顧客 按所定的顏色如數得到定貨的概率是多少 記所求事件為記所求事件為 A 在在 17 桶中任取桶中任取 9 桶的取法有桶的取法有 9 17 C種 且每種取法等可能 種 且每種取法等可能 取得取得 4 白白 3 黑黑 2 紅的取法有紅的取法有 2 3 3 4 4 10 CCC 故故 2431 252 6 17 2 3 3 4 4 10 C CCC AP 12 八八 在在 1500 個產品中有個產品中有 400 個次品 個次品 1100 個正品 任意取個正品 任意取 200 個 個 1 求恰有 求恰有 90 個次品的概率 個次品的概率 記 恰有記 恰有 90 個次品 為事件個次品 為事件 A 在在 1500 個產品中任取個產品中任取 200 個 取法有個 取法有 200 1500 種 每種取法等可能 種 每種取法等可能 200 個產品恰有個產品恰有 90 個次品 取法有個次品 取法有 110 1100 90 400 種種 200 1500 110 1100 90 400 AP 2 至少有 至少有 2 個次品的概率 個次品的概率 記 記 A 表 至少有表 至少有 2 個次品 個次品 B0表 不含有次品 表 不含有次品 B1表 只含有一個次品 同上 表 只含有一個次品 同上 200 個產品不含次品 取法個產品不含次品 取法 有有 200 1100 種 種 200 個產品含一個次品 取法有個產品含一個次品 取法有 199 1100 1 400 種種 10 BBA 且且 B0 B1互不相容 互不相容 200 1500 199 1100 1 400 200 1500 200 1100 1 1 1 10 BPBPAPAP 13 九九 從從 5 雙不同鞋子中任取雙不同鞋子中任取 4 只 只 4 只鞋子中至少有只鞋子中至少有 2 只配成一雙的概率是多只配成一雙的概率是多 少 少 記記 A 表 表 4 只全中至少有兩支配成一對 只全中至少有兩支配成一對 則則A表 表 4 只人不配對 只人不配對 從從 10 只中任取只中任取 4 只 取法有只 取法有 4 10 種 每種取法等可能 種 每種取法等可能 要要 4 只都不配對 可在只都不配對 可在 5 雙中任取雙中任取 4 雙 再在雙 再在 4 雙中的每一雙里任取一只 取法有雙中的每一雙里任取一只 取法有 4 2 4 5 21 13 21 8 1 1 21 8 2 4 10 44 5 APAP C C AP 15 十一十一 將三個球隨機地放入將三個球隨機地放入 4 個杯子中去 問杯子中球的最大個數分別是個杯子中去 問杯子中球的最大個數分別是 1 2 3 的概率各為多少 的概率各為多少 記記 Ai表 杯中球的最大個數為表 杯中球的最大個數為 i 個 個 i 1 2 3 三只球放入四只杯中 放法有三只球放入四只杯中 放法有 43種 每種放法等可能種 每種放法等可能 對對 A1 必須三球放入三杯中 每杯只放一球 放法 必須三球放入三杯中 每杯只放一球 放法 4 3 2 種 種 選排列 好比選排列 好比 3 個球在個球在 4 個位置做排列個位置做排列 16 6 4 234 3 1 AP 對對 A2 必須三球放入兩杯 一杯裝一球 一杯裝兩球 放法有 必須三球放入兩杯 一杯裝一球 一杯裝兩球 放法有34 2 3 C種 種 從從 3 個球中選個球中選 2 個球 選法有個球 選法有 2 3 C 再將此兩個球放入一個杯中 選法有 再將此兩個球放入一個杯中 選法有 4 種 最后將剩余的種 最后將剩余的 1 球放入其余的一個杯中 選法有球放入其余的一個杯中 選法有 3 種 種 16 9 4 34 3 2 3 2 C AP 對對 A3 必須三球都放入一杯中 放法有 必須三球都放入一杯中 放法有 4 種 種 只需從只需從 4 個杯中選個杯中選 1 個杯子 放入此個杯子 放入此 3 個球 選法有個球 選法有 4 種種 16 1 4 4 3 3 AP 16 十二十二 50 個鉚釘隨機地取來用在個鉚釘隨機地取來用在 10 個部件 其中有三個鉚釘強度太弱 每個部個部件 其中有三個鉚釘強度太弱 每個部 件用件用 3 只鉚釘 若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上 則這個部件強度就太弱只鉚釘 若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上 則這個部件強度就太弱 問發生一個部件強度太弱的概率是多少 問發生一個部件強度太弱的概率是多少 記記 A 表 表 10 個部件中有一個部件強度太弱 個部件中有一個部件強度太弱 法一 用古典概率作 法一 用古典概率作 把隨機試驗把隨機試驗 E 看作是用三個釘一組 三個釘一組去鉚完看作是用三個釘一組 三個釘一組去鉚完 10 個部件 在三個釘的一組個部件 在三個釘的一組 中不分先后次序 但中不分先后次序 但 10 組釘鉚完組釘鉚完 10 個部件要分先后次序 個部件要分先后次序 對對 E 鉚法有 鉚法有 3 23 3 44 3 47 3 50 CCCC 種 每種裝法等可能種 每種裝法等可能 對對 A 三個次釘必須鉚在一個部件上 這種鉚法有 三個次釘必須鉚在一個部件上 這種鉚法有 3 23 3 44 3 47 3 3 CCCC 10 種種 00051 0 1960 1 10 3 23 3 47 3 50 3 23 3 44 3 47 3 3 CCC CCCC AP 法二 用古典概率作法二 用古典概率作 把試驗把試驗 E 看作是在看作是在 50 個釘中個釘中任選任選 30 個釘排成一列 順次釘下去 直到把部件鉚完 個釘排成一列 順次釘下去 直到把部件鉚完 鉚釘要計先后次序 鉚釘要計先后次序 對對 E 鉚法有 鉚法有 3 50 A種 每種鉚法等可能種 每種鉚法等可能 對對 A 三支次釘必須鉚在 三支次釘必須鉚在 1 2 3 位置上或 位置上或 4 5 6 位置上 或 位置上 或 28 29 30 位置上 這種鉚法有 位置上 這種鉚法有 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 10AAAAAAAA 種種 00051 0 1960 1 10 30 50 27 47 3 3 A AA AP 17 十三十三 已知已知 5 0 4 0 3 0 BABPBAPBPAP 求 解一 解一 BAABBBAASABPBPAPAP 6 0 1 7 0 1 注意注意 BAAB 故有故有 P AB P A P AB 0 7 0 5 0 2 再由加法定理 再由加法定理 P A B P A P B P AB 0 7 0 6 0 5 0 8 于是于是25 0 8 0 2 0 BAP ABP BAP BABP BABP 25 0 5 06 07 0 5 1 5 1 7 2 7 5 7 0 5 0 0705 BAPBPAP BAP BAP BBBAP BABP ABPAPABPABPABP ABPABPAPBAP 定義 故 解二 由已知 18 十四十四 2 1 3 1 4 1 BAPBAPABPAP 求 解 由解 由 6 1 3 1 4 1 2 1 BP BPBP ABPAP BP ABP BAP有 定義 由已知條件 由乘法公式 得由乘法公式 得 12 1 ABPAPABP 由加法公式 得由加法公式 得 3 1 12 1 6 1 4 1 ABPBPAPBAP 19 十五十五 擲兩顆骰子 已知兩顆骰子點數之和為擲兩顆骰子 已知兩顆骰子點數之和為 7 求其中有一顆為 求其中有一顆為 1 點的概率 用點的概率 用 兩種方法 兩種方法 解 方法一 在縮小的樣本空間解 方法一 在縮小的樣本空間 SB 中求中求 P A B 即將事件 即將事件 B 作為樣本空間 求作為樣本空間 求 事件事件 A 發生的概率 發生的概率 擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數組 擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數組 x y x y 1 2 3 4 5 6 并且滿足 并且滿足 x y 7 則 則 樣本空間為樣本空間為 S x y 1 6 6 1 2 5 5 2 3 4 4 3 每種結果 每種結果 x y 等可能 等可能 A 擲二骰子 點數和為擲二骰子 點數和為 7 時 其中有一顆為時 其中有一顆為 1 點 故點 故 3 1 6 2 AP 方法二 用公式方法二 用公式 BP ABP BAP S x y x 1 2 3 4 5 6 y 1 2 3 4 5 6 每種結果均可能每種結果均可能 A 擲兩顆骰子 擲兩顆骰子 x y 中有一個為 中有一個為 1 點 點 B 擲兩顆骰子 擲兩顆骰子 x y 7 則 則 22 6 2 6 1 6 6 ABPBP 故故 3 1 6 2 6 1 6 2 2 BP ABP BAP 20 十六十六 據以往資料表明 某一據以往資料表明 某一 3 口之家 患某種傳染病的概率有以下規律 口之家 患某種傳染病的概率有以下規律 P A P 孩子得病孩子得病 0 6 P B A P 母親得病母親得病 孩子得病孩子得病 0 5 P C AB P 父親得病父親得病 母親母親 及孩子得病及孩子得病 0 4 求母親及孩子得病但父親未得病的概率 求母親及孩子得病但父親未得病的概率 解 所求概率為解 所求概率為 P ABC 注意 由于 母病 孩病 父病 都是隨機事件 注意 由于 母病 孩病 父病 都是隨機事件 這里不是求這里不是求 P C AB P AB P A P B A 0 6 0 5 0 3 P C AB 1 P C AB 1 0 4 0 6 從而從而 P ABC P AB P C AB 0 3 0 6 0 18 21 十七十七 已知已知 10 只晶體管中有只晶體管中有 2 只次品 在其中取二次 每次隨機地取一只 作只次品 在其中取二次 每次隨機地取一只 作 不放回抽樣 求下列事件的概率 不放回抽樣 求下列事件的概率 1 二只都是正品 記為事件 二只都是正品 記為事件 A 法一 用組合做法一 用組合做 在在 10 只中任取兩只來組合 每一個組合看作一個基本結果 每種只中任取兩只來組合 每一個組合看作一個基本結果 每種 取法等可能 取法等可能 62 0 45 28 2 10 2 8 C C AP 法二 用排列做法二 用排列做 在在 10 只中任取兩個來排列 每一個排列看作一個基本結果 每個只中任取兩個來排列 每一個排列看作一個基本結果 每個 排列等可能 排列等可能 45 28 2 10 2 8 A A AP 法三 用事件的運算和概率計算法則來作 法三 用事件的運算和概率計算法則來作 記記 A1 A2分別表第一 二次取得正品 分別表第一 二次取得正品 45 28 9 7 10 8 1221 AAPAPAAPAP 2 二只都是次品 記為事件 二只都是次品 記為事件 B 法一 法一 45 1 2 10 2 2 C C BP 法二 法二 45 1 2 10 2 2 A A BP 法三 法三 45 1 9 1 10 2 12121 AAPAPAAPBP 3 一只是正品 一只是次品 記為事件 一只是正品 一只是次品 記為事件 C 法一 法一 45 16 2 10 1 2 1 8 C CC CP 法二 法二 45 16 2 10 2 2 1 2 1 8 A ACC CP 法三 法三 互斥與且 21212121 AAAAAAAAPCP 45 16 910 82 9 2 10 8 121121 AAPAPAAPAP 4 第二次取出的是次品 記為事件 第二次取出的是次品 記為事件 D 法一 因為要注意第一 第二次的順序 不能用組合作 法一 因為要注意第一 第二次的順序 不能用組合作 法二 法二 5 1 2 10 1 2 1 9 A AA DP 法三 法三 互斥與且 21212121 AAAAAAAAPDP 5 1 9 1 10 2 9 2 10 8 121121 AAPAPAAPAP 22 十八十八 某人忘記了電話號碼的最后一個數字 因而隨機的撥號 求他撥號不超某人忘記了電話號碼的最后一個數字 因而隨機的撥號 求他撥號不超 過三次而接通所需的電話的概率是多少 如果已知最后一個數字是奇數 那么此概率是過三次而接通所需的電話的概率是多少 如果已知最后一個數字是奇數 那么此概率是 多少 多少 記記 H 表撥號不超過三次而能接通 表撥號不超過三次而能接通 Ai表第表第 i 次撥號能接通 次撥號能接通 注意 第一次撥號不通 第二撥號就不再撥這個號碼 注意 第一次撥號不通 第二撥號就不再撥這個號碼 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 2131211211 321211 AAAPAAPAPAAPAPAPHP AAAAAAH 三種情況互斥 如果已知最后一個數字是奇數 如果已知最后一個數字是奇數 記為事件記為事件 B 問題變為在 問題變為在 B 已發生的條件下 求已發生的條件下 求 H 再發生的概率 再發生的概率 321211 BAAABAABPABHP 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 24 十九十九 設有甲 乙二袋 甲袋中裝有設有甲 乙二袋 甲袋中裝有 n 只白球只白球 m 只紅球 乙袋中裝有只紅球 乙袋中裝有 N 只白球只白球 M 只紅球 今從甲袋中任取一球放入乙袋中 再從乙袋中任取一球 問取到 即從乙袋只紅球 今從甲袋中任取一球放入乙袋中 再從乙袋中任取一球 問取到 即從乙袋 中取到 白球的概率是多少 此為第三版中取到 白球的概率是多少 此為第三版 19 題題 1 記記 A1 A2分別表 從甲袋中取得白球 紅球放入乙袋 分別表 從甲袋中取得白球 紅球放入乙袋 再記再記 B 表 再從乙表 再從乙袋中取得白球 袋中取得白球 B A1B A2B 且且 A1 A2互斥互斥 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 11 1 MN N mn m MN N mn n 十九十九 2 第一只盒子裝有第一只盒子裝有 5 只紅球 只紅球 4 只白球 第二只盒子裝有只白球 第二只盒子裝有 4 只紅球 只紅球 5 只白只白 球 先從第一盒子中任取球 先從第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去 然后從第二盒子中任取一只球 求取只球放入第二盒中去 然后從第二盒子中任取一只球 求取 到白球的概率 到白球的概率 記記 C1為 從第一盒子中取得為 從第一盒子中取得 2 只紅球 只紅球 C2為 從第一盒子中取得為 從第一盒子中取得 2 只白球 只白球 C3為 從第一盒子中取得為 從第一盒子中取得 1 只紅球 只紅球 1 只只白球 白球 D 為 從第二盒子中取得白球 顯然為 從第二盒子中取得白球 顯然 C1 C2 C3兩兩互斥 兩兩互斥 C1 C2 C3 S 由全 由全 概率公式 有概率公式 有 P D P C1 P D C1 P C2 P D C2 P C3 P D C3 99 53 11 6 11 7 11 5 2 9 1 4 1 5 2 9 2 4 2 9 2 5 C CC C C C C 26 二十一二十一 已知男人中有已知男人中有 5 是色盲患者 女人中有是色盲患者 女人中有 0 25 是色盲患者 今從男女是色盲患者 今從男女 人數相等的人群中隨機地挑選一人 恰好是色盲患者 問此人是男性的概率是多少 人數相等的人群中隨機地挑選一人 恰好是色盲患者 問此人是男性的概率是多少 解 解 A1 男人男人 A2 女人女人 B 色盲色盲 顯然 顯然 A1 A2 S A1 A2 由已知條件知由已知條件知 25 0 5 2 1 2121 ABPABPAPAP 由貝葉斯公式 有由貝葉斯公式 有 21 20 10000 25 2 1 100 5 2 1 100 5 2 1 2211 111 1 ABPAPABPAP ABPAP BP BAP BAP 二十二二十二 一學生接連參加同一課程的兩次考試 第一次及格的概率為一學生接連參加同一課程的兩次考試 第一次及格的概率為 P 若第一次 若第一次 及格則第二次及格的概率也為及格則第二次及格的概率也為 P 若第一次不及格則第二次及格的概率為 若第一次不及格則第二次及格的概率為 2 P 1 若至 若至 少有一次及格則他能取得某種資格 求他取得該資格的概率 少有一次及格則他能取得某種資格 求他取得該資格的概率 2 若已知他第二次已經 若已知他第二次已經 及格 求他第一次及格的概率 及格 求他第一次及格的概率 解 解 Ai 他第他第 i 次及格次及格 i 1 2 已知已知 P A1 P A2 A1 P 2 12 P AAP 1 B 至少有一次及格至少有一次及格 所以所以 21 AAB 兩次均不及格 1 1 1 12121 AAPAPAAPBPBP 1 1 1 121 AAPAP 2 2 1 2 3 2 1 1 1PP P P 2 2 21 21 AP AAP AAP 定義 由乘法公式 有由乘法公式 有 P A1 A2 P A1 P A2 A1 P2 由全概率公式 有由全概率公式 有 1211212 AAPAPAAPAPAP 22 2 1 2 PP P PPP 將以上兩個結果代入 將以上兩個結果代入 得 得 1 2 22 2 2 21 P P PP P AAP 28 二十五二十五 某人下午某人下午 5 00 下班 他所積累的資料表明 下班 他所積累的資料表明 到家時間到家時間 5 35 5 39 5 40 5 44 5 45 5 49 5 50 5 54 遲于遲于 5 54 乘地鐵到乘地鐵到 家的概率家的概率 0 10 0 25 0 45 0 15 0 05 乘汽車到乘汽車到 家的概率家的概率 0 30 0 35 0 20 0 10 0 05 某日他拋一枚硬幣決某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車 結果他是定乘地鐵還是乘汽車 結果他是 5 47 到家的 試求他是乘地鐵到家的 試求他是乘地鐵 回家的概率 回家的概率 解 設解 設 A 乘地鐵 乘地鐵 B 乘汽車 乘汽車 C 5 45 5 49 到家 由題意到家 由題意 AB A B S 已知 已知 P A 0 5 P C A 0 45 P C B 0 2 P B 0 5 由貝葉斯公式有由貝葉斯公式有 6923 0 13 9 65 0 45 0 2 1 2 1 45 05 0 BCPACP CP APACP CAP 29 二十四二十四 有兩箱同種類型的零件 第一箱裝有兩箱同種類型的零件 第一箱裝 5 只 其中只 其中 10 只一等品 第二箱只一等品 第二箱 30 只 其中只 其中 18 只一等品 今從兩箱中任挑出一箱 然后從該箱中取零件兩次 每次任取一只一等品 今從兩箱中任挑出一箱 然后從該箱中取零件兩次 每次任取一 只 作只 作不放回抽樣 試求 不放回抽樣 試求 1 第一次取到的零件是一等品的概率 第一次取到的零件是一等品的概率 2 第一次取到的零 第一次取到的零 件是一等品的條件下 第二次取到的也是一等品的概率 件是一等品的條件下 第二次取到的也是一等品的概率 解 設解 設 Bi表示 第表示 第 i 次取到一等品 次取到一等品 i 1 2 Aj表示 第表示 第 j 箱產品 箱產品 j 1 2 顯然 顯然 A1 A2 S A1A2 1 4 0 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 1 BP B1 A1B A2B 由全概率公式解 由全概率公式解 2 4857 0 5 2 29 17 30 18 2 1 49 9 50 10 2 1 1 21 12 BP BBP BBP 先用條件概率定義 再求 先用條件概率定義 再求 P B1B2 時 由全概率公式解 時 由全概率公式解 32 二十六 二十六 2 如圖如圖 1 2 3 4 5 表示繼電器接點 假設每一繼電器接點閉合表示繼電器接點 假設每一繼電器接點閉合 的概率為的概率為 p 且設各繼電器閉合與否相互獨 且設各繼電器閉合與否相互獨 立 求立 求 L 和和 R 是通路的概率 是通路的概率 記記 Ai表第表第 i 個接點接通個接點接通 記記 A 表從表從 L 到到 R 是構成通路的 是構成通路的 A A1A2 A1A3A5 A4A5 A4A3A2四種情況不互斥四種情況不互斥 P A P A1A2 P A1A3A5 P A4A5 P A4A3A2 P A1A2A3A5 P A1A2 A4A5 P A1A2 A3 A4 P A1A3 A4A5 P A1A2 A3A4A5 P A2 A3 A4A5 P A1A2A3 A4A5 P A1A2 A3 A4A5 A1A2 A3 A4A5 P A1A2 A3 A4A5 P A1A2 A3 A4A5 又由于又由于 A1 A2 A3 A4 A5互相獨立 互相獨立 故故 P A p2 p3 p2 p3 p4 p4 p4 p4 p5 p4 p5 p5 p5 p5 p5 2 p2 3p3 5p4 2 p5 二十六 二十六 1 設有設有 4 個獨立工作的元件個獨立工作的元件 1 2 3 4 它們的可靠性分別為 它們的可靠性分別為 P1 P2 P3 P4 將它們按圖 將它們按圖 1 的方式聯接 求系統的可靠性 的方式聯接 求系統的可靠性 記記 Ai表示第表示第 i 個元件正常工作 個元件正常工作 i 1 2 3 4 A 表示系統正常 表示系統正常 A A1A2A3 A1A4兩種情況不互斥兩種情況不互斥 P A P A1A2A3 P A1A4 P A1A2A3 A4 加法公式加法公式 P A1 P A2 P A3 P A1 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 P1P2P3 P1P4 P1P2P3P4 A1 A2 A3 A4獨立獨立 34 三十一三十一 袋中裝有袋中裝有m只正品硬幣 只正品硬幣 n只次品硬幣 次品硬幣的兩面均印有國徽 只次品硬幣 次品硬幣的兩面均印有國徽 在袋中任取一只 將它投擲在袋中任取一只 將它投擲 r 次 已知每次都得到國徽 問這只硬幣是正品的概率為多次 已知每次都得到國徽 問這只硬幣是正品的概率為多 3 4 2 1 5 3 4 2 1 L R 少 少 解 設 出現解 設 出現 r 次國徽面 次國徽面 Br 任取一只是正品 任取一只是正品 A 由全概率公式 有由全概率公式 有 r r r r r r rr rrr nm m nm n nm m nm m BP ABPAP BAP nm n nm m ABPAPABPAPBP 2 2 1 2 1 1 2 1 條件概率定義與乘法公式 條件概率定義與乘法公式 35 甲 乙 丙三人同時對飛機進行射擊 三人擊中的概率分別為 甲 乙 丙三人同時對飛機進行射擊 三人擊中的概率分別為 0 4 0 5 0 7 飛飛機被一人擊中而被擊落的概率為機被一人擊中而被擊落的概率為 0 2 被兩人擊中而被擊落的概率為 被兩人擊中而被擊落的概率為 0 6 若三人都擊 若三人都擊 中 飛機必定被擊落 求飛機被擊落的概率 中 飛機必定被擊落 求飛機被擊落的概率 解 高解 高 Hi表示飛機被表示飛機被 i 人擊中 人擊中 i 1 2 3 B1 B2 B2分別表示甲 乙 丙擊中飛分別表示甲 乙 丙擊中飛 機機 3213213211 BBBBBBBBBH 三種情況互斥 三種情況互斥 3213213212 BBBBBBBBBH 三種情況互斥三種情況互斥 3223 BBBH 又又 B1 B2 B2獨立 獨立 3213211 BPBPBPBPBPBPHP 36 07 05 06 03 05 0 6 03 05 04 0 321 BPBPBP 3213212 BPBPBPBPBPBPHP 3 05 04 0 321 BPBPBP 0 4 0 5 0 7 0 6 0 5 0 7 0 41 P H3 P B1 P B2 P B3 0 4 0 5 0 7 0 14 又因 又因 A H1A H2A H3A 三種情況互斥三種情況互斥 故由全概率公式 有故由全概率公式 有 P A P H1 P A H1 P H2 P A H2 P H3 P AH3 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 0 458 36 三十三三十三 設由以往記錄的數據分析 某船只運輸某種物品損壞設由以往記錄的數據分析 某船只運輸某種物品損壞 2 這一事件記為 這一事件記為 A1 10 事件 事件 A2 90 事件 事件 A3 的概率分別為 的概率分別為 P A1 0 8 P A2 0 15 P A2 0 05 現從中隨機地獨立地取三件 發現這三件都是好的 這一事件記為現從中隨機地獨立地取三件 發現這三件都是好的 這一事件記為 B 試分別求 試分別求 P A1 B P A2 B P A3 B 這里設物品件數很多 取出第一件以后不影響取第二件的概率 所以 這里設物品件數很多 取出第一件以后不影響取第二件的概率 所以 取第一 第二 第三件是互相獨立地 取第一 第二 第三件是互相獨立地 B 表取得三件好物品 表取得三件好物品 B A1B A2B A3B 三種情況互斥三種情況互斥 由全概率公式 有由全概率公式 有 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 8 0 98 3 0 15 0 9 3 0 05 0 1 3 0 8624 0001 0 8624 0 1 0 05 0 1268 0 8624 0 9 0 15 0 8731 0 8624 0 98 0 8 0 3 333 3 3 222 2 3 111 1 BP ABPAP BP BAP BAP BP ABPAP BP BAP BAP BP ABPAP BP BAP BAP 37 三十四三十四 將將 A B C 三個字母之一輸入信道 輸出為原字母的概率為三個字母之一輸入信道 輸出為原字母的概率為 而輸 而輸 出為其它一字母的概率都是出為其它一字母的概率都是 1 2 今將字母串 今將字母串 AAAA BBBB CCCC 之一輸入信道 之一輸入信道 輸輸入入 AAAA BBBB CCCC 的概率分別為的概率分別為 p1 p2 p3 p1 p2 p3 1 已知輸出為 已知輸出為 ABCA 問輸入的是問輸入的是 AAAA 的概率是多少 設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的 的概率是多少 設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的 解 設解 設 D 表示輸出信號為表示輸出信號為 ABCA B1 B2 B3分別表示輸入信號為分別表示輸入信號為 AAAA BBBB CCCC 則 則 B1 B2 B3為一完備事件組 且為一完備事件組 且 P Bi Pi i 1 2 3 再設再設 A 發 發 A 收分別表示發出 接收字母收分別表示發出 接收字母 A 其余類推 依題意有 其余類推 依題意有 P A收收 A發發 P B收收 B發發 P C收收 C發發 P A收收 B發發 P A收收 C發發 P B收收 A發發 P B收收 C發發 P C收收 A發發 P C收收 B發發 2 1 又又 P ABCA AAAA P D B 1 P A收收 A發發 P B收收 A發發 P C收收 A發發 P A收收 A發發 22 2 1 同樣可得同樣可得 P D B 2 P D B 3 3 2 1 于是由全概率公式 得于是由全概率公式 得 3 32 22 1 3 1 2 1 2 1 PP ap BDPBPDP i ii 由由 Bayes 公式 得公式 得 P AAAA ABCA P B 1 D 11 DP BDPBP 1 2 2 321 1 PP P P 二十九二十九 設第一只盒子裝有設第一只盒子裝有 3 只藍球 只藍球 2 只綠球 只綠球 2 只白球 第二只盒子裝有只白球 第二只盒子裝有 2 只只 藍球 藍球 3 只綠球 只綠球 4 只白球 獨立地分別從兩只盒子各取一只球 只白球 獨立地分別從兩只盒子各取一只球 1 求至少有一只藍球 求至少有一只藍球 的概率 的概率 2 求有一只藍球一只白球的概率 求有一只藍球一只白球的概率 3 已知至少有一只藍球 求有 已知至少有一只藍球 求有一只藍球一只藍球 一只白球的概率 一只白球的概率 解 記解 記 A1 A2 A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球 綠球 白球 分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球 綠球 白球 B1 B2 B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球 綠球 白球 分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球 綠球 白球 1 記 記 C 至少有一只藍球至少有一只藍球 C A1B1 A1B2 A1B3 A2B1 A3B1 5 種情況互斥種情況互斥 由概率有限可加性 得由概率有限可加性 得 9 5 9 2 7 2 9 2 7 2 9 4 7 3 9 3 7 3 9 2 7 3 1312312111 1312312111 BPAPBPAPBPAPBPAPBPAP BAPBAPBAPBAPBAPCP 獨立性 2 記 記 D 有一只藍球 一只白球有一只藍球 一只白球 而且知 而且知 D A1B3 A3B1兩種情況互斥兩種情況互斥 63 16 9 2 7 2 9 4 7 3 13311331 BPAPBPAPBAPBAPDP 3 35 16 DCD CP DP CP CDP CDP 注意到 三十三十 A B C 三人在同一辦公室工作 房間有三部電話 據統計知 打給三人在同一辦公室工作 房間有三部電話 據統計知 打給 A B C 的電話的概率分別為的電話的概率分別為 5 1 5 2 5 2 他們三人常因工作外出 他們三人常因工作外出 A B C 三人外出的概三人外出的概 率分別為率分別為 4 1 4 1 2 1 設三人的行動相互獨立 求 設三人的行動相互獨立 求 1 無人接電話的概率 無人接電話的概率 2 被呼叫人在辦公室的概率 若某一時間斷打進了 被呼叫人在辦公室的概率 若某一時間斷打進了 3 個個 電話 求 電話 求 3 這 這 3 個電話打給同一人的概率 個電話打給同一人的概率 4 這 這 3 個電話打給不同人的概率 個電話打給不同人的概率 5 這這 3 個電話都打給個電話都打給 B 而 而 B 卻都不在的概率 卻都不在的概率 解 記解 記 C1 C2 C3分別表示打給分別表示打給 A B C 的電話的電話 D1 D2 D3分別表示分別表示 A B C 外出外出 注意到注意到 C1 C2 C3獨立 且獨立 且 5 1 5 2 321 CPCPCP 4 1 2 1 321 DPDPDP 1 P 無人接電話 無人接電話 P D1D2D3 P D1 P D2 P D3 32 1 4 1 4 1 2 1 2 記 記 G 被呼叫人在辦公室 被呼叫人在辦公室 332211 DCDCDCG 三種情況互斥 由有三種情況互斥 由有 限可加性與乘法公式限可加性與乘法公式 20 13 4 3 5 1 4 3 5 2 2 1 5 2 333222111 332211 CDPCPCDPCPCDPCP DCPDCPDCPGP kkk DPCDP故 否和來電話無關 由于某人外出與 3 H 為 這為 這 3 個電話打給同一個人 個電話打給同一個人 125 17 5 1 5 1 5 1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 HP 4 R 為 這為 這 3 個電話打給不同的人 個電話打給不同的人 R 由六種互斥情況組成 每種情況為打給由六種互斥情況組成 每種情況為打給 A B C 的三個電話 每種情況的概率為的三個電話 每種情況的概率為 125 4 5 1 5 2 5 2 于是于是 125 24 125 4 6 RP 5 由于是知道每次打電話都給 由于是知道每次打電話都給 B 其概率是 其概率是 1 所以每一次打給 所以每一次打給 B 電話而電話而 B 不在不在 的概率為的概率為 4 1 且各次情況相互獨立 且各次情況相互獨立 于是于是 P 3 個電話都打給個電話都打給 B B 都不在的概率 都不在的概率 64 1 4 1 3 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1 一一 一袋中有一袋中有 5 只乒乓球 編號為只乒乓球 編號為 1 2 3 4 5 在其中同時取三只 以 在其中同時取三只 以 X 表表 示取出的三只球中的最大號碼 寫出隨機變量示取出的三只球中的最大號碼 寫出隨機變量 X 的分布律的分布律 解 解 X 可以取值可以取值 3 4 5 分布律為 分布律為 10 6 1 4 3 2 1 5 5 10 3 1 3 2 1 4 4 10 1 1 2 1 3 3 3 5 2 4 3 5 2 3 3 5 2 2 C C PXP C C PXP C C PXP 中任取兩球再在號一球為 中任取兩球再在號一球為 號兩球為號一球為 也可列為下表也可列為下表 X 3 4 5 P 10 6 10 3 10 1 3 三三 設在設在 15 只同類只同類型零件中有型零件中有 2 只是次品 在其中取三次 每次任取一只 作只是次品 在其中取三次 每次任取一只 作 不放回抽樣 以不放回抽樣 以 X 表示取出次品的只數 表示取出次品的只數 1 求 求 X 的分布律 的分布律 2 畫出分布律的圖形 畫出分布律的圖形 解 任取三只 其中新含次品個數解 任取三只 其中新含次品個數 X 可能為可能為 0 1 2 個 個 35 22 0 3 15 3 13 C C XP 35 12 1 3 15 2 13 1 2 C CC XP 35 1 2 3 15 1 13 2 2 C CC XP 再列為下表再列為下表 X 0 1 2 P 35 1 35 12 35 22 4 四四 進行重復獨立實驗 設每次成功的概率為進行重復獨立實驗 設每次成功的概率為 p 失敗的概率為 失敗的概率為 q 1 p 0 pY P X 1 Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P X 3 P Y 0 P X 3 P Y 1 P X 3 P Y 2 P X 1 P Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P X 3 P Y 0 P X 3 P Y 1 P X 3 P Y 2 822 3 321 3 3 0 4 0 6 0 3 0 4 0 6 0 CC 321 3 22 3 6 0 3 0 7 0 4 0 6 0 CC 321 3 33 6 0 3 0 7 0 6 0 3 0 C 243 0 3 0 7 0 22 3 C 9 十十 有甲 乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各有甲 乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各 4 杯 如果從中挑杯 如果從中挑 4 杯 能將甲杯 能將甲 種酒全部挑出來 算是試驗成功一次 種酒全部挑出來 算是試驗成功一次 1 某人隨機地去猜 問他試驗成功一次的概率是多少 某人隨機地去猜 問他試驗成功一次的概率是多少 2 某人聲稱他通過品嘗能區分兩種酒 他連續試驗 某人聲稱他通過品嘗能區分兩種酒 他連續試驗 10 次 成功次 成功 3 次 試問他是次 試問他是 猜對的 還是他確有區分的能力 設各次試驗是相互獨立的 猜對的 還是他確有區分的能力 設各次試驗是相互獨立的 解 解 1 P 一次成功一次成功 70 11 4 8 C 2 P 連續試驗連續試驗 10 次 成功次 成功 3 次次 10000 3 70 69 70 1 733 10 C 此概率太小 按實 此概率太小 按實 際推斷原理 就認為他確有區分能力 際推斷原理 就認為他確有區分能力 九九 有一大批產品 其驗收方案如下 先做第一次檢驗 從中任取有一大批產品 其驗收方案如下 先做第一次檢驗 從中任取 10 件 經驗收件 經驗收 無次品接受這批產品 次品數大于無次品接受這批產品 次品數大于 2 拒收 否則作第二次檢驗 其做法是從中再任取拒收 否則作第二次檢驗 其做法是從中再任取 5 件 僅當件 僅當 5 件中無次品時接受這批產品 若產品的次品率為件中無次品時接受這批產品 若產品的次品率為 10 求 求 1 這批產品經第一次檢驗就能接受的概率 這批產品經第一次檢驗就能接受的概率 2 需作第二次檢驗的概率 需作第二次檢驗的概率 3 這批產品按第 這批產品按第 2 次檢驗的標準被接受的概率次檢驗的標準被接受的概率 4 這批產品在第 這批產品在第 1 次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率 5 這批產品被接受的概率 這批產品被接受的概率 解 解 X 表示表示 10 件中次品的個數