階段檢測試題(四)(時間:120分鐘滿分:150分)【選題明細表】知識點、方法題號空間幾何體的結構特征1幾何體的三視圖和直觀圖2幾何體的表面積和體積4,9,14,19點線面的位置關系3,7,8平行或垂直的判定與證明6,13,18空間角和距離10,11,15,16,20綜合問題5,12,17,21,22一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.下列說法正確的是(D)(A)有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱(B)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱(C)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐(D)棱臺各側棱的延長線交于一點解析:棱臺也有兩個面平行,其余各面都是四邊形,所以排除A;有兩個面平行,其余各面中相鄰兩面的公共邊不一定都平行,如圖(1)幾何體就不是棱柱.排除B.又據圖(2)排除C;只有D符合棱臺的定義.2.(2016全國卷) 如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(B)(A)18+36(B)54+18(C)90(D)81解析:由三視圖知此多面體是一個斜四棱柱,其表面積S=2(33+36+33)=54+18.故選B.3.(2016嘉興月考)對于空間的兩條直線m,n和一個平面,下列命題中的真命題是(D)(A)若m,n,則mn(B)若m,n,則mn(C)若m,n,則mn(D)若m,n,則mn解析:對A,直線m,n可能平行、異面或相交,故選項A錯誤;對B,直線m與n可能平行,也可能異面,故選項B錯誤;對C,m與n垂直而非平行,故選項C錯誤;對D,垂直于同一平面的兩直線平行,故選項D正確.4.(2015山東卷)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(B)(A) (B)(C)2(D)4解析:由題意,該幾何體可以看作是兩個底面半徑為,高為的圓錐的組合體,其體積為2()2=.5.水以勻速注入某容器中,容器的三視圖如圖所示,其中與題中容器對應的水的高度h與時間t的函數關系圖象是(C)解析:由三視圖知其直觀圖為兩個圓臺的組合體,水是勻速注入的,所以水面高度隨時間變化的變化率先逐漸減小后逐漸增大,又因為容器的對稱性,所以函數圖象關于一點中心對稱.故選C.6. (2016銅川質檢)如圖,直線PA垂直于圓O所在的平面,ABC內接于圓O,且AB為圓O的直徑,點M為線段PB的中點.現有以下命題:BCPC;OM平面APC;點B到平面PAC的距離等于線段BC的長.其中真命題的個數為(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:易證BC平面PAC,所以BCPC;OMPA,易證OM平面APC;因為BC平面PAC,所以點B到平面PAC的距離等于線段BC的長;故都正確.7.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三個向量共面,則實數等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:由于a,b,c三個向量共面,所以存在實數m,n使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,=.8.(2014遼寧卷)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說法正確的是(B)(A)若m,n,則mn(B)若m,n,則mn(C)若m,mn,則n(D)若m,mn,則n解析:對于選項A,若m,n,則m與n可能相交、平行或異面,A錯誤;顯然選項B正確;對于選項C,若m,mn,則n或n,C錯誤;對于選項D,若m,mn,則n或n或n與相交,D錯誤.故選B.9.(2016銀川一模)一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面,球心到這個平面的距離是2 cm,則該球的體積是(B)(A)12 cm3 (B)36 cm3(C)64 cm3(D)108 cm3解析:由題意可知,球的半徑R=3(cm),所以球的體積V=R3=33=36(cm3).10. 導學號 18702413已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2,CC1=2,E為CC1的中點,則直線AC1與平面BDE的距離為(D)(A)2(B)(C)(D)1解析: 如圖,連接AC,交BD于O,連接OE,在CC1A中,易證OEAC1.從而AC1平面BDE,所以直線AC1到平面BDE的距離即為點A到平面BDE的距離,設為h.由等體積法,得=SBDEh=SABDEC=22=.又因為在BDE中,BD=2,BE=DE=,所以OE=2,所以SBDE=22=2.所以h=1.故選D.11.已知平面截一球面得圓M,過圓心M且與成60二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為4,則圓N的面積為(D)(A)7(B)9(C)11(D)13解析: 如圖,由題意可知AMN=60,設球心為O,連接ON,OM,OB,OC,則ONCD,OMAB,且OB=4,OC=4.在圓M中,因為MB2=4,所以MB=2.在OMB中,OB=4,所以OM=2.在MNO中,OM=2,NMO=90-60=30,所以ON=.在CNO中,ON=,OC=4,所以CN=,所以S=CN2=13.故選D.12. 導學號 18702415如圖,已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球,則平面ACD1截球O的截面面積為(A)(A) (B)(C)(D)解析: 根據正方體的幾何特征知,平面ACD1是邊長為的正三角形,且球與以點D為公共點的三個面的切點恰為三角形ACD1三邊的中點,故所求截面的面積是該正三角形的內切圓的面積,由圖得ACD1內切圓的半徑是tan 30=,故所求的截面圓的面積是()2=.故選A.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.假設平面平面=EF,AB,CD,垂足分別為B,D,如果增加一個條件,就能推出BDEF,現有下面四個條件:AC;AC與,所成的角相等;AC與BD在內的射影在同一條直線上;ACEF.其中能成為增加條件的是 .(把你認為正確的條件序號都填上)解析:如果AB與CD在一個平面內,可以推出EF垂直于該平面,又BD在該平面內,所以BDEF.故要證BDEF,只需AB,CD在一個平面內即可,只有能保證這一條件.答案:14.已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長為,則以O為球心,OA為半徑的球的表面積為.解析:正四棱錐O-ABCD中,頂點O在底面的射影為底面中心E,則()2OE=,所以OE=,故球半徑OA=,從而球的表面積為24.答案:2415.(2016鄭州質檢)正四棱錐SABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角的大小為.解析:以O為原點,向 量,向量為x,y,z軸正方向,SO為一個單位長度建立空間直角坐標系,則有A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),S(0,0,1),D(0,-1,0),P(0,-,),向量=(-1,-1,0),向量=(-1,-),=(-2,0,0),設n=(x,y,z)是平面PAC的法向量,所以令z=1,x=0,y=1,所以n=(0,1,1),cos=-.所以BC與平面PAC所成角為30.答案:3016. 導學號 18702416如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1上的點,則點E到平面ABC1D1的距離是.解析:以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,設點E(1,a,1)(0a1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),=(1,a,0),=(0,1,0),=(-1,1,1),設n=(x,y,z)是平面ABC1D1的法向量,則n=0,n=0.所以解得x=1,z=1.所以n=(1,0,1),所以E點到平面ABC1D1的距離d=.答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分)17. (本小題滿分10分) (2015安徽卷)如圖,三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點M,使得ACBM,并求的值.(1)解:由題設AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=ABACsin 60=.由PA平面ABC,可知PA是三棱錐PABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=SABCPA=.(2)證明: 如圖,在平面ABC內,過點B作BNAC,垂足為N.在平面PAC內,過點N作MNPA交PC于點M,連接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN,又BM平面MBN,所以ACBM.在RtBAN中,AN=ABcos BAC=,從而NC=AC-AN=,由MNPA,得=.18.(本小題滿分12分)設向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計算2a+3b,3a-2b,ab以及a與b所成角的余弦值,并確定,的關系,使a+b與z軸垂直.解:因為2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16),3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),ab=(3,5,-4)(2,1,8)=32+51-48=-21,|a|=,|b|=,所以cos=-.因為(a+b)(0,0,1)=(3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=-4+8=0,所以只要,滿足=2即可使a+b與z軸垂直.19.(本小題滿分12分) 導學號 18702417如圖,正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直,點E在線段AB上,AB=2AD=6.(1)若AE=EB,求證:BM平面NDE;(2)若BE=2EA,求三棱錐MDEN的體積.(1)證明:連接AM,AMND=F,四邊形ADMN為正方形,則F是AM的中點.又因為EA=EB,連接EF,則EF為ABM的中位線,所以EFBM.又因為BM平面NDE,EF平面NDE,所以BM平面NDE.(2)解:當BE=2EA時,E為AB的三等分點.所以AE=AB=2,MN=MD=3,可證得AE平面ADMN.所以=SMNDAE=MNMDAE=332=3.20.(本小題滿分12分) 如圖所示,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABCD,ABBC,AB=2CD=2BC,EAEB.(1)求證:ABDE;(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值.(1)證明:取AB的中點O,連接EO,DO.因為EB=EA,所以EOAB.因為四邊形ABCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四邊形OBCD為正方形,所以ABOD.又EOOD=O,所以AB平面EOD.因為ED平面EOD,所以ABED.(2)解:法一因為平面ABE平面ABCD,且ABBC,所以BC平面ABE.則CEB即為直線EC與平面ABE所成的角.設BC=a,則AB=2a,BE=a,所以CE=a.則在直角三角形CBE中,sin CEB=,即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.法二因為平面ABE平面ABCD,且EOAB,所以EO平面ABCD,所以EOOD.由OB,OD,OE兩兩垂直可建立如圖所示的空間直角坐標系.因為EAB為等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE.設OB=1,則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).所以=(1,1,-1),平面ABE的一個法向量為=(0,1,0).設直線EC與平面ABE所成的角為,所以sin =|cos|=.即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.21.(本小題滿分12分) 導學號 18702418如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B平面ABC,ABAC.(1)求證:ACBB1;(2)若AB=AC=A1B=2,在棱B1C1上確定一點P,使二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為.(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,因為A1B平面ABC,A1B平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面ABC.因為平面ABB1A1平面ABC=AB,ABAC,所以AC平面ABB1A1,所以ACBB1.(2)解: 如圖所示,以A為原點建立空間直角坐標系Axyz,則C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),=(2,-2,0).設=(2,-2,0),0,1,則P(2,4-2,2).設平面PAB的一個法向量為n1=(x,y,z),因為=(2,4-2,2),=(0,2,0),所以即所以令x=1,得n1=(1,0,-).而平面ABA1的一個法向量是n2=(1,0,0),所以|cos|=,解得=,即P為棱B1C1的中點.22.(本小題滿分12分)導學號 18702419如圖(1),直角梯形ABCD中,ABCD,DAB=90,點M,N分別在AB,CD上,且MNAB,MCCB,BC=2,MB=4,現將梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖(2).(1)求證:AB平面DNC;(2)當DN的長為何值時,二面角D-BC-N的大小為30.(1)證明:因為MBNC,MB平面DNC,NC平面DNC,所以MB平面DNC.同理MA平面DNC,又MAMB=M,且MA,MB平面MAB.所以平面MAB平面NCD,又AB平面MAB,所以AB平面DNC.(2)解:法一過N作NHBC交BC延長線于H,連DH(圖略),因為平面AMND平面MNCB,交線為MN,DNMN,所以DN平面MNCB,BC平面MNCB,所以DNBC,所以BC平面DNH,從而DHBC,所以DHN為二面角D-BC-N的平面角.所以DHN=30,由MB=4,BC=2,