7.1 為什么要證明【設計者】鄭州市第七十七中學 張曉敏【內 容】北師大版八年級上第七章第一節為什么要證明【基于目標】經歷觀察、歸納、驗證等活動過程，在活動中體會到觀察、實驗、歸納所得到的結論未必可靠，初步感受證明的必要性，發展學生的推理意識【基于課標】理解證明的必要性和反例的作用【基于對教材的理解】1、北師大版第七章平行線的證明本章內容是根據一些基本事實推出其他結論的過程，證明平行線的性質及判定的一些有關結論，證明三角形內角和定理，還將討論三角形的內角與外角的關系也就是進入幾何嚴謹證明的學習，前幾冊對有關幾何結論也曾進行過簡單的說理，但是并沒有嚴格地給出證明.雖然本章只是證明的初步，但是它對認識證明的必要性，了解作為證明基礎的公理、定義、定理等非常重要。 2、作為本章的第一節內容為什么證明，學生自身的感受很重要。學生的直觀感受與實際結果之間產生思維上的碰撞，從而使學生對原有的直觀感覺產生懷疑，從而確立對某一事物進行合理論證的必要性。從內容設置上來說引入思考，由代數到幾何、從直觀的猜測到嚴格的計算證明，利用教學資源配合學生活動重新整合，落實每一個教學目標本節課也為今后學習平行線的判定、三角形內角和定理的驗證奠定基礎，因此本節課在教材中具有承上啟下的作用。【基于對學情的分析】1、學生已有的知識基礎 在七年級時學生學習了與幾何相關的知識，為今天的進一步的學習作好了知識儲備，本課程的教學對象是八年級學生，學生具備一定數學知識儲備，不難掌握基礎知識。學生也經歷了很多驗證結論合理性的過程，有了初步的邏輯推理思維，合情推理能力得到了很大的提高，為今天系統的培養學生嚴謹的邏輯推理能力打下了良好的基礎。2、已有的活動經驗在代數方面有一定的計算基礎，如整式的運算。 在以往的幾何學習中，學生已經參與了對幾何圖形的觀察、比較、動手操作、猜測、歸納等活動，對今天本節課的討論、自主探究等活動有很大的幫助。3、學習本節可能出現的難點 在地球赤道一題中，赤道的長度是未知的，對于題目的理解以及計算可能存在問題；初步了解證明方法【學習目標】1、經歷觀察、直覺、歸納、實驗等過程，在活動中體會到觀察、直覺、歸納、實驗所得到的結論未必可靠，初步感受證明的必要性，形成初步的理性思維。2、通過小組合作交流活動中，體會理性思維、邏輯分析的重要性，發展邏輯推理能力。3、體會檢驗數學結論的常用方法：計算驗證、舉反例、實驗驗證，會用推理方法判斷結論的正確性，發展學生的推理意識。【學習重點】由直觀感受到邏輯思考的轉變，意識到證明的必要性【學習難點】發展邏輯推理能力，初步了解證明方法【評價任務】任務一：能總結觀察、實驗、歸納、測量所得到的結論未必可靠任務二：能簡單地運用反例法、演繹推理進行證明【評價標準】1、學生通過大膽猜測，獨立思考，動手操作，積極交流，能總結出觀察、實驗、歸納、測量所得到的結論未必可靠2、能用反例法、演繹推理論證自己的觀點【評價方式】以小組合作交流性評價和表現性評價以及檢測性評價為主。【學習過程】第一環節：創設情境，引入新課活動1：展示三個圖片，學生感知。第一個操作圖，學生跟著提示進行簡單的操作，讓學生產生好奇。第二個圖讓學生觀察，產生思維沖突。第三個圖，先讓學生通過觀察圖形，猜一猜哪個長，然后通過平移，發現猜想是錯的。提問：通過這三組圖片，你有什么感受？設計意圖：利用課外有趣的信息去尋找適合本節課程內容的圖片，在課堂展現時不局限于單一圖片展示，而是需要多媒體的支撐。激發學生學習興趣，讓學生的直觀感受與實際結果之間產生思維上的碰撞，從而使學生對原有的直觀感覺產生懷疑，從而引出本節課的課題為什么要證明。第二環節：計算驗證，感受新知如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進一個紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？ 活動2：思考：這本身是一個實際問題，要想解決實際問題，我們要把它轉化為（數學問題），那也就是我們常說的數學建模的過程。怎么把它轉化為數學問題呢？ 拿出準備好的小球和鐵絲，請同學來演示一下鐵絲將地球赤道圍起來。通過變換角度，很直觀地觀察發現：地球赤道和鐵絲是同心圓的關系。嘗試自己獨立計算間隙。 小組合作學習：組內分享解題方法，組內答疑。 展示：首先，說明小組的猜想 其次，簡單講解解題過程 再次，計算得到的結論與猜想的結論一樣嗎？ 最后，你從中受到了什么啟發？參考答案：設赤道周長為c，鐵絲與地球赤道之間的間隙為 ： 它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一個拳頭 充分調動學生積極思考的能力，讓學生發表自己的見解，首先讓學生對自己的結論確信無疑，再進一步計算通過理性的計算，驗證了很難想像到的結論，讓學生產生思維上的碰撞，進而對自己的直觀感覺產生懷疑，再次為論證的合理性提供素材設計意圖：作為一個非常具有趣味性的題，在此呈現，給學生一個充分發揮想象力的過程，而本題對大部分學生來說也是一個難題，本題數據較少，讓學生望而卻步，教師引導學生用字母表示代數式，再進行運算。第三環節：自主探究，深入思考活動3：從前，有一個大數學家費馬，他發現當n=0,1,2,3,4時，這個代數式的結果都是質數，于是這個就是一個求質數的公式，由于費馬在數學界的崇高威望，而且代數式的計算量又比較龐大，因此沒有人懷疑這一結論。將近過了100年，經過歐拉的不懈努力，敢于挑戰權威，他證明當n=5時，代數式的值不是質數，從而推翻了之前的結論。這個小故事告訴我們什么大道理？ 通過介紹費馬的錯誤一例，讓學生了解舉出反例是檢驗錯誤數學結論的一種有效方法。展示例題當n=0，1，2，3，4，5時，代數式n2 -n+11的值是質數嗎？n01234567891011n2-n+1111111317233141536783101121是否為質數是是是是是是是是是是是不是 學生通過列表歸納，根據自己以往的經驗判斷，在n=10以前都一直認為n2-n+11是一個質數，但當n=11時，找到了一個反例，進而發現不能根據少數幾個現象輕易肯定某個數學結論的正確性。設計意圖：這個環節的分組共研很重要，獨自運算的量會大，所以采用接龍的方式，每個人承擔一定的計算可以快速得到反例第四環節：在ABC中，點D，E分別是AB,AC的中點，連接DE. DE與BC有怎樣的位置關系和數量關系？請你猜一猜，再設法檢驗你的猜想。 拿出事先準備好的三角形ABC，取AB的中點D，AC的中點E，連接DE，觀察自己的三角形，猜一猜DE與BC有怎樣的位置關系和數量關系？讓學生通過對圖形的直觀感受做出猜想得出結論，引導學生思考圖形千變萬化，而每次都需要動手測量驗證，同時也會產生誤差。要使學生清楚地知道對幾何結論的驗證，通常是用嚴謹的邏輯推理來論述。設計意圖：通過對幾何圖形的直觀感受得出結論，但要使學生清楚地知道對幾何結論的驗證，通常是用嚴謹的邏輯推理來論述。第五環節：小結、當堂檢測、布置作業 在本節課快接近尾聲的時候，同學們回憶下本節課的內容，談談你的收獲。 當堂檢測設置了三道題，考察了學生的證明意識和推理能力。必做題：P163(1);P164(2)(3)選做題: 搜集哥德巴赫猜想的小故事，閱讀后在班級交流自己的看法。【板書設計】觀察測量經驗證明歸納 為什么要證明不一定可靠【教學反思】本節課的教學設計是建立在“以學生的發展為本，為學生的終身學習奠定基礎”的教育理念上，融入了新課標的思想內涵，尊重學生的直觀感受，并從學生的直觀感受出發逐步將學生的思維引向嚴密性、邏輯證明等方面，不是一味地強