對(duì)數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1.基礎(chǔ)知識(shí)圖表2.對(duì)數(shù)的定義定義：若abN(a0,a1)，則數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaNb.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).3.對(duì)數(shù)式、指數(shù)式與根式指數(shù)式abN，根式a和對(duì)數(shù)式logaNb(N0,a0,a1)是同一種數(shù)量關(guān)系的三種不同表達(dá)形式.請(qǐng)見(jiàn)下表.表達(dá)形式abN對(duì)應(yīng)的運(yùn)算abN底數(shù)指數(shù)冪乘方，由a、b求Na方根根指數(shù)被開(kāi)方數(shù)開(kāi)方，由N、b求alogaNb底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)，由N、a求b由此可見(jiàn)：(1)開(kāi)方運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算都是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算.(2)弄清對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換是掌握對(duì)數(shù)意義及運(yùn)算的關(guān)鍵.4.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)logaN(a0,a1),當(dāng)?shù)讛?shù)(1)a10時(shí)，叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN；(2)ae時(shí)，叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN.在常用對(duì)數(shù)中，我們省去了底數(shù)不寫(xiě).例如：lg10log10101，lg100log101022，log0.1log10(10)-1-1等等.5.對(duì)數(shù)恒等式：logaakk(a0,a1)aN(a0,a1)6.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a0，a0，M0,N0，那么(1)loga(MN)logaM+logaN(2)logalogaM-logaN(3)logaMnnlogaM(nR)要注意公式的逆用及公式證明的思路(見(jiàn)教材)7.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解與運(yùn)用須注意的問(wèn)題(1)對(duì)于一條運(yùn)算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)記號(hào)都有意義時(shí)，等式才成立.(2)要把握住運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)特征，防止應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.(3)要學(xué)會(huì)用語(yǔ)言準(zhǔn)確地?cái)⑹鲞\(yùn)算性質(zhì).(4)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以把乘、除、乘方、開(kāi)方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，反之亦然，這種運(yùn)算的互化可以簡(jiǎn)化計(jì)算方法，加快計(jì)算速度.特別注意的是換底公式的證明與運(yùn)用.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1.正確理解、熟悉abN與blogaN的內(nèi)在關(guān)系，迅速互化是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的關(guān)鍵.指數(shù)式abN與對(duì)數(shù)式logaNb中a、b、N三者間的關(guān)系實(shí)質(zhì)如下(0a且a1)式 子名 稱意 義abN指數(shù)式abN底數(shù)指數(shù)冪a的b次冪等于N對(duì)數(shù)式logaNb底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)以a為底N的對(duì)數(shù)等于b根式a根式根指數(shù)被開(kāi)方數(shù)N的b次方根等于a2.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：00.即blogaN中的真數(shù)應(yīng)為正數(shù)在指數(shù)中特別有a01,a1a，則在對(duì)數(shù)中特別有：loga10,logaa1.這在運(yùn)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題需要化同底時(shí)是很重要的.3.準(zhǔn)確熟練記憶對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，要注意其形式及適用的條件，也要注意法則的逆用.例1 若log2log (log2x)log3log(log3y)log5log(log5z)0.試比較x、y、z的大小?分析 將已知條件分別看作關(guān)于x、y、z的方程，分別求出x、y、z再比較.解：log2log (log2x)0log(log2x)1log2xx(215).同理可得 y(310) ,z(56) .31021556，由冪函數(shù)yx在(0，+)上遞增知，yxz.例2 已知a、b、x為正數(shù)，且lg(bx)lg(ax)+10求的范圍.分析 將lg(ax)變形轉(zhuǎn)化為lg，出現(xiàn)我們所需要的，再利用二次方程的相關(guān)理論，求的范圍.解：由lg(ax)lg(bx)+10變形得：lglg(bx)+10整理得 lg2(bx)+lglg(bx)+10由于a、b、x為正數(shù)，所以bx0，則lg(bx)為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)方程有實(shí)根，則0即：-40，解之得的取值范圍是： (0, )100，+).例3 已知lgx+lgy2lg(x-2y),求的值.分析 不要遺忘了在解題過(guò)程中，對(duì)數(shù)定義中，“對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零”這一前提，在運(yùn)算過(guò)程中，x0,y0,x-2y0，因而有x2y0.解： lgx+lgy2lg(x-2y) xy(x-2y)2，即x2-5xy+4y20即 (x-y)(x-4y)0，得xy或x4y. x0,y0,x-2y0, x2y0xy應(yīng)舍去， x4y,即4 log()44.例4 (1)用logax,logay表示loga；(2)設(shè)lg2a,lg3b，求lg;(3)已知lgx2lga+3lgb-51gc,求x.解：(1)logalogaa+logax-logay+logax-logay.(2)lglg(233)lg(233)lg2+lg3a+b.(3)由已知得lgxlga2+lgb3-lgc5lg, x.評(píng)析 第(2)小題由54233，進(jìn)而將lg用lg2與lg3表示，以達(dá)到化未知為已知的目的；第(3)小題利用了下述結(jié)論：同底的對(duì)數(shù)相等，則真數(shù)相等.【難解巧解點(diǎn)撥】例1 已知logax4,logay5，求A的值.分析 對(duì)數(shù)式化指數(shù)式，便得x,y.解： logax4,logay5,xa4,ya5, Axy(a4) (a5) aa1.評(píng)析 本題的另一解法是：logaAloga(xy)logax-logay4-50loga1,故A1.最后一步利用了結(jié)論：若同底的對(duì)數(shù)相等，則真數(shù)相等.例2 設(shè)3x4y36，求+的值.分析 由已知式中分別求出x和y.解： 3x36,4y36, xlog336,ylog436, log363, log364， +2log363+log364log36(324)log36361.評(píng)析 指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后，兩對(duì)數(shù)式的底不相同，但式子兩端取倒數(shù)后，利用對(duì)數(shù)的換底公式可將差異消除.例3 設(shè)a,b,c為正數(shù)，且axbycz，求證：若+，則cab.分析 由已知式解出x,y,再將它們代入+，化簡(jiǎn)便得證.證：由已知，xyz0，若a1,則bc1,此時(shí)cab成立.若a,b,c均不為1，則 axcz,bycz, xlogacz,ylogbcz, xzlogac,yzlogbc, logca, logcb, + (logca+logcb)logc(ab),又 +， logc(ab)1, cab.評(píng)析 若a,b,x,y,z為正數(shù)，且a,b均不為1,axby(ab)z,則+.特別地，若x,y,z為正數(shù)，且3x4y6z，則+.【課本難題解答】課本84頁(yè)，習(xí)題2.7節(jié)第3題：(1)logalogax-2logay-logaz(2)loga(x)logax+logalogax-logay+logaz(3)loga(xyz)logax+logay-logaz(4)logalogax+logay-loga(x+y)-loga(x-y)(5)loga(y)loga-logax-y+logay(6)loga3logay-logax-loga(x-y)3logay-3logax-3loga(x-y)第6題：(1)lgxlg(ab),xab (2)logaxloga,x(3)lgxlg(n3m),xn3m (4)logaxloga,x【典型熱點(diǎn)考題】例1 設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a4b6c,那么( )A. +B. +C. +D. +分析 本題考查了指數(shù)概念、對(duì)數(shù)概念，重點(diǎn)考查了利用對(duì)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算的能力.設(shè)3a4b6ck(k0)，把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，解出a,b,c得解法1；又對(duì)3a4b6ck取對(duì)數(shù)求出,，證得+2,得解法2；取特殊值，如令c1，排除A、C、D得解法3.解法1：設(shè)3a4b6ak(a,b,c均為正數(shù)，k0)，則alog3k,blog4k,clog6k,于是 logk3, logk4, logk6.顯然 2logk3+logk42logk6, +.解法2：對(duì)3a4b6c同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得lg3alg4blg6c.alg3blg4clg6. log63, log64.又+log6(94)2, +.解法3：不妨令c1，則1, log63,blog46. log642log62. +log63+2log621+log62,+2+log64,+1+3log62.排除A、C、D， 應(yīng)選B例2 函數(shù)ylog2的定義域?yàn)?.解：由0，得0，利用根軸法，得x1).即 x2-x-20(x1),解得x2 方程解是x2.注 本題主要利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題，以及運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)解.例4 若全集IR，Ax0，Bxlg(x2-2)lgx，則ACIB是( )A.2 B.-1 C.xx-1 D. 解法1：集合A中的元素滿足的條件是x-1，又ACIBA，排除A、C，將x-1代入lg(x2-2)lgx知不成立.故x-1CIB. 應(yīng)選B.解法2：集合A中元素滿足的條件是x-1，集合B中元素滿足的條件是 即解得x2，于是CIBxx2，所以ACIB-1 應(yīng)選B.【知識(shí)探究學(xué)習(xí)】某城區(qū)2000年底有居民住房總面積為a(平方米)，現(xiàn)將居民住房劃分為三類，其中危舊住房占，新型住房占.為了加快住房建設(shè)，計(jì)劃用10年的時(shí)間全部拆除危舊住房(每年拆除的數(shù)量相同)，自2001年起居民住房只建設(shè)新型住房，使得從2001年開(kāi)始，每年年底的新型住房面積都比上一年底增加20%，用an(平方米)表示第n年底(2001年為第一年)該城區(qū)的居民住房總面積.(1)分別寫(xiě)出a1，a2,a3的表達(dá)式，并歸納出an的計(jì)算公式(不必證明)；(2)危舊住房全部拆除后，至少再過(guò)多少年才能使該城區(qū)居民住房總面積翻兩番?(精確到年，以下數(shù)據(jù)供參考：lg20.30,lg30.48,lg431.63)解：(1)2000年底除了危舊住房和新型住房外的其他形式的住房面積為a-(+)a=a.每年拆除危舊住房面積為a=.依題意，得a1=(1+20%)+a+a-a;a2= (1+20%)2+a+a-a;a3= (1+20%)3+a+a-a;一般地(2)由(1+20%)n+4a,得 1.2na.nlg1.2lg43-lg3.所以 n14.37故n=15時(shí)取15-10=5.即至少再經(jīng)過(guò)5年才能使該地區(qū)的居民住房總面積翻兩番.【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1.如果點(diǎn)P(lga,lgb)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，-1)，則a和b的值是( )A.a1,b10 B.a1,bC.a10,b1D.a,b12.與函數(shù)y10lg(x-1)的圖像相同的函數(shù)是( )A.yx-1B.yx-1C.yD.y3.若lgxa,lgyb,則lg-lg()2的值為( )A. a-2b-2B. a-2b+2C. a-2b-1D. a-2b+14.lg(+)的值為( )A.1 B. C.2 D.5.若log23a,則log43( )A.a+2 B.a-2 C.2a D.6.等式log3x22成立是等式log3x1成立的( )A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充要條件D.不充分又不必要的條件7.下列式子中正確的個(gè)數(shù)是( )loga(b2-c2)2logab-2logac；(loga3)2loga32；log33；logax22logax.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題1.若loga-2log37，則a .2.已知log32log23x，則x .3.log0.7x3log0.7c-log0.7b+2og0.7a，則x .4.若log(x+1)(x+1)1，則x的取值范圍是 .三、解答題1.設(shè)x、yR，且y，求lg(x+y)的值.2.求值：(1-log63)2+log62log618log643.求值：(1)log2log3(log5125)；(2)5.4.已知a+blg32+lg35+3lg2lg2lg5，求a3+b3+3ab的值.【素質(zhì)