第28章樣本與總體 28 2用樣本估計總體 在上節課中 我們知道在選取樣本時應注意 1 所選取的樣本必須具有代表性 2 所選取的樣本的容量應該足夠大 這樣的樣本才能反映總體的特性 所選取的樣本才比較可靠 知識回顧 為了使樣本能較好地反映總體情況 除了有合適的樣本容量外 抽取時還要盡量使每一個個體有相等的機會被抽到 例如 可以在2000名學生的注冊學號中 隨意抽取100個學號 調查這些學號對應的100名學生 新知探究 整理概念 簡單的隨機抽樣就是用抽簽的方法決定哪些個體進入樣本 統計學家稱這種理想的抽樣方法為簡單隨機抽樣 讓我們仍以上一節300名學生的考試成績為例 考察一下抽樣調查的結果是否與總體的情況一致 首先對總體情況進行分析 根據已知數據 按照10分的距離將成績分段 統計每個分數段學生出現的頻數 填入表28 2 1 300名學生考試成績頻數分布表 這就是頻數分布表 表28 2 1 新知探究 根據上表繪制直方圖 圖28 2 1 300名學生成績頻數分布直方圖 總體的平均成績為78 1 方差為116 3 從圖表中可以清楚地看出79 5分到89 5分這個分數段的學生數最多 90分以上的同學較少 不及格的學生數最少 這就是頻數分布直方圖 活動1中 我們用簡單的隨機抽樣方法 已經得到了第一個樣本 這5個隨機數如下表 表28 2 2 圖28 2 2是這個樣本的頻數分布直方圖 平均成績和方差 樣本平均成績為78 方差為100 4 圖28 2 2 下面 我們將同學們選取的一些樣本 填入下表 同樣 也可以作出這兩個樣本的頻數分布直方圖 計算它們的平均成績和方差 如下圖 樣本平均成績為 80 8 方差為 42 25 樣本平均成績為 74 2 方差為 14 44 5名學生成績頻數分布直方圖 第二樣本 第三樣本 5名學生成績頻數分布直方圖 圖28 2 3 從以上三張圖比較來看 它們之間存在明顯的差異 平均數和方差與總體的平均數與方差也差異較大 顯然這樣選擇的樣本不能反映總體的特性 是不可靠的 什么原因呢 樣本平均成績為79 7 方差為88 41 讓我們再用大一些的樣本試一試 這次每個樣本含有10個個體 圖28 2 4 10名學生成績頻數分布直方圖 第一樣本 10名學生成績頻數分布直方圖 第二樣本 圖28 2 4 我們繼續用隨機抽樣方法 重復上述步驟 再取第二個樣本 圖28 2 4是根據小明取到的樣本數據得到的頻數分布直方圖 樣本平均成績為83 3 方差為132 61 再選取一些含有10名學生的樣本 我們發現此時不同樣本的平均成績和方差似乎比較接近總體的平均成績78 1和方差116 3 看來用大一些的樣本來估計總體會比較可靠一點 讓我們再用更大一些的樣本試一試 這次每個樣本含有40個個體 圖28 2 5是根據小明取到的兩個樣本數據得到的頻數分布直方圖 樣本平均成績為75 65 方差為103 5275 圖28 2 5 40名學生成績頻數分布直方圖 第二樣本 樣本平均成績為77 1 方差為114 49 圖28 2 5 再選取一些含有40名學生的樣本 我們發現此時不同樣本的平均成績和方差與總體的平均成績和方差的差距更小了 相當接近總體的平均成績78 1 方差116 3 你們從自己的抽樣過程中是否也得出了同樣的結果 樣本大更容易認識總體的真面目 另外兩個40個個體的樣本情況 樣本平均成績為75 7分 方差為104 04 樣本平均成績為77 1分 方差為114 49 當樣本中個體太少時 樣本的平均數 方差往往差距較大 如果選取適當的樣本的個體數 各個樣本的平均數 方差與總體的方差相當接近 一般來說 用樣本估計總體時 樣本容量越大 樣本對總體的估計也就越精確 相應地 搜集 整理 計算數據的工作量也就越大 因此 在實際工作中 樣本容量既要考慮問題本身的需要 又要考慮實現的可能性和所付出的代價的大小 知識梳理 隨堂練習 請同學們在300名學生的成績中用隨機抽樣的方法選取兩個含有20個個體的樣本 并計算出它們的平均數與方差 繪制頻數分布直方圖 并與總體的平均數 方差比較 課本p92習題28 23題 例2 某養魚專業戶為了估計湖里有多少條魚 先捕上100條做上標記 然后放回到湖里 過一段時間待帶標記的魚完全混合于魚群后 再捕上200條魚 發現其中帶標記的魚有20條 湖里大約有多少條魚 解 設湖里大約有x條魚 則1