第十章統計 10 1隨機抽樣 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 審題路線圖系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 簡單隨機抽樣 1 定義 從個體數為n的總體中取出n個個體作為樣本 n n 如果每個個體都有的機會被取到 那么這樣的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣 2 最常用的簡單隨機抽樣的方法 和 逐個不放回地 相同 抽簽法 隨機數表法 知識梳理 1 答案 2 系統抽樣 1 定義 將總體分成幾個部分 然后按照一定的規則 從每個部分中抽取個體作為樣本 這樣的抽樣方法稱為系統抽樣 2 假設要從容量為n的總體中抽取容量為n的樣本 系統抽樣的步驟為 采用隨機的方法將總體中的n個個體 平均 一個 編號 這時取k 并將剩下的總體重新編號 答案 3 在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號 4 按照一定的規則抽取樣本 通常將編號為的個體抽出 3 分層抽樣 1 定義 一般地 當總體由差異明顯的幾個部分組成時 為了使樣本更客觀地反映總體情況 我們常常將總體中的個體按分成層次比較分明的幾個部分 然后按各個部分在總體中實施抽樣 這種抽樣方法叫 所分成的各個部分稱為 層 l l l k l 2k l n 1 k 不同的特點 所占的比 分層抽樣 答案 2 分層抽樣的步驟是 將總體分層 計算各層的的比 按各層個體數占總體的個體數的比確定各層應抽取的 在每一層進行抽樣 可用簡單隨機抽樣或系統抽樣 3 分層抽樣的應用范圍 當總體由組成時 往往選用分層抽樣 按一定標準 個體數與總體的個體數 樣本容量 差異明顯的幾個部分 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣 2 簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣 與先后有關 3 系統抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 4 要從1002個學生中用系統抽樣的方法選取一個容量為20的樣本 需要剔除2個學生 這樣對被剔除者不公平 5 分層抽樣中 每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關 思考辨析 答案 1 教材改編 某公司有員工500人 其中不到35歲的有125人 35 49歲的有280人 50歲以上的有95人 為了調查員工的身體健康狀況 從中抽取100名員工 則應在這三個年齡段分別抽取人數為 解析因為125 280 95 25 56 19 所以抽取人數分別為25人 56人 19人 25 56 19 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2015 四川改編 某學校為了了解三年級 六年級 九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異 擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查 則最合理的抽樣方法是 解析根據年級不同產生差異及按人數比例抽取易知應為分層抽樣法 分層抽樣 解析答案 1 2 3 4 5 3 將參加英語口語測試的1000名學生編號為000 001 002 999 從中抽取一個容量為50的樣本 按系統抽樣的方法分為50組 如果第一組編號為000 001 002 019 且第一組隨機抽取的編號為015 則抽取的第35個編號為 解析由題意可知 第一組隨機抽取的編號l 15 則抽取的第35個編號為a35 15 35 1 20 695 695 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改編 某公司共有1000名員工 下設若干部門 現采用分層抽樣方法 從全體員工中抽取一個樣本容量為80的樣本 已告知廣告部門被抽取了4個員工 則廣告部門的員工人數為 50 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 天津 某大學為了了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向 擬采用分層抽樣的方法 從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查 已知該校一年級 二年級 三年級 四年級的本科生人數之比為4 5 5 6 則應從一年級本科生中抽取 名學生 60 1 2 3 4 5 解析答案 返回 題型分類深度剖析 例1 1 總體由編號為01 02 19 20的20個個體組成 利用下面的隨機數表選取5個個體 選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字 則選出來的第5個個體的編號為 解析由題意知前5個個體的編號為08 02 14 07 01 01 題型一簡單隨機抽樣 解析答案 2 下列抽取樣本的方式不屬于簡單隨機抽樣的有 從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本 盒子里共有80個零件 從中選出5個零件進行質量檢驗 在抽樣操作時 從中任意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里 從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗 某班有56名同學 指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽 解析 不是簡單隨機抽樣 不是簡單隨機抽樣 由于它是放回抽樣 不是簡單隨機抽樣 因為這是 一次性 抽取 而不是 逐個 抽取 不是簡單隨機抽樣 因為指定個子最高的5名同學是56名中特指的 不存在隨機性 不是等可能抽樣 解析答案 思維升華 應用簡單隨機抽樣應注意的問題 1 一個抽樣試驗能否用抽簽法 關鍵看兩點 一是抽簽是否方便 二是號簽是否易攪勻 一般地 當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法 2 在使用隨機數表法時 如遇到三位數或四位數 可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起 每三個或四個作為一個單位 自左向右選取 有超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去 思維升華 下列抽樣試驗中 適合用抽簽法的有 從某廠生產的5000件產品中抽取600件進行質量檢驗 從某廠生產的兩箱 每箱18件 產品中抽取6件進行質量檢驗 從甲 乙兩廠生產的兩箱 每箱18件 產品中抽取6件進行質量檢驗 從某廠生產的5000件產品中抽取10件進行質量檢驗 解析 中的總體中個體數較多 不適宜抽簽法 中甲 乙兩廠的產品質量有區別 也不適宜抽簽法 跟蹤訓練1 解析答案 例2 1 2015 湖南 在一次馬拉松比賽中 35名運動員的成績 單位 分鐘 的莖葉圖如圖所示 若將運動員按成績由好到差編為1 35號 再用系統抽樣方法從中抽取7人 則其中成績在區間 139 151 上的運動員人數是 題型二系統抽樣 解析答案 解析由題意知 將1 35號分成7組 每組5名運動員 成績落在區間 139 151 的運動員共有4組 故由系統抽樣法知 共抽取4名 答案4 2 某單位有840名職工 現采用系統抽樣方法抽取42人做問卷調查 將840人按1 2 840隨機編號 則抽取的42人中 編號落入區間 481 720 的人數為 12 解析答案 1 本例 2 中條件不變 若第三組抽得的號碼為44 則在第八組中抽得的號碼是 解析在第八組中抽得的號碼為 8 3 20 44 144 144 引申探究 解析答案 2 本例 2 中條件不變 若在編號為 481 720 中抽取8人 則樣本容量為 解析因為在編號 481 720 中共有720 480 240人 又在 481 720 中抽取8人 所以抽樣比應為240 8 30 1 又因為單位職工共有840人 28 解析答案 思維升華 1 系統抽樣適用的條件是總體容量較大 樣本容量也較大 2 使用系統抽樣時 若總體容量不能被樣本容量整除 可以先從總體中隨機地剔除幾個個體 從而確定分段間隔 3 起始編號的確定應用簡單隨機抽樣的方法 一旦起始編號確定 其他編號便隨之確定 思維升華 將參加夏令營的600名學生編號為001 002 600 采用系統抽樣方法抽取一個容量為50的樣本 且隨機抽得的號碼為003 這600名學生分住在三個營區 從001到300在第 營區 從301到495在第 營區 從496到600在第 營區 三個營區被抽中的人數依次為 跟蹤訓練2 解析答案 解析由題意及系統抽樣的定義可知 將這600名學生按編號依次分成50組 每一組各有12名學生 第k k n 組抽中的號碼是3 12 k 1 因此第 營區被抽中的人數是25 因此第 營區被抽中的人數是42 25 17 故抽取三個營的人數分別為25 17 8 答案25 17 8 命題點1求總體或樣本容量 例3某工廠甲 乙 丙三個車間生產了同一種產品 數量分別為120件 80件 60件 為了解它們的產品質量是否存在顯著差異 用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查 其中從丙車間的產品中抽取了3件 則n 13 題型三分層抽樣 解析答案 命題點2求某層入樣的個體數 例4 2015 福建 某校高一年級有900名學生 其中女生400名 按男女比例用分層抽樣的方法 從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本 則應抽取的男生人數為 解析由題意知 男生共有500名 25 解析答案 思維升華 分層抽樣問題類型及解題思路 1 求某層應抽個體數量 按該層所占總體的比例計算 2 已知某層個體數量 求總體容量或反之 根據分層抽樣就是按比例抽樣 列比例式進行計算 3 確定是否應用分層抽樣 分層抽樣適用于總體中個體差異較大的情況 思維升華 1 2014 廣東改編 已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖 和圖 所示 為了解該地區中小學生的近視形成原因 用分層抽樣的方法抽取2 的學生進行調查 則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為 跟蹤訓練3 解析答案 解析該地區中小學生總人數為3500 2000 4500 10000 則樣本容量為10000 2 200 其中抽取的高中生近視人數為2000 2 50 20 答案200 20 2 2014 湖北 甲 乙兩套設備生產的同類型產品共4800件 采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測 若樣本中有50件產品由甲設備生產 則乙設備生產的產品總數為 件 解析設乙設備生產的產品總數為x件 則甲設備生產的產品總數為 4800 x 件 1800 解析答案 返回 審題路線圖系列 典例 14分 某單位有2000名職工 老年 中年 青年分布在管理 技術開發 營銷 生產各部門中 如下表所示 審題路線圖系列 五審圖表找規律 1 若要抽取40人調查身體狀況 則應怎樣抽樣 2 若要開一個25人的討論單位發展與薪金調整方面的座談會 則應怎樣抽選出席人 3 若要抽20人調查對廣州亞運會舉辦情況的了解 則應怎樣抽樣 溫馨提醒 返回 審題路線圖 解析答案 審題路線圖 抽取40人調查身體狀況 觀察圖表中的人數分類統計情況 樣本人群應受年齡影響 表中老 中 青分類清楚 人數確定 要以老 中 青分層 用分層抽樣 要開一個25人的座談會 討論單位發展與薪金調整 溫馨提醒 審題路線圖 解析答案 樣本人群應受管理 技術開發 營銷 生產方面的影響 表中管理 技術開發 營銷 生產分類清楚 人數確定 要以管理 技術開發 營銷 生產人員分層 用分層抽樣 要抽20人調查對廣州亞運會舉辦情況的了解 可認為亞運會是大眾體育盛會 一個單位人員對情 況了解相當將單位人員看作一個整體 從表中數據看總人數為2000人 人員較多 可采用系統抽樣 溫馨提醒 解析答案 規范解答解 1 按老年 中年 青年分層 用分層抽樣法抽取 故老年人 中年人 青年人各抽取4人 12人 24人 5分 溫馨提醒 解析答案 2 按管理 技術開發 營銷 生產分層 用分層抽樣法抽取 故管理 技術開發 營銷 生產各部門抽取2人 4人 6人 13人 10分 溫馨提醒 解析答案 3 用系統抽樣 對全部2000人隨機編號 號碼從0001 2000 每100號分為一組 從第一組中用簡單隨機抽樣抽取一個號碼 然后將這個號碼分別加100 200 1900 共20人組成一個樣本 14分 溫馨提醒 1 本題審題的關鍵有兩點 一是對圖表中的人員分類情況和數據要審視清楚 二是對樣本的功能要審視準確 2 本題易錯點是 對于第 2 問 由于對樣本功能審視不準確 按老 中 青三層分層抽樣 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 簡單隨機抽樣的特點 總體中的個體性質相似 無明顯層次 總體容量較小 尤其是樣本容量較小 用簡單隨機抽樣法抽取的個體帶有隨機性 個體間無固定間距 2 系統抽樣的特點 適用于元素個數很多且均衡的總體 各個個體被抽到的機會均等 總體分組后 在起始部分抽樣時 采用簡單隨機抽樣 3 分層抽樣的特點 適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況 分層后 在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣 方法與技巧 進行分層抽樣時應注意以下幾點 1 分層抽樣中分多少層 如何分層要視具體情況而定 總的原則是層內樣本的差異要小 兩層之間的樣本差異要大 且互不重疊 2 為了保證每個個體等可能入樣 所有層中每個個體被抽到的可能性相同 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 為了了解某地區的中小學生視力情況 擬從該地區的中小學生中抽取部分學生進行調查 事先已了解到該地區小學 初中 高中三個學段學生的視力情況有較大差異 而男女生視力情況差異不大 在下面的抽樣方法中 最合理的抽樣方法是 簡單隨機抽樣 按性別分層抽樣 按學段分層抽樣 系統抽樣 解析不同的學段在視力狀況上有所差異 所以應該按照學段分層抽樣 解析答案 2 某校選修乒乓球課程的學生中 高一年級有30名 高二年級有40名 現用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本 已知在高一年級的學生中抽取了6名 則在高二年級的學生中應抽取的人數為 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 某初級中學有學生270人 其中一年級108人 二 三年級各81人 現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查 考慮選用簡單隨機抽樣 分層抽樣和系統抽樣三種方案 使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時 將學生按一 二 三年級依次統一編號為1 2 270 使用系統抽樣時 將學生統一隨機編號為1 2 270 并將整個編號依次分為10段 如果抽得號碼有下列四種情況 7 34 61 88 115 142 169 196 223 250 5 9 100 107 111 121 180 195 200 265 11 38 65 92 119 146 173 200 227 254 30 57 84 111 138 165 192 219 246 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 關于上述樣本的下列結論中 正確的是 填字母 a 都不能為系統抽樣b 都不能為分層抽樣c 都可能為系統抽樣d 都可能為分層抽樣 解析因為 為系統抽樣 所以a不對 因為 為分層抽樣 所以b不對 因為 不為系統抽樣 所以c不對 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 從編號為1 50的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發射實驗 若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統抽樣方法 則所選取5枚導彈的編號可能是 5 10 15 20 25 3 13 23 33 43 1 2 3 4 5 2 4 6 16 32 解析間隔距離為10 故可能的編號是3 13 23 33 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 2015 北京改編 某校老年 中年和青年教師的人數見下表 采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況 在抽取的樣本中 青年教師有320人 則該樣本中的老年教師人數為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 答案180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 某學校高一 高二 高三年級的學生人數之比為3 3 4 現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本 則應從高二年級抽取 名學生 解析抽取比例與學生比例一致 設應從高二年級抽取x名學生 則x 50 3 10 解得x 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 某校共有學生2000名 各年級男 女學生人數如下表 已知在全校學生中隨機抽取1名 抽到二年級女生的概率是0 19 現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生 則應在三年級抽取的學生人數為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析依題意可知二年級的女生有380人 那么三年級的學生人數應該是2000 373 377 380 370 500 即總體中各個年級的人數比為3 3 2 答案16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 用系統抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本 將160名學生從1 160編號 按編號順序平均分成20組 1 8號 9 16號 153 160號 若第16組抽出的號碼為123 則第2組中應抽出個體的號碼是 解析由題意可知 系統抽樣的組數為20 間隔為8 設第1組抽出的號碼為x 則由系統抽樣的法則可知 第n組抽出個體的號碼應該為x n 1 8 所以第16組應抽出的號碼為x 16 1 8 123 解得x 3 所以第2組中應抽出個體的號碼為3 2 1 8 11 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 將某班的60名學生編號為01 02 60 采用系統抽樣方法抽取一個容量為5的樣本 且隨機抽得的一個號碼為04 則剩下的四個號碼依次是 因為在第一組抽得04號 4 12 16 16 12 28 28 12 40 40 12 52 所以其余4個號碼為16 28 40 52 16 28 40 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 某政府機關有在編人員100人 其中副處級以上干部10人 一般干部70人 工人20人 上級機關為了了解政府機構改革意見 要從中抽取一個容量為20的樣本 試確定用何種方法抽取 請具體實施抽取 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解用分層抽樣方法抽取 具體實施抽取如下 從副處級以上干部中抽取2人 從一般干部中抽取14人 從工人中抽取4人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 副處級以上干部與工人的人數較少 他們分別按1 10編號與1 20編號 然后采用抽簽法分別抽取2人和4人 對一般干部70人采用00 01 02 69編號 然后用隨機數表法抽取14人 3 將2人 4人 14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本 11 2014 湖南改編 對一個容量為n的總體抽取容量為n的樣本 當選取簡單隨機抽樣 系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時 總體中每個個體被抽中的概率分別為p1 p2 p3 則 p1 p2 p3 p2 p3 p1 p1 p3 p2 p1 p2 p3 解析由于三種抽樣過程中 每個個體被抽到的概率都是相等的 因此p1 p2 p3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查 為此將他們隨機編號為1 2 960 分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9 抽到的32人中 編號落入區間 1 450 的人做問卷a 編號落入區間 451 750 的人做問卷b 其余的人做問卷c 則抽到的人中 做問卷b的人數為 抽取的號碼依次為9 39 69 939 落入區間 451 750 的有459 489 729 這些數構成首項為459 公差為30的等差數列