第1節數系的擴充與復數的引入 【選題明細表】知識點、方法題號復數的相關概念2、8、11復數的代數運算1、3、7復數的幾何意義4、9、12、13復數相等的應用5、6、10復數的綜合應用14、15一、選擇題1.(2012年高考遼寧卷)復數2-i2+i等于(a)(a)35-45i(b)35+45i(c)1-45i(d)1+35i解析:2-i2+i=(2-i)2(2+i)(2-i)=3-4i5=35-45i.故選a.2.(2013安徽省黃山市高中畢業班質檢)若復數a-3i1+2i(ar,i為虛數單位)是純虛數,則實數a的值為(a)(a)6(b)-6(c)5(d)-4解析:a-3i1+2i=(a-3i)(1-2i)5=a-6-(2a+3)i5為純虛數,故a-65=0,-(2a+3)50,a=6,故選a.3.(2013廣東高三聯考)復數-i+1-i1+i等于(a)(a)-2i(b)12i(c)0(d)2i解析:-i+1-i1+i=-i-i=-2i,選a.4.(2013廣州高三調研)已知i為虛數單位,則復數i(2-3i)對應的點位于(a)(a)第一象限(b)第二象限(c)第三象限(d)第四象限解析:i(2-3i)=2i-3i2=3+2i,其對應的點為(3,2),位于第一象限,故選a.5.(2013年高考廣東卷)若i(x+yi)=3+4i,x,yr,則復數x+yi的模是(d)(a)2(b)3(c)4(d)5解析:法一 i(x+yi)=3+4i,-y+xi=3+4i,x=4,y=-3.故|x+yi|=|4-3i|=5.法二 i(x+yi)=3+4i,(-i)i(x+yi)=(-i)(3+4i)=4-3i.即x+yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|=5.故選d.6.若(x-i)i=y+2i,x、yr,則復數x+yi等于(b)(a)-2+i(b)2+i(c)1-2i(d)1+2i解析:(x-i)i=xi+1.又(x-i)i=y+2i.由復數相等可知x=2y=1,所以x+yi=2+i.故選b.7.(2013年高考山東卷)復數z=(2-i)2i(i為虛數單位),則|z|等于(c)(a)25(b)41(c)5(d)5解析:z=(2-i)2i=4-4i+i2i=3-4ii=-4-3i.|z|=(-4)2+(-3)2=5 .故選c.二、填空題8.(2013年高考重慶卷)已知復數z=5i1+2i(i是虛數單位),則|z|=.解析:|z|=5i1+2i=5i(1-2i)5=|i+2|=5.答案:59.(2013年高考湖北卷)i為虛數單位,設復數z1,z2在復平面內對應的點關于原點對稱,若z1=2-3i,則z2=.解析:(2,-3)關于原點的對稱點是(-2,3),z2=-2+3i.答案:-2+3i10.(2013年高考天津卷)已知a,br,i是虛數單位.若(a+i)(1+i)=bi,則a+bi=.解析:由(a+i)(1+i)=bi可得(a-1)+(a+1)i=bi,因此a-1=0,a+1=b.解得a=1,b=2,故a+bi=1+2i.答案:1+2i11.若定義abcd=ad-bc(a,b,c,d為復數),則2i3i3ii(3-2i)(i為虛數單位)的實部為.解析:由定義可得2i3i3ii(3-2i)=2ii(3-2i)-3i3i=3+4i.故其實部為3.答案:312.復數z=11+i(i是虛數單位)的共軛復數在復平面上對應的點位于第象限.解析:由題意得z=11+i=1-i(1+i)(1-i)=12-12i,所以其共軛復數z=12+12i,在復平面上對應的點位于第一象限.答案:一三、解答題13.已知i是虛數單位,若實數x、y滿足(1+i)(x+yi)=(1-i)(2+3i),試判斷點p(x,y)所在的象限.解:已知等式可化為(x-y)+(x+y)i=5+i,根據兩復數相等的條件得,x-y=5,x+y=1,解得x=3,y=-2,所以點p在第四象限.14.設復數z=-3cos +2isin .(1)當=43時,求|z|的值;(2)若復數z所對應的點在直線x+3y=0上,求2cos22-12sin+4的值.解:(1)=43,z=-3cos 43+2isin 43=32-3i,|z|=322+(-3)2=212.(2)由條件得,-3cos +6sin =0,cos 0,tan =12,原式=cossin+cos=1tan+1=23.15.已知關于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(ar)有實數根b.(1)求實數a,b的值.(2)若復數滿足|z-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解:(1)b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(ar)的實根,(b2-6b+9)+(a-b)i=0,b2-6b+9=0,a=b,解得a=b=3.(2)設z=s+ti(s,tr),其對應點為z(s,t),由|z-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)