路邊苦李 王戎7歲時 與小伙伴們外出游玩 看到路邊的李樹上結滿了果子 小伙伴們紛紛去摘取果子 只有王戎站在原地不動 王戎回答說 樹在道邊而多子 此必苦李 小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李 王戎是怎樣知道李子是苦的呢 他運用了怎樣的推理方法 這與事實矛盾 說明李子是甜的這個假設是錯的還是對的 假設李子不是苦的 即李子是甜的 那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢 那么 樹上的李子還會這么多嗎 所以 李子是苦的 甲 在五一長假里 我和爸爸 媽媽去新加坡玩了整整6天 真是太高興了 乙 這不可能 5月4號上午還看見你和丙在 長廊 逛街呢 丙 是啊 5月4號我確實和甲在 長廊 逛街 假設甲去新加坡玩了6天 乙 甲沒有去新加坡玩了6天 那么甲從5月1號至6號或是2號至7號在新加坡 即5月4號甲在新加坡 這與 5月4號甲在達州市的 長廊 矛盾 所以假設 甲去新加坡玩了6天 不正確 于是 甲沒有去新加坡玩了6天 正確 在古希臘時 有三個哲學家 由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦 于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了 這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額 當他們醒過來后 彼此相看時都笑了 一會兒其中有一個人卻突然不笑了 他是覺察到什么了 他運用了怎樣的推理方法 各抒己見 假設自己的前額沒有被涂黑 那么另一個哲學家也不會有異常行為 自己的前額也被涂黑了 這與另一個哲學家笑個不停矛盾 所以假設 自己的前額沒有涂黑 不正確 于是自己的前額也被涂黑了 證明 假設a與b不止一個交點 不妨假設有兩個交點a和a 因為兩點確定一條直線 即經過點a和a 的直線有且只有一條 這與與已知兩條直線矛盾 假設不成立 所以兩條直線相交只有一個交點 小結 根據假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外 還可以與我們學過的定理 公理矛盾 求證 兩條直線相交只有一個交點 已知 如圖兩條相交直線a b 求證 a與b只有一個交點 證明 假設a與b不平行 則可設它們相交于點a 那么過點a就有兩條直線a b與直線c平行 這與 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾 假設不成立 a b 小結 根據假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外 還可以與我們學過的定理 公理矛盾 求證 在一個三角形中 至少有一個內角小于或等于60 已知 abc求證 abc中至少有一個內角小于或等于60 證明 假設 則 即 這與矛盾 假設不成立 abc中沒有一個內角小于或等于60 a 60 b 60 c 60 a b c 180 三角形的內角和為180度 abc中至少有一個內角小于或等于60 點撥 至少的反面是沒有 a b c 60 60 60 180 求證 在同一平面內 如果一條直線和兩條平行線中的一條相交 那么和另一條也相交 已知 直線l1 l2 l3在同一平面內 且l1 l2 l3與l1相交于點p 求證 l3與l2相交 證明 假設 那么 因為已知 這與 矛盾 所以假設不成立 即求證的命題正確 l3與l2不相交 l3 l2 l1 l2 經過直線外一點 有且只有一條直線平行于已知直線 所以過直線l2外一點p 有兩條直線和l2平行 例6 用反證法證明 等腰三角形的底角必定是銳角 分析 解題的關鍵是反證法的第一步否定結論 需要分類討論 已知 在 abc中 ab ac 求證 b c為銳角 證明 假設等腰三角形的底角不是銳角 那么只有兩種情況 1 兩個底角都是直角 2 兩個底角都是鈍角 1 由 a b 90 則 a b c a 90 90 180 這與三角形內角和定理矛盾 a b 90 這個假設不成立 2 由90 b 180 90 c 180 則 a b c 180 這與三角形內角和定理矛盾 兩個底角都是鈍角這個假設也不成立 故原命題正確 等腰三角形的底角必定是銳角 說明 本例中 是銳角 小于90 的反面有兩種情況 這時 必須分別證明命題結論反面的每一種情況都不可能成立 最后才能肯定命題的結論一定正確 此題是對反證法的進一步理解 假設結論的反面正確 推理論證 得出結論 回顧與歸納 反證法 反設 歸謬 結論 反證法的一般步驟 假設命題結論不成立 假設不成立 假設命題結論反面成立 與已知條件矛盾 假設 推理得出的結論 與定理 定義 公理矛盾 所證命題成立 什么時候運用反證法呢 動動腦 證明真命題的方法 萬事開頭難 讓我們走好第一步 寫出下列各結論的反面 1 a b 2 a 0 3 b是正數 4 a b a 0 b是0或負數 a不垂直于b 1 在一個梯形中 如果同一條底邊上的兩個內角不相等 那么這個梯形是等腰梯形嗎 請證明你的猜想 誰來試一試 2 已知 如圖 abc中 d e兩點分別在ab和ac上求證 cd be不能互相平分 平行四邊形對邊平行 證明 假設cd be互相平分 連結de 故四邊形bced是平行四邊形 bd ce 這與bd ce交于點a矛盾 假設錯誤 cd be不能互相平分 1 試說出下列命題的反面 1 a是實數 2 a大于2 3 a小于2 4 至少有2個 5 最多有一個 6 兩條直線平行 2 用反證法證明 若a2 b2 則a b 的第一步是 3 用反證法證明 如果一個三角形沒有兩個相等的角 那么這個三角形不是等腰三角形 的第一步 a不是實數 a小于或等于 a大于或等于 沒有兩個 一個也沒有 兩直線相交 假設a b 假設這個三角形是等腰三角形 已知 在梯形abcd中 ab cd c d求證 梯形abcd不是等腰梯形 證明 假設梯形abcd是等腰梯形 c d 等腰梯形同一底上的兩內角相等 這與已知條件 c d矛盾 假設不成立 梯形abcd不是等腰梯形 證明 假設pb pc 在 abp與 acp中ab ac 已知 ap ap 公共邊 pb pc 已知 abp acp s s s apb apc 全等三角形對應邊相等 這與已知條件 apb apc矛盾 假設不成立 pb pc 1 知識小結 反證法證明的思路 假設命題不成立 正確的推理 得出矛盾 肯定待定命題的結論 2 難點提示 利用反證法證明命題時 一定要準確而全面的找出命題結論的反面 至少的反面是沒有 最多的反面是不止 大家議一議 通過本節內容的學習 你們覺得哪些題型宜用反證法 我來告訴你 經驗之談 1 以否定性判斷作為結論的命題 2 以 至多 至少 或 不多于 等形式陳述的命題 3 關于 唯一性 結論的命題 4 一些不等量命題的證明 5 有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等 如平行線的傳遞性的證明 注意 用反證法證題時 應注意的事項 1 周密考察原命題結論的否定事項 防止否定不當或有所遺漏 2 推理過程必須完整 否則不能說明命題的真偽性 3 在推理過程中 要充分使用已知條