陳仁間整理之行程問題 五、環(huán)形跑道相遇問題例1.在一個圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到B點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要多久?解析：設(shè)跑到全長為S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+AB，第一次相遇兩人走了8分鐘，第二次相遇又走了6+10=16分鐘，故兩人共同走AB時間是走全長S時間的一半，根據(jù)速度和不變情況下，時間與路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用時6+8=14分鐘，故甲環(huán)形一周用時28分鐘。（16+6）8=2 （全程是AB的2倍）（6+8）2=28（分鐘）答：甲環(huán)行一周需要28分鐘。2.甲、乙二人以勻速繞圓形跑道相向跑步，出發(fā)點(diǎn)在圓直徑的兩端。如果他們同時出發(fā)，并在甲跑完60米時第一次相遇，在乙跑一圈還差80米時兩人第二次相遇，求跑道的長度?解析，由上題的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此時甲跑了60*3=180米，已跑了全長減去80米，故1.5S=S-80+180，解得全長S等于200米。解：設(shè)全長為x米。1.5x=x-80+603 X=200答：跑道的長度為200米。例3.甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒鐘3米，乙的速度是每秒鐘2米。如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇了幾次?分析：第一次相遇時行一個全程，用時：90(2+3)=18S；此后每次相遇都行兩個全程，都用時182=36秒，(600-18)36=164，故10分鐘內(nèi)二者相遇了16+1=17次。90(2+3)=18（秒）(1060-18)（182）=16416+1=17（次）答：10分鐘內(nèi)共相遇了17次例4.甲、乙在橢圓形跑道上訓(xùn)練，同時從同一地點(diǎn)出發(fā)反向而跑，每人跑完第一圈回到出發(fā)點(diǎn)立即回頭加速跑第二圈。跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的2/3，甲跑第二圈時速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈時速度比第一圈提高了1/5，已知甲、乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米，這條橢圓形跑道多長?解析：如下圖所示，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，因跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的2/3，故第一次相遇點(diǎn)B距A為全程的3/5，當(dāng)甲跑完一圈到達(dá)A點(diǎn)時，乙到達(dá)C點(diǎn)，距離A點(diǎn)為1/3，此時甲加速1/3，甲乙速度比變?yōu)?:1，故當(dāng)乙跑完一圈到達(dá)A點(diǎn)時甲到達(dá)了C點(diǎn)，二者距離為全程的1/3，此時乙加速1/5，甲乙速度比變?yōu)?:12/5=5:3，此時變?yōu)槁烦虨槿L1/3的相遇問題，當(dāng)甲乙第二次相遇時，乙走了全長1/3的3/8，也就是全長的1/8，所以兩次相遇點(diǎn)之間距離BD為全長的3/5-1/8=19/40，故橢圓形跑道全長為19019/40=400米。全程的1/3的相遇時乙返回的路程：【2（1+）】【3（1+）+2（1+）】=190（-）=400（米）答：橢圓形跑道全長為400米。例5.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米。甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲5米/秒，乙4米/秒。每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么，甲追上乙需要多少秒鐘?分析：100(5-4)=100秒，1005=500（米），500100-1=4（次）一共休息4次。用時100+410=140秒。而乙行了1004=400米，400100-1=3次，用時100+310=130秒，乙休息10秒后剛要跑，此時甲追到，所以，甲追上乙用時100+410=140（秒）。100(5-4)=100（秒）100+（1005100-1）10=140（秒）答：甲追上乙需要140秒鐘。例5.有甲、乙、丙3人,甲每分鐘行走120米,乙每分鐘行走100米,丙每分鐘行走80米。如果3個人同時同向,從同地出發(fā),沿周長是300米的圓形跑道行走,那么多少分鐘之后,3人又可以相聚在跑道上同一處?分析：甲走完一周需要時間：300120=2.5（分鐘），乙走完一周需要時間：300100=3（分鐘），丙走完一周需要時間：30080=（分鐘），那么再次相聚在跑道同一處的時間為這三個時間的最小公倍數(shù)：2.5,3,=30(分鐘)甲：300120=2.5（分鐘） 乙：300100=3（分鐘） 丙：30080=（分鐘）2.5,3,=30(分鐘)答：30分鐘之后,3人又可以相聚在跑道上同一處。例6.甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時出發(fā)，背向而行。現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是70分鐘，如果在出發(fā)后45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多少分鐘?分析：甲行走45分鐘，再行走70-45=25分鐘即可走完一圈。而甲乙兩人行45分鐘相遇即兩人共同走完一圈，所以甲行25分鐘的路程相當(dāng)于乙行走45分鐘的路程。甲行走一圈需70分鐘，所以乙需：702545=126（分鐘）。70（70-45）45=126（分鐘）答：乙走一圈的時間是126分鐘。例7.林琳在450米長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？解：設(shè)總時間為x秒。54=4509x=900x=100100=50（秒）答：她后一半路程跑了50秒。例8.甲、乙兩人同時從400米的環(huán)形路跑道的一點(diǎn)A背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是多少？分析：甲、乙兩人三次相遇，共行了三個全程，即是3400=1200（米）。根據(jù)題意，甲乙兩人的速度和為12008=150（米/分）因?yàn)榧滓覂扇说拿糠炙俣炔顬?.160=6（米/分），所以甲的速度為（150+6）2=78（米/分）甲8分鐘行的路程為788=624（米），離開原點(diǎn)624-400=224米，因?yàn)?24400/2，所以400-224=176（米）即為答案。0.160=6（米/分）甲速：（34008+6）2=78（米/分）788-400=224米400/2400-224=176（米）答：兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是176米。基本習(xí)題：1.在一個圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時出發(fā)反向而行，10分鐘后兩人相遇，再過8分鐘甲到B點(diǎn)，又過12分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要多久?2.甲、乙二人以勻速繞圓形跑道相向跑步，出發(fā)點(diǎn)在圓直徑的兩端。如果他們同時出發(fā)，并在甲跑完120米時第一次相遇，在乙跑一圈還差160米時兩人第二次相遇，求跑道的長度?3.甲乙兩人在相距180米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒鐘5米，乙的速度是每秒鐘4米。如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，10分鐘內(nèi)共相遇了幾次?4.甲、乙在橢圓形跑道上訓(xùn)練，同時從同一地點(diǎn)出發(fā)反向而跑，每人跑完第一圈回到出發(fā)點(diǎn)立即回頭加速跑第二圈。跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的3/5，甲跑第二圈時速度比第一圈提高了1/5，乙跑第二圈時速度比第一圈提高了1/3，已知甲、乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)218米，這條橢圓形跑道多長?5.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距200米。甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲5米/秒，乙4米/秒。每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么，甲追上乙需要多少秒鐘?6. 甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點(diǎn)同時出發(fā)，背向而行。現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是140分鐘，如果在出發(fā)后90分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多