第2講數列的綜合應用 高考定位高考對本內容的考查主要有 1 通過適當的代數變形后 轉化為等差數列或等比數列的問題 2 求數列的前n項和的幾種方法 3 數列與函數 不等式 數論等知識結合的綜合問題 題型一般為解答題 且為壓軸題 真題感悟 2016 江蘇卷 記u 1 2 100 對數列 an n n 和u的子集t 若t 定義st 0 若t t1 t2 tk 定義st at1 at2 atk 例如 t 1 3 66 時 st a1 a3 a66 現設 an n n 是公比為3的等比數列 且當t 2 4 時 st 30 1 求數列 an 的通項公式 2 對任意正整數k 1 k 100 若t 1 2 k 求證 st ak 1 3 設c u d u sc sd 求證 sc sc d 2sd 考點整合 1 數列求和常用方法 1 分組轉化求和 把數列的每一項拆成兩項 或多項 再重新組合成兩個 或多個 簡單的數列 最后分別求和 2 錯位相減法 適用于各項由一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積組成的數列 把sn a1 a2 an兩邊同乘以相應等比數列的公比q 得到qsn a1q a2q anq 兩式錯位相減即可求出sn 2 數列中的不等式問題主要有證明數列不等式 比較大小或恒成立問題 解決方法如下 1 利用數列 或函數 的單調性 2 放縮法 先求和后放縮 先放縮后求和 包括放縮后成等差 或等比 數列再求和 或者放縮后成等差比數列再求和 或者放縮后裂項相消法求和 探究提高 1 以數列為背景的不等式恒成立問題 多與數列求和相聯系 最后利用數列或數列對應函數的單調性求解 2 以數列為背景的不等式證明問題 多與數列求和有關 常利用放縮法或單調性法證明 3 當已知數列關系式時 需要知道其范圍時 可借助數列的單調性 即比較相鄰兩項的大小即可 探究提高此類問題看似簡單 實際復雜 思維量和計算量較大 難度較高 訓練2 2011 江蘇卷 設m為部分正整數組成的集合 數列 an 的首項a1 1 前n項的和為sn 已知對任意的整數k m 當整數n k時 sn k sn k 2 sn sk 都成立 1 設m 1 a2 2 求a5的值 2 設m 3 4 求數列 an 的通項公式 解 1 由題設知 當n 2時 sn 1 sn 1 2 sn s1 即 sn 1 sn sn sn 1 2s1 從而an 1 an 2a1 2 又a2 2 故當n 2時 an a2 2 n 2 2n 2 所以a5的值為8 探究提高分析已知條件和求解目標 確定最終解決問題需要首先求解的中間問題 如為求和需要先求出通項 為求出通項需要先求出首項和公差 公比 證明數列為等差或等比數列需要先證任意兩項的差或比值為定值 證明充要條件需要證明充分性與必要性等 確定解題的邏輯次序 訓練3 2014 江蘇卷 設數列 an 的前n項和為sn 若對任意的正整數n 總存在正整數m 使得sn am 則稱 an 是 h數列 1 若數列 an 的前n項和sn 2n n n 證明 an 是 h數列 2 設 an 是等差數列 其首項a1 1 公差d 0 若 an 是 h數列 求d的值 3 證明 對任意的等差數列 an 總存在兩個 h數列 bn 和 cn 使得an bn cn n n 成立 1 證明由已知 當n 1時 an 1 sn 1 sn 2n 1 2n 2n 于是對任意的正整數n 總存在正整數m n 1 使得sn 2n am 所以 an 是 h數列 探究提高數列中的比較大小與其它比較大小的方法類似 也是差比法或商比法 另外探索充要條件要從充分性 必要性兩個方面判斷與尋找 3 假設存在正整數m n n m 2 使得s2 sm s2 sn sm成等比數列 則 sm s2 2 s2 sn sm 即 m2 4 2 4 n2 m2 所以4n2 m2 2 2 12 即4n2 m2 2 2 12 即 2n m2 2 2n m2 2 12 因為n m 2 所以n 4 m 3 所以2n m2 2 15 因為2n m2 2是整數 所以等式 2n m2 2 2n m2 2 12不成立 故不存在正整數m n n m 2 使得s2 sm s2 sn sm成等比數列 1 數列與不等式綜合問題 1 如果是證明不等式 常轉化為數列和的最值問題 同時要注意比較法 放縮法 基本不等式的應用 2 如果是解不等式 注意因式分解的應用 2 數列與函數的綜合問題 1 函數條件的轉化 直接利用函數與數列的對應關系 把函數解析式中的自變量x換為n即可 2 數列向函數的轉化 可將數列中的問題轉化為函數問題 但要注意函數定義域 3 數列中的探索性問題 處理探索性問題的一般方法是 假設題中的數學對