第4講 萬有引力定律及其應用 一 開普勒運動定律 焦點 面積 半長軸 公轉周期 3 開普勒第三定律中 k值只與中心天體的質量有 需要注意 1 行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理 2 開普勒行星運動定律也適用于其他天體 例如月球 衛 星繞地球的運動 關 不同的中心天體k值不同 基礎檢測 1 北斗衛星導航系統 bds 是中國自行研制的全球衛星導航系統 該系統由35顆衛星組成 衛星的軌道有三種 地球同步軌道 中地球軌道和傾斜軌道 其中 同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1 5倍 那么同步衛星與中軌道衛星的周期之比 約為 二 萬有引力定律 乘積 二次方 1 內容 自然界中任何兩個物體都相互吸引 引力的方向在它們的連線上 引力的大小跟物體的質量m1和m2的 成正比 與它們之間距離r的 成反比 2 公式 f 其中g 6 67 10 11n m2 kg2 叫引力常量 兩球心間的距離 3 特殊情況 質點到球心間的距離 1 兩個質量分布均勻的球體間的相互作用 也可用本定律來計算 其中r為 2 一個質量分布均勻的球體和球外一個質點間的萬有引力也適用 其中r為 基礎檢測 以下說法中正確的是 2 關于萬有引力公式f g a 公式只適用于星球之間的引力計算 不適用于質量較小的物體b 當兩物體間的距離趨近于0時 萬有引力趨近于無窮大c 兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律d 公式中引力常量g的值是牛頓規定的 三 三種宇宙速度1 1 第一宇宙速度 環繞速度 v1 km s v1是人造地球衛星的最小 速度 也是人造地球衛星繞地球 做圓周運動的 速度 2 第一宇宙速度的計算方法 發射 7 9 最大 2 第二宇宙速度 脫離速度 v2 km s 是使物體掙脫 引力束縛的最小發射速度 3 第三宇宙速度 逃逸速度 v3 km s 是使物體掙脫 引力束縛的最小發射速度 11 2 地球 16 7 太陽 考點1 萬有引力定律及其應用 重點歸納1 地球表面的重力與萬有引力地球上的物體所受地球的吸引力產生兩個效果 其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力 另一個分力等于重力 考題題組 1 2016年山西質檢 據報道 目前我國正在研制 螢火二號 火星探測器 探測器升空后 先在地球表面附近以線速度v環繞地球飛行 再調整速度進入地火轉移軌道 最后以線速度v 在火星表面附近環繞火星飛行 若認為地球和火星都是質量分布均勻的球體 已知火星與地球的半徑之比為1 2 密度之比為5 7 設火星與地球表面的重力加速度分別為g 和g 下列結論正確的是 答案 c 2 多選 如圖4 4 1所示 兩質量相等的衛星a b繞地球做勻速圓周運動 用r t ek s分別表示衛星的軌道半徑 周期 動能 與地心連線在單位時間內掃過的面積 下列關系 式正確的有 圖4 4 1 運動的向心力 考點2 天體質量及密度的計算 重點歸納1 利用行星 或衛星 繞中心天體做勻速圓周運動求中心天體的質量計算天體的質量和密度問題的關鍵是明確中心天體對它的衛星 或行星 的引力就是衛星 或行星 繞中心天體做勻速圓周 考題題組 3 過去幾千年來 人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內 行星 51pegb 的發現拉開了研究太陽系外行星的序幕 51pegb 繞其中心恒星做勻速圓周運動 周期約為4天 軌道 120 該中心恒星與太陽的質量 半徑約為地球繞太陽運動半徑的比約為 a 110 b 1 c 5 d 10 考點3 衛星運行參量的分析與比較 重點歸納 1 環繞同一天體的不同軌道高度的衛星運行參量比較 2 人造衛星的運動學特征 續表 3 同步衛星的六個 一定 考題題組 4 2016年浙江十二校聯考 北斗系統 的衛星由若干周期為24h的地球靜止軌道衛星 如圖4 4 2中丙 傾斜地球同步軌道衛星 如圖中乙 和中圓地球軌道衛星 如圖中丁 三種軌道衛星組成 設定它們都繞地心做勻速圓周運動 甲是地球赤道 上的一個物體 圖中未畫出 下列說法中正確的是 圖4 4 2 答案 b 5 2016年四川卷 國務院批復 自2016年起將4月24日設立為 中國航天日 1970年4月24日我國首次成功發射的人造衛星東方紅一號 目前仍然在橢圓軌道上運行 如圖4 4 3所示 其軌道近地點高度約為440km 遠地點高度約為2060km 1984年4月8日成功發射的東方紅二號衛星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上 設東方紅一號在遠地點的加速度為a1 東方紅二號的加速度為a2 固定在地球赤道上的物 體隨地球自轉的加速度為a3 則a1 a2 a3的大小關系為 a a2 a1 a3b a3 a2 a1c a3 a1 a2 d a1 a2 a3 圖4 4 3 考點3 衛星的在軌運行和變軌問題 重點歸納1 衛星發射及變軌過程概述人造衛星的發射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道 如圖4 4 4所示 圖4 4 4 1 為了節省能量 在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到 圓軌道 上 2 在a點點火加速 由于速度變大 萬有引力不足以提供 向心力 衛星做離心運動進入橢圓軌道 3 在b點 遠地點 再次點火加速進入圓形軌道 3 衛星變軌的實質 考題題組 6 多選 2017年山西四校聯考 如圖4 4 5所示為 嫦娥三號 登月軌跡示意圖 圖中m點為環地球運行的近地點 n點為環月球運行的近月點 a為環月球運行的圓軌道 b為環月 球運行的橢圓軌道 下列說法中正確的是 圖4 4 5 a 嫦娥三號 在環地球軌道上的運行速度大于11 2 km s b 嫦娥三號 在m點進入地月轉移軌道時應點火加速c 設 嫦娥三號 在圓軌道a上經過n點時的加速度為a1 在橢圓軌道b上經過n點時的加速度為a2 則a1 a2d 嫦娥三號 在圓軌道a上的機械能小于在橢圓軌道b 上的機械能 考點5 天體的追及相遇問題 重點歸納 1 根據 可判斷出誰的角速度大 2 從兩星相距最近開始 兩星追上或相距最近時 兩星運行的角度之差等于2 的整數倍 相距最遠時 兩星運行的角度之差等于 的奇數倍 衛星與地面上物體追及 衛星在地面上物體的正上方 時 要根據地面上物體與同步衛星角速度相同的特點進行判斷 方法思路 1 軌道在同一平面內的兩顆衛星之間的距離有最近和最遠之分 但它們都處在同一條直線上 由于它們的軌道不是重合的 因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長相等來處理 而是通過衛星運動的圓心角來衡量 若它們初始位置在同一直線上 實際上內軌道上衛星所轉過的圓心角與外軌道上衛星所轉過的圓心角之差為 的整數倍時就是出現最近或最遠的時刻 2 軌道不在同一平面內的兩顆衛星也可以發生碰撞 但軌 道高度要相同 考題題組 7 設地球的自轉角速度為 0 地球半徑為r 地球表面重力加速度為g 某人造衛星在赤道上空做勻速圓周運動 軌道半徑為r 且r 5r 飛行方向與地球的自轉方向相同 在某時刻 該人造衛星通過赤道上某建筑物的正上方 則到它下一次 通過該建筑物正上方所需要的時間為 答案 d 8 如圖4 4 6所示 有a b兩顆行星繞同一顆恒星m做圓周運動 旋轉方向相同 a行星的周期為t1 b行星的周期為t2 在某一時刻兩行星相距最近 則 1 經過多長時間 兩行星再次相距最近 2 經過多長時間 兩行星第一次相距最遠 圖4 4 6 模型 雙星 三星模型 1 雙星模型 在天體模型中 將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星 如 圖4 4 7所示 1 兩星做勻速圓周運動的向心力大小相等 都等于兩者之 間的萬有引力 2 雙星具有相同的角速度和周期 3 雙星圓周運動的半徑之和等于雙星間距 圖4 4 7 2 三星模型 例1 多選 2016年武漢武昌區調研 太空中存在一些離其他恒星很遠的 由三顆星體組成的三星系統 可忽略其他星體對它們的引力作用 已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式 一種是直線三星系統 三顆星體始終在一條直線上 另一種是三角形三星系統 三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上 已知某直線三星系統a每顆星體的質量均為m 相鄰兩顆星體中心間的距離都為r 某三角形三星系統b的每顆星體的質量恰好也均為m 且三星系統a外側的兩顆星體與三星系統b每顆星體做勻速圓周運動的周期相等 引力常量為 g 則 觸類旁通 1 多選 2017年河北衡水模擬 宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統 通常可忽略其他星體對它們的引力作用 設四星系統中每個星體的質量均為m 半徑均為r 四顆星穩定分布在邊長為l的正方形的四個頂點上 其中l遠大于r 已知萬有引力常量為g 忽略星體自轉效 應 則關于四星系統 下列說法正確的是 方法 萬有引力定律與幾何知識的綜合應用 人造衛星繞地球運動 太陽發出的光線沿直線傳播 地球或衛星都會遮擋光線 從而使萬有引力 天體運動與幾何知識綜合起來 求解此類問題時 要根據題中情景 由光線沿直線傳播畫出幾何圖形 通過幾何圖形找到邊界光線 從而確定臨界條件 并結合萬有引力提供衛星做圓周運動所需的向心力 列式求解 例2 如圖4 4 8所示 地球和某行星在同一軌道平面內同向繞太陽做勻速圓周運動 地球的軌道半徑為r 運行周期為t 地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線的夾角叫地球對行星的觀察視角 簡稱視角 已知該行星的最大視角為 當行星處于最大視角處時 是地球上天文愛好者觀察該行星的最佳時期 若某時刻該行星正好處于最佳觀察期 問該行星下一次處于最佳觀察期至少需經歷多長時間 圖4 4 8 圖4 4 9 觸類旁通 2 由三顆星體構成的系統 忽略其他星體對它們