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第29講 數論綜合4內容概述主要是“小升初”綜合素質測試中較難的數論問題1任意選取9個連續的正整數,即它們的乘積為P,最小公倍數為Q我們知道,P除以Q所得到的商必定是自然數,那么這個商的最大可能值是多少? 【分析與解】 將9個連續的正整數作因式分解,如果某個質數是其中至少兩個分解式的因子,那么次數最高的那個方冪會包含在最小公倍數Q中,而其他方冪的乘積則出現在P除以Q的商中顯然這樣的質數必定小于9,只可能是2,3,5或7 記PQ=R,則R的質因數必定取自2,3,5,7 兩個不同的7的倍數至少相差7,因此在9個連續正整數中,最多有兩個數含有質因數7當有兩個數是7的倍數是,可能它們都不能被77整除,也可能其中一個數是77的倍數,而另一個不是于是R的質因數分解式中7的冪次最高是1 類似的分析,R中最多包含一個質因數5 在9個連續的正整數中,恰有3個數是3的倍數,其中一個數能被9整除,而另一兩個數僅能被3整除,因此R中所包含的質因數3的冪次必定為2 在9個連續的正整數中,最多有5個數是偶數此時,除去含有2的冪次最高的數外,其余的4的數含有質因數2最多的情形是:其中有2個僅為2的倍數,有1個是4的倍數,另一個是8的倍數即R的質因數分解式中2的冪次最多是1+1+2+3=7 綜上所述,R的最大值是273257=40320事實上,對于9個連續正整數560,561,568,P除以Q所得到的商恰是403202老師在黑板上依次寫了三個數21、7、8,現在進行如下的操作,每次將這三個數中的某些數加上2,其他數減去1,試問能否經過若干次這樣的操作后,使得: (1)三個數都變成12? (2)三個數變成23、15、19? 【分析與解】 如果兩個數都加上2,那么它們的差不變;如果兩個數都減去1,那么它們的差也不變;如果一個數加上2,一個數減去1,那么它們的差增大或減小3所以,不管怎樣,它們的差增大或減小3的倍數也就是說,不管怎么操作,這兩個數的差除以3的余數是不變的21與7的差除以3的余數為2;21與8的差除以3的余數為1;7與8的差除以3的余數為1(1)三個數都變成12,那么它們的差除以3的余數都是0,顯然與開始給出的三個數之間差的余數有變化,所以不滿足;(2)三個數變成23、15、19,它們之間差除以3的余數依次為:23與15的差除以3的余數為2;23與19的差除以3的余數為1;15與19的差除以3的余數為1也就是說與開始給出的三個數之間差的余數沒變化,所以滿足3對于n個奇質數,如果其中任意奇數個數的和仍是質數,那么稱這些數構成“奇妙數組”,而n就是這個數組的“階數”例如11,13,17就是“奇妙數組”,因為11,13,17和11+13+17=41都是質數 (1)證明:“奇妙數組”的“階數”最大值為4; (2)對于“階數”為4的“奇妙數組”,求這4個質數的乘積的最小值 【分析與解】 (1)假設a、b、c、d、e能組成一個5階“奇妙數組”,那么a、b、c、d一定可以組成一個四階“奇妙數組”,考慮除以3的余數情況,不能存在3的數它們除以3的余數相同,并且驗證只能是1,1,2,2則e除以3不管是余0,1,2都能在這五個數中找到三個數,它們的和是3的倍數,且大于3,所以無法組成5階“奇妙數組”但是如97,73,4l,53滿足(它們的三個數和依次為167,191,223,2ll均是質數)所以存在最大的4階“奇妙數組” (2)寫出所有除以3余1的質數:7,13,19,31,37,43,61,67,73,79,97; 寫出所有除以3余2的質數:(2,5),11,17,23,29,41,47,53,59,71,83,89 很容易知道2是不能含有,不然其他兩個奇質數與2的和為大于2的偶數,顯然不是質數,5也很容易驗證不滿足; 有7,13,11,23滿足(和依次為47,4l,43,31)它們的乘積為7131123=230

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