第29講 數論綜合4內容概述主要是“小升初”綜合素質測試中較難的數論問題1任意選取9個連續的正整數，即它們的乘積為P，最小公倍數為Q我們知道，P除以Q所得到的商必定是自然數，那么這個商的最大可能值是多少? 【分析與解】 將9個連續的正整數作因式分解，如果某個質數是其中至少兩個分解式的因子，那么次數最高的那個方冪會包含在最小公倍數Q中，而其他方冪的乘積則出現在P除以Q的商中顯然這樣的質數必定小于9，只可能是2，3，5或7 記PQ=R，則R的質因數必定取自2，3，5，7 兩個不同的7的倍數至少相差7，因此在9個連續正整數中，最多有兩個數含有質因數7當有兩個數是7的倍數是，可能它們都不能被77整除，也可能其中一個數是77的倍數，而另一個不是于是R的質因數分解式中7的冪次最高是1 類似的分析，R中最多包含一個質因數5 在9個連續的正整數中，恰有3個數是3的倍數，其中一個數能被9整除，而另一兩個數僅能被3整除，因此R中所包含的質因數3的冪次必定為2 在9個連續的正整數中，最多有5個數是偶數此時，除去含有2的冪次最高的數外，其余的4的數含有質因數2最多的情形是：其中有2個僅為2的倍數，有1個是4的倍數，另一個是8的倍數即R的質因數分解式中2的冪次最多是1+1+2+3=7 綜上所述，R的最大值是273257=40320事實上，對于9個連續正整數560，561，568，P除以Q所得到的商恰是403202老師在黑板上依次寫了三個數21、7、8，現在進行如下的操作，每次將這三個數中的某些數加上2，其他數減去1，試問能否經過若干次這樣的操作后，使得： (1)三個數都變成12？ (2)三個數變成23、15、19？ 【分析與解】 如果兩個數都加上2，那么它們的差不變；如果兩個數都減去1，那么它們的差也不變；如果一個數加上2，一個數減去1，那么它們的差增大或減小3所以，不管怎樣，它們的差增大或減小3的倍數也就是說，不管怎么操作，這兩個數的差除以3的余數是不變的21與7的差除以3的余數為2；21與8的差除以3的余數為1；7與8的差除以3的余數為1（1)三個數都變成12，那么它們的差除以3的余數都是0，顯然與開始給出的三個數之間差的余數有變化，所以不滿足；(2)三個數變成23、15、19，它們之間差除以3的余數依次為：23與15的差除以3的余數為2；23與19的差除以3的余數為1；15與19的差除以3的余數為1也就是說與開始給出的三個數之間差的余數沒變化，所以滿足3對于n個奇質數，如果其中任意奇數個數的和仍是質數，那么稱這些數構成“奇妙數組”，而n就是這個數組的“階數”例如11，13，17就是“奇妙數組”，因為11，13，17和11+13+17=41都是質數 (1)證明：“奇妙數組”的“階數”最大值為4； (2)對于“階數”為4的“奇妙數組”，求這4個質數的乘積的最小值 【分析與解】 (1)假設a、b、c、d、e能組成一個5階“奇妙數組”，那么a、b、c、d一定可以組成一個四階“奇妙數組”，考慮除以3的余數情況，不能存在3的數它們除以3的余數相同，并且驗證只能是1，1，2，2則e除以3不管是余0，1，2都能在這五個數中找到三個數，它們的和是3的倍數，且大于3，所以無法組成5階“奇妙數組”但是如97，73，4l，53滿足(它們的三個數和依次為167，191，223，2ll均是質數)所以存在最大的4階“奇妙數組” (2)寫出所有除以3余1的質數：7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97； 寫出所有除以3余2的質數：(2，5)，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89 很容易知道2是不能含有，不然其他兩個奇質數與2的和為大于2的偶數，顯然不是質數，5也很容易驗證不滿足； 有7，13，11，23滿足(和依次為47，4l，43，31)它們的乘積為7131123=230