第29講 數(shù)論綜合4內(nèi)容概述主要是“小升初”綜合素質(zhì)測試中較難的數(shù)論問題1任意選取9個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，即它們的乘積為P，最小公倍數(shù)為Q我們知道，P除以Q所得到的商必定是自然數(shù)，那么這個(gè)商的最大可能值是多少? 【分析與解】 將9個(gè)連續(xù)的正整數(shù)作因式分解，如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是其中至少兩個(gè)分解式的因子，那么次數(shù)最高的那個(gè)方冪會包含在最小公倍數(shù)Q中，而其他方冪的乘積則出現(xiàn)在P除以Q的商中顯然這樣的質(zhì)數(shù)必定小于9，只可能是2，3，5或7 記PQ=R，則R的質(zhì)因數(shù)必定取自2，3，5，7 兩個(gè)不同的7的倍數(shù)至少相差7，因此在9個(gè)連續(xù)正整數(shù)中，最多有兩個(gè)數(shù)含有質(zhì)因數(shù)7當(dāng)有兩個(gè)數(shù)是7的倍數(shù)是，可能它們都不能被77整除，也可能其中一個(gè)數(shù)是77的倍數(shù)，而另一個(gè)不是于是R的質(zhì)因數(shù)分解式中7的冪次最高是1 類似的分析，R中最多包含一個(gè)質(zhì)因數(shù)5 在9個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中，恰有3個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，其中一個(gè)數(shù)能被9整除，而另一兩個(gè)數(shù)僅能被3整除，因此R中所包含的質(zhì)因數(shù)3的冪次必定為2 在9個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中，最多有5個(gè)數(shù)是偶數(shù)此時(shí)，除去含有2的冪次最高的數(shù)外，其余的4的數(shù)含有質(zhì)因數(shù)2最多的情形是：其中有2個(gè)僅為2的倍數(shù)，有1個(gè)是4的倍數(shù)，另一個(gè)是8的倍數(shù)即R的質(zhì)因數(shù)分解式中2的冪次最多是1+1+2+3=7 綜上所述，R的最大值是273257=40320事實(shí)上，對于9個(gè)連續(xù)正整數(shù)560，561，568，P除以Q所得到的商恰是403202老師在黑板上依次寫了三個(gè)數(shù)21、7、8，現(xiàn)在進(jìn)行如下的操作，每次將這三個(gè)數(shù)中的某些數(shù)加上2，其他數(shù)減去1，試問能否經(jīng)過若干次這樣的操作后，使得： (1)三個(gè)數(shù)都變成12？ (2)三個(gè)數(shù)變成23、15、19？ 【分析與解】 如果兩個(gè)數(shù)都加上2，那么它們的差不變；如果兩個(gè)數(shù)都減去1，那么它們的差也不變；如果一個(gè)數(shù)加上2，一個(gè)數(shù)減去1，那么它們的差增大或減小3所以，不管怎樣，它們的差增大或減小3的倍數(shù)也就是說，不管怎么操作，這兩個(gè)數(shù)的差除以3的余數(shù)是不變的21與7的差除以3的余數(shù)為2；21與8的差除以3的余數(shù)為1；7與8的差除以3的余數(shù)為1（1)三個(gè)數(shù)都變成12，那么它們的差除以3的余數(shù)都是0，顯然與開始給出的三個(gè)數(shù)之間差的余數(shù)有變化，所以不滿足；(2)三個(gè)數(shù)變成23、15、19，它們之間差除以3的余數(shù)依次為：23與15的差除以3的余數(shù)為2；23與19的差除以3的余數(shù)為1；15與19的差除以3的余數(shù)為1也就是說與開始給出的三個(gè)數(shù)之間差的余數(shù)沒變化，所以滿足3對于n個(gè)奇質(zhì)數(shù)，如果其中任意奇數(shù)個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)，那么稱這些數(shù)構(gòu)成“奇妙數(shù)組”，而n就是這個(gè)數(shù)組的“階數(shù)”例如11，13，17就是“奇妙數(shù)組”，因?yàn)?1，13，17和11+13+17=41都是質(zhì)數(shù) (1)證明：“奇妙數(shù)組”的“階數(shù)”最大值為4； (2)對于“階數(shù)”為4的“奇妙數(shù)組”，求這4個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最小值 【分析與解】 (1)假設(shè)a、b、c、d、e能組成一個(gè)5階“奇妙數(shù)組”，那么a、b、c、d一定可以組成一個(gè)四階“奇妙數(shù)組”，考慮除以3的余數(shù)情況，不能存在3的數(shù)它們除以3的余數(shù)相同，并且驗(yàn)證只能是1，1，2，2則e除以3不管是余0，1，2都能在這五個(gè)數(shù)中找到三個(gè)數(shù)，它們的和是3的倍數(shù)，且大于3，所以無法組成5階“奇妙數(shù)組”但是如97，73，4l，53滿足(它們的三個(gè)數(shù)和依次為167，191，223，2ll均是質(zhì)數(shù))所以存在最大的4階“奇妙數(shù)組” (2)寫出所有除以3余1的質(zhì)數(shù)：7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97； 寫出所有除以3余2的質(zhì)數(shù)：(2，5)，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89 很容易知道2是不能含有，不然其他兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)與2的和為大于2的偶數(shù)，顯然不是質(zhì)數(shù)，5也很容易驗(yàn)證不滿足； 有7，13，11，23滿足(和依次為47，4l，43，31)它們的乘積為7131123=230