1 第三章相對論概述 3 1伽利略變換和經典力學時空觀 3 2狹義相對論產生的實驗基礎和歷史條件 3 3狹義相對論基本原理洛侖茲變換 3 4狹義相對論時空觀 3 5狹義相對論動力學 2 概述 19世紀末頁 物理學在各個領域里都取得了很大的成功 在電磁學方面 建立了Maxwell方程 以及力 電 光 聲 等都遵循的規律 能量轉化與守恒定律 當時許多物理學家認為物理學已經發展到頭了 正如1900年英國物理學家開爾文在瞻望20世紀物理學的發展的文章中說到 3 熱輻射實驗 邁克爾遜 莫雷實驗 后來的事實證明 正是這兩朵烏云發展為一埸革命的風暴 烏云落地化為一埸春雨 澆灌著兩朵鮮花 4 普朗克量子力學的誕生 相對論問世 經典力學 量子力學 相對論 微觀領域 高速領域 5 愛因斯坦 Einstein現代時空的創始人 6 相對論是二十世紀物理學最偉大的成就之一 相對論時空觀的建立是人們對物理現象認識上的一個飛躍 相對論對近代物理學的發展 特別是核物理和高能物理的發展起著重大作用 1 愛因斯坦建立起來的相對論包括狹義相對論和廣義相對論 狹義相對論局限于慣性參考系的時空理論 即只考慮物質運動對時 空的影響 廣義相對論推廣到一般參考系 加速參照系 和包括引力場在內的理論 此時時 空還受到物質分布的影響 7 2 相對性和不變性 相對論涉及到兩個似乎對立的概念 相對性和不變性 相對性 是指觀測的相對性 對于一個給定的現象 由于觀測者不同而不同 不變性 是指一致的部分 對現象觀測 有一些方面或一些規律對不同的觀測者都是一樣的 也叫絕對性 如E P 維格納所說 我要說愛因斯坦最大的貢獻 這一點沒有得到充分強調 即指出了不變性 什么是不變性 最重要的不變性 愛因斯坦所認識的不變性 是容易描述的 即首要的是自然定律到處都一樣 8 宇 彌異所也 久 彌異時也 墨子 墨經 宇 是空間的總稱 久 是時間的總稱 彌 是普遍的意思 前句是 空間是不同地點的總稱 后句 時間是不同時刻的總稱 即 空間源于物體的廣延性 時間源于過程的持續性 3 愛因斯坦之前關于時空問題的一般認識 我國古代對于時空的認識 牛頓的時空觀 9 伽里略變換 10變換的概念 一個事件在相對論中是 個時空點 同一事件的坐標從一個坐標系變換到另一個坐標系 叫做坐標變換 聯系這兩組坐標的方程 叫做坐標變換方程 這組方程就叫做坐標變換方程 10 20伽里略坐標 時空 變換 設有兩坐標軸彼此平行的慣性系 S和S 系 開始計時時 兩坐標系原點重合 S 系相對于S系沿X軸以速度u勻速運動 則一個事件P 在S 系中記為 X Y Z t 在S系中的記為 X Y Z t 由S S系有 由S S 系有 11 牛頓的絕對時空觀 10時間間隔與參照系的運動無關即 同時性是絕對的 即在某慣性系同時發生的事件 無論是否在同一地點 在另一慣性系中也認為是同時的 20空間間隔與參照系的運動無關 即 30存在絕對參照系 空間間隔是絕對的 物體在空間中的坐標與參照系的選擇有關 即x x ut 是相對的 相對性 但其相對于絕對靜止參照系的位置是絕對的 12 伽里略速度變換 S S系 S S 系 因為t t 故對伽里略時 空變換 兩邊可同時求導 13 力學相對性原理 10加速度對伽里略變換不變 20牛頓定律對伽里略變換不變 力學相對性原理 在牛頓力學中 物體質量與其運動狀態無關 m m 物體間的相互作用與參照系的選擇無關 F F 因兩參考系彼此作勻速直線運動 14 故只要在S系中有 任何慣性系中牛頓力學規律都是相同的 或者說從牛頓力學來看 任何慣性系都是平等的 沒有那個慣性系更為優越 這就是力學相對性原理 則在S 系也一定有 成立 成立 即用力學的方法無法尋找絕對靜止參照系 但其也沒有否定絕對靜止系的存在 力學相對性原理說明 無法用力學實驗的方法來確定所在慣性系相對于另一慣性系是作勻速直線運動還是相對靜止 15 3 1伽利略變換和經典力學時空觀 3 1 1伽利略變換經典力學時空觀 圖3 1坐標變換 在同一時刻 同一物體的坐標從一個坐標系變換到另一個坐標系 叫做坐標變換 聯系這兩組坐標的方程 叫做坐標變換方程 設兩個相對作勻速直線運動的參考系S和S 參考系S 比如一節火車車廂 相對參考系S 比如地面 沿共同的x x 軸正方向作速度為u的勻速直線運動 圖3 1 設時間t t 0時 兩坐標系的原點O與O 重合 某一空 時點P的坐標變換方程是 或 16 3 1 叫做伽利略坐標變換方程 3 1 2伽利略相對性原理 伽利略描述的種種現象表明 一切彼此作勻速直線運動的慣性系 對描述運動的力學規律來說是完全相同的 在一個慣性系內所作的任何力學實驗都不能確定這一個慣性系是靜止狀態 還是在作勻速直線運動狀態 或者說力學規律對一切慣性系都是等價的 這就是力學的相對性原理 也稱伽利略相對性原理 或經典相對性原理 把式 3 1 對時間t求導一次 得 這就是S和S 系之間的速度變換法則 叫伽利略速度變換法則 或稱經典速度相加定理 17 1 以太理論的提出 人們在研究機械波 例如聲波 的傳播過程 發現機械波的傳播必須有彈性媒質 當時的物理學家認為可以用這個框架來解釋一切波動現象 19世紀中期麥克斯韋建立的電磁場理論指出光是電磁波 并提出光是在以太中傳播的假說 以太假說的主要內容是 以太是傳播包括光波在內的電磁波的彈性媒質 它充満整個宇宙空間 以太中帶電粒子振動會引起以太變形 這種變形以彈性波的形式傳播 這就是電磁波 并且進一步認為以太就是人們一直在尋找的絕對靜止參考系 只有在這個參考系中光速才是與方向無關的恒量 3 2狹義相對論產生的實驗基礎和歷史條件 18 2 光速的困惑 狹義相對論建立以前 人們認為任何速度的疊加都滿足伽里略變換 但在光速領域里卻碰到了困難 如前所說 以太就是絕對空間 以太中電磁波沿各方向傳播的速度都等于恒量c 但在相對以太運動的慣性系中 按伽利略變換 電磁波沿各方向傳播的速度并不等于恒量c 如下圖中相對于光源運動的小車上所測得的光速 19 說明在高速領域伽里略速度變換碰到了困難 下面舉一個天文上的例子 1731年英國的一位天文學愛好者在南方夜空的金牛座上發現了 蟹狀星云 后來的觀察表明 這只 螃蟹 在膨脹 膨脹速率為每年0 21 到了1920年 它的半徑達到180 推算起來 其膨脹開始的時刻應在180 860年之前 即應在1060年左右 人們相信 蟹狀星云應是900多年前一次超新星爆發中拋出的氣體殼層 這一點在我國史籍里得到了證實 宋會要 記載 嘉佑元年三月 司天監言 客星沒 客去之兆也 初 至和元年五月 晨出東方 守天關 晝見如太白 芒角四出 色赤白 凡見二十三日 20 其意是說 超新星 客星 最初出現于公元1054年 北宋至和元年 位置在金牛座 天關附近 白晝看起來賽過金星 歷時23天 往后慢慢暗下來 直到1056年終嘉佑元年這位 客人 才隱沒 就是說 這次超新星爆發從1054年至1056年有兩年的時間 但是 這個事實卻無法用伽里略變換來說明 設拋射物質的速度u 1500km s 超新星距地球 5000光年 則按伽里略變換 向著地球拋射物質的光線到達地球的時間為t1 c u 21 但當時的人們并不這樣認為 他們認為不是伽里略變換不對 而是麥克斯韋方程組不服從伽里略變換 它只能在相對于以太靜止的慣性系里才能成立 于是人們致力于尋找這個絕對靜止參考系 而垂直于地球拋射物質的光線到達地球的時間為t2 u 這兩個時間之差 t t1 t2即應是地球上可觀察該次超新星爆發的時間 將有關數據代入以上兩式 得 t 25年 但實際只觀察到兩年 這說明伽里略變換在這里不適用 22 3 邁克耳遜 莫雷的實驗分析 1 使干涉儀的 臂沿著地球軌道運動速度u方向 地球相對以太速度為u 從G1到M1光束的速度為v c u 從M1到G1光束的速度為v c u 故光從G1點經M1返回的時間為t1 23 2 設光束從G1經M2反射回G1共需時間為t2 對上式整理得 光相對地面的速度為V 根據經典相對速度公式 u v c u M2 G1 24 則光束 1 與 2 的時間差為 如果把整個裝置轉動90 即使光束 2 與u平行 光束的時間差為 3 干涉儀轉動前后 光通過兩臂時間差的改變量為 考慮u c是小量 利用近似公式 25 4 那么轉動過程中條紋移動數 邁克耳遜與莫雷在1887年的實驗中 使臂長L 11m 所用光波長 5 9 10 7m 如果取u 3 0 104m s 為地球繞太陽公轉的速度 預期 N 0 37條 這就是說 原來是干涉亮紋的地方 現在基本上是干涉暗紋 完全可以觀察出來 但多次反復實驗都觀察不到條紋的移動 實驗觀測值小于0 01條 26 有一部分人不相信實驗的真實性 繼續改進實驗設備做實驗 而且春天做了夏天做 秋天做了冬天做 平地做了高山做 實驗精度越來越高 能做實驗的人越來越多 乃至幾乎每個大學都能做 但結果仍然一樣 地球上的光速與地球速度無關 洛侖茲等人提出 可能是地球拖著 以太 一道運動 地球與以太之間沒有相對運動了 當然測不出速度的差別 但是這一想法又被天文上的 光行差實驗 所否定 光行差實驗 否定地球拖著 以太 運動 27 還有不少解釋 但總有矛盾的地方 這樣一來物理學面臨著一場危機 對于經典物理的大廈 人們想扶起東墻卻倒了西墻 想扶起西墻卻倒了東墻 愛因斯坦則拋棄以太 即否定絕對靜止參考系的存在 建立相對論 并提出了全新的時 空觀 為什么會產生這樣的現象呢 因為人們受著傳統思想的束縛 仍抱著牛頓的時空觀不放 抱著伽利略坐標變換不放 在這種情況下就看誰能沖破傳統思想的束縛 就能在大量的實驗事實面前創建新的理論 28 3 3 1狹義相對論的兩條基本原理 到1900年 任何實驗都沒觀察到以太的存在 因此 愛因斯坦認為以太根本就不存在 電磁場不是在媒質中傳播的狀態 而是物質存在的一種基本形態 在任何慣性系 電磁理論的基本定律 麥克斯韋方程組 應具有相同的數學形式 不過伽里略變換與舊的時空觀必須拋棄 愛因斯坦提出了兩個基本假設 1 相對性原理 所有物理定律在一切慣性系中都具有相同的形式 或者說所有慣性系都是平權的 在它們之中所有物理規律都一樣 2 光速不變原理 所有慣性系中測量到的真空中光速沿各方向都等于c 與光源和觀察者的運動狀態無關 3 3狹義相對論基本原理洛侖茲變換 29 那么 什么樣的變換能保證所有的物理規律對這種變換都具有不變的形式呢 什么樣的變換能保證在所有慣性系中光速不變呢 30 3 3 2洛侖茲變換 事件一個事件是空間和時間的一個點 通常是指某一特定時間里某一特定地點出現或發生的 令S 系相對于S系以速度u沿X軸作勻速直線運動 且在S 系與S系原點重合時開始計時 根據愛因斯坦的兩個基本原理 找出同一事件P在兩個慣性系S和S 中的空間和時間坐標 x y z t 和 x y z t 之間的關系 31 初始時刻 t0 t0 0時 原點發出一光信號 經一段時間后 光信號達到P點 根據光速不變原理 光的波陣面分別為 S x2 y2 z2 c2t2 S x 2 y 2 z 2 c2t 2 32 考察O點 S中觀測 任何時刻tx 0 x k x ut k 常數 k 0 考察任一點P 這樣的兩個量之間的關系可能具有這樣的形式 S 中觀測 t 時刻x ut 由于參照系間的變換是因相對運動而引起 而在Y Z方向 S和S系間無相對運動 故有 即x ut 0 上述表明 對同一空間點O 有x 0 x ut 0 33 由于現在的時空依然是各向均勻 即只限于歐幾里德時空 根據相對性原理 變換式只能是線性的 即只能取x k x ut 上述表明 對同一空間點O 點 x 0 x ut 0 同樣地考察O 點 S 中觀測 任何時刻t x 0 S中觀測 t時刻x ut x ut 0 34 x k x ut k 常數 考察任一點P 這樣的兩個量之間的關系可能具有這樣的形式 由于參照系間的變換是因相對運動而引起 而在Y Z方向 S和S系間無相對運動 故有 根據愛因斯坦相對性原理和時空均勻性 兩個慣性系是等價的 這就要求它們之間的關系必須是線性的 于是只能取x k x ut x k x ut 35 確定系數K 根據相對性原理 考慮一種簡單情況 觀察點 就在x軸上 根據光速不變原理則x ct x ct 由此求得 上述中 除了把u改為 u外 上面表達式應有相同的數學形式 必須有k k 即x k x ut x k x ut 于是c2tt k2 ct ut ct ut k2tt c u c u 兩邊對應相乘xx k2 x ut x ut 36 代入之 由x k x ut x k x ut 得 上兩式消去x 或x 便得到關于時間的變換式 37 由S S系 由S S 系 38 若令 則以上兩變換式又可表述為 由S S系 由S S 系 39 若令 則以上兩變換式又可表述為 由S S系 由S S 系 40 3 3 3洛侖茲變換式的推導 1 L變換是愛因斯坦狹義相對論時空觀的數學表達式 各個慣性系中的時間 空間量度的基準必須一致 2 L變換說明了 時空是物質的一種基本屬性 時 空不再分離 而是統一的整體 與物質的運動相關 在相對論的時 空觀中 不存在空無一物的時 空點 在統一四維時空中的一個時 空點對應著一個具體的事件 3 物質運動的極限速度為真空中的光速度c 41 4 L變換是比G變換更具普遍意義的變換 當u C時 當u c時 L變換確實回到G變換 故知滿足G變換的牛頓定律 只能在低速范圍內成立 而要想保證所有的物理規律在所有的慣性系中保持不變 只有L變換才能完成 42 3 3 4洛侖茲速度變換 伽里略變換為 其不能保證光速不變 而洛侖茲速度變換則可以保證光速不變 對其求微分 得 設S 系中有質點A以的速度勻速運動 且在t 時刻 其坐標為 t x y z S系測得A質點的時空坐標為 t x y z 則由L變換有 43 44 由S S系 由S S 系 與G變換不同處 在L變換中 x 方向的運動對y z方向的運動有影響 而G變換中不存在這個問題 式中u是S 系相對于S系沿x軸的相對速度 45 L速度變換能保證光速不變 設S 系的A質點就是光子 且其沿x軸運動 即 即在S系測得A光子的速度也是C 由L變換 得 即使光子沿y軸運動 在S系中其合速度依然為C 46 但這時光子運動方向不是沿y軸 而是與y軸成 角 且 47 例3 1有一輛火車以速度u相對地面作勻速直線運動 在火車上向前和向后射出兩道光 求光相對地面的速度 解以地面為S系 火車為S 系 則光相對車向前的速度為v c 向后的速度v c代入式 3 11 則得 光向前的速度 光向后的速度 這正是光速不變原理所要求的 48 例3 2設有兩個火箭A B相向運動 在地面測得A B的速度沿x軸正方向各為vA 0 9c vB 0 9c 試求它們相對運動的速度 解設地球為參考系S 火箭A為參考系S A沿x軸的正方向運動 x與x 軸同向 則 B相對A的運動速度 就是以A為參考系S 中測得B的速度 現已知B在S系中的速度 代入式 3 10 49 這就是B相對A的速度 同樣可得A相對B的速度 洛侖茲速度變換表明 兩個小于光速的速度合成小于光速 兩個速度中有一個等于光速 或兩個速度都等于光速 合成速度等于光速 這樣 普遍結論是 通過速度變換 在任何慣性系中物體的運動速度都不可能超過光速 也就是說 光速是物體運動的極限速度 50 3 4 1同時的相對性 1 同時 的定義 這就是用光前進的路程來測量時間 而這樣定義的理由就是光速不變 這樣的定義適用于一切慣性系 光速相對于所有慣性系中的觀測者以不變的速率傳播 其驚人的結果是 時間一定是相對的 設A B兩處發生兩個事件 在事件發生的同時 發出兩光信號 若在A B的中心點同時收到兩光信號 則A B兩事件是同時發生的 3 4狹義相對論的時空觀 51 2 愛因斯坦理想的 火車對鐘實驗 設有一列火車相對于站臺以勻速向右運動 站臺上的觀測者測得當列車的首尾兩點與站臺上的A B兩點重合時 站臺上的A B兩點同時發出一個閃光 所謂 同時 就是兩閃光同時傳到站臺上的中心點C 但對于列車來說 由于它向右行駛 車上的中點C 先接到來自車頭方 即站臺上的A點 的閃光 后接到來自車尾方 即站臺的B點 的閃光 于是對于列車上的觀察者C 來說 A點的閃光早于B點 就是說 對于站臺參照系是同時的事件 對于列車參照系就不是同時的 即事件的同時性是相對的 52 在一個慣性系中的兩個異地同時發生的事件 在另一個慣性系中觀測一定不是同時發生的 這是時空均勻性和光速不變原理的一個直接結果 那么 以前人們為什么會忽視這一點呢 關鍵在于人們談論時間問題時 實際上談的是脫離物質存在的純數學的 抽象的時間 即畫在頭腦中的是時間軸 因而認為無須定義 同時在人們頭腦中還隱含著信息傳遞的速度可以是無限大的 只要承認時間是不能脫離物質而單獨存在 任何信息的傳遞速度都是有限的 同時又假定光速不變 那么愛因斯坦關于同時性的定義問題的提出就是必然的 53 3 由洛侖茲變換證明 設在S 系中A B 兩地有兩事件同時發生 即tA tB 則在S系中 有 說明 若xA xB 則有tA tB即在某慣性系中同一地點同時發生事件 在其他慣性系測量 也是同時發生的 若xA xB 則tA tB 即在某慣性系不同地點同時發生的事件 在其他慣性系中測量就不是同時發生的 54 3 4 2長度的相對性 1 測量動作的同時性問題 一汽車相對于公路以速度u運動錯誤地測量車長是 2 本征長度與 動尺縮短 靜置于S 系中的直棒 由S 系的觀察者測量得棒長 x1 x2 55 S系的觀察者測得運動棒的長度 由洛侖茲變換有 因S系的觀察者測量時 必須有t1 t2 測量才有意義 故 56 l l0 說明處于運動狀態的物體 其在運動方向上的長度縮短了 這種效應是相對的 且這種效應僅發生在運動方向上 在其他方向上沒有這種效應 即只有 式中l0是相對于物體靜止的觀察者測得的物體的長度 我們稱之為物體的本征長度 或稱固有長度 如果把運動的長棒本身看成參照系 則 動尺縮短 效應 說明空間是物質的屬性 空間的性質與物質的運動狀況有關 在其他方向上依然是 y y0 z z0 57 之所以會出現這種 動尺縮短效應 關鍵仍然是光速不變引起的同時的相對性問題 因為在S 中看 S系的測量動作不是同時的 故有 雖有t1 t2但 58 長度收縮是測量的結果 不要誤會為是某人眼睛看到的結果 因為同時達到觀測者眼睛的光是與眼睛距離不同的各點在不同時刻發出的光 59 3 4 3時間間隔的相對性 在S系中 這兩事件的時空坐標分別是 x1 t1 x2 t2 顯然x1 x2 t1和t2是S系中兩個同步時鐘 兩校準的鐘 上的讀數 設靜止在S 系中的觀察者記錄到發生在S 系中某固定點X 一個事件持續時間 例如一個火炬燃燒的時間 這個時間即為本征時間 即相對于事件為靜止的觀察者所記錄的時間 60 1 1 0 表示時間膨脹了 或說明運動著的 鐘 要比靜止的 鐘 慢些 簡稱 動鐘變慢 1 有時稱它為時間延緩因子 這種效應是相對的 根據洛侖茲變換 2 對于一個物理過程 在某慣性系中發生在同一地點 相對靜止的慣性系中測量到的過程時間間隔 稱為該過程的固有時間 61 3 時間膨脹效應是一種普遍的時空屬性 物質的時間屬性與其運動狀態有關 而與過程的具體性質和作用機制無關 4 所謂 鐘 在物理上講 可用任何一個真實事件所經歷的時間間隔來度量時間的事件 因此 動鐘變慢 說的是相對于觀察者為運動的物理事件 其發展演化的進程將會變慢 動鐘變慢 也是物質的一種時間屬性 62 例3 3在實驗室測量以0 9100C飛行的介子經過的直線路徑是17 135m 介子的固有壽命是 2 063 0 002 s 試從時間膨脹效應和長度收縮效應說明實驗結果與相對論理論的符合程度 解從時間膨脹效應說明如下 相對實驗室飛行的介子 根據飛行路徑長度算出它的壽命 運動時 為 時間延緩因子 由式 3 14 求出介子固有壽命的相對論理論預言值為 63 可見理論值與實驗值相差0 001 s 且在實驗誤差范圍內 64 例3 4一靜止長度為l0的火箭以恒定速度u相對參照系S運動 如圖3 10 從火箭頭部A發出一光信號 問光信號從A到火箭尾部B需經多長時間 1 對火箭上的觀測者 2 對S系中的觀測者 圖3 10相對S系飛行的火箭 解 1 以火箭為參考系 A到B的距離等于火箭的靜止長度 所需時間為 2 對S系中的觀測者 測得火箭的長度為 光信號也是以c傳播 設從A到B的時間為t 在此時間內火箭的尾部B向前推進了ut的距離 所以有 解得 65 3 5 1動量 質量與速度的關系 在S 系中有兩個全同粒子A B 分別沿X 軸以相對于S 系速度為u和 u相向運動并發生完全非彈性碰撞形成一復合粒子 在S 系中 運用動量守恒有 V 0即復合粒子相對于S 系靜止 3 5狹義相對論動力學 66 在S系中 碰前兩粒子的速度為 碰后復合粒子的速度為 即隨S 系的牽連運動而具有u 這一過程在S系同樣遵從動量守恒 即 將以上結果代入并整理得 67 為了進一步討論質量與運動狀態的關系 將牽連速度u換算為A質點的速度vA的函數 即求u f vA 將 2 式代入 1 右邊 并整理得 68 由于碰前mB相對于S系是靜止的 故稱為靜止質量 記作mB0 又由于在S 系中A B是全同粒子 若A球也相對于S系靜止 則應有mA0 mB0 所以有 寫成通式為 69 1901年 相對論出現以前 考夫曼在研究 射線 電子束 的荷質比e m的實驗中發現荷質比與電子的速度有關 在力學中曾證明過 兩全同粒子非對心完全彈性散射 其中一個靜止 碰后兩粒子末速互成900 查平于1932年在實驗中發現兩電子彈性散射 末速相互小于900 而該結果洽與能量守恒和相