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第二章 傅立葉變換分析方法1 引言系統(或信號)時域描述: 線性差分方程, 單位脈沖響應.頻域描述: 傅立葉變換, Z變換.=時域特征 頻域特征 濾波器頻域特征 濾波后信號2 序列的傅立葉變換1. 定義: ;稱為的傅立葉變換, 也稱頻譜函數.簡記 =FTx(n); 注意1當定時,是n的序列,注意2 結果是的連續函數.2. 的FT存在 ;3. 傅立葉反變換:.簡記 x(n)=IFT.4. 的幅頻, 相頻表示:例1 求的FT.解 , 例2 求的傅立葉變換.解 對任給一個, 有 當N=4時, 有當時的各點, 見右圖.其值意義為:原序列在各數字頻率上的分量.由于當時, 序列變化最劇烈,即數字頻率最高值為.cos(npi)圖: n=-3 -2 -1 0 1 2 3 4; stem(n,cos(n*pi);X(ejw)的程序計算說明: 對每個w有對各個有: %X(ejw)的作圖xn=1 1 1 1; n=0:3;k=0:100; w=pi/50*k;xw=xn*(exp(-j*pi/50).(n*k);magx=abs(xw);magx2=magx,magx; w2=w-2*pi,w,; %拼成2piangx=angle(xw); angx2=angx,angx;%X(ejw)的幅頻圖subplot(2,1,1);plot(w2,magx2);%X(ejw)的相頻圖subplot(2,1,2);plot(w2,angx2); %也可直接作出Xw=0:2*pi/100:2*pi;plot(w,abs(sin(2*w)./sin(w/2);Warning: Divide by zero.3 序列的傅立葉變換性質1. 周期性 (關于w)2. 線性性設, ,則.().證 按定義即得.3. 時移,頻移 設, 則;.證 由定義得(i) .(ii) .例1 求的FT.解 .4. 共軛對稱(1) 時域上對稱(關于n)(0) 稱是對稱序列: 若(i) 稱是共軛對稱序列: 若(ii) 稱是共軛反對稱序列: 若(2) 頻域上對稱(關于w)(i)稱是共軛對稱函數: 若;(ii)稱是共軛反對稱函數若;例2 分析的對稱性.解 因, 故共軛對稱.共軛對稱序列的虛實分解: 實部偶+j虛部奇;由,得.共軛反對稱序列的虛實分解: 實部奇+j虛部偶例3 分析對稱性.解 = 共軛反對稱, 實部奇, 虛部偶.(3) 實的FT為共軛對稱(主要)設, 則(易得, 對純的FT為共軛反對稱) (4) 復序列的FT性質(介紹)設 作FT得時域中虛實分解=頻域中共軛對稱與反對稱分解5. 時域卷積 (=頻域乘積)前有 , 現有 令，得6. (時域乘積=)頻域卷積設, 則有即 .7. 帕斯維爾(Parseval)(時頻能量守恒).證 設 及,則有 .令,得.部分性質匯總在表2

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