1 物體置于光滑的斜面上，當斜面固定時，物體沿斜面下滑的加速度為，斜面對物體的彈力為。斜面不固定，且地面也光滑時，物體下滑的加速度為，斜面對物體的彈力為，則下列關系正確的是：A. B. C. D. 當斜面可動時，對物體來說是相對斜面這個加速參考系在作加速運動，而且物體和參考系的運動方向不在同一條直線上，利用常規(guī)的方法難于判斷，但是利用矢量三角形法則能輕松獲解。如圖4所示，由于重力的大小和方向是確定不變的，斜面彈力的方向也是惟一的，由共點力合成的三角形法則，斜面固定時，加速度方向沿斜面向下，作出的矢量圖如實線所示，當斜面也運動時，物體并不沿平行于斜面方向運動，相對于地面的實際運動方向如虛線所示。所以正確選項為B。2 如圖1.05所示，在水平地面上有一輛運動的平板小車，車上固定一個盛水的杯子，杯子的直徑為R。當小車作勻加速運動時，水面呈如圖所示狀態(tài)，左右液面的高度差為h，則小車的加速度方向指向如何？加速度的大小為多少？圖1.05 我們由圖可以看出物體運動情況，根據杯中水的形狀，可以構建這樣的一個模型，一個物塊放在光滑的斜面上（傾角為），重力和斜面的支持力的合力提供物塊沿水平方向上的加速度，其加速度為：。我們取杯中水面上的一滴水為研究對象，水滴受力情況如同斜面上的物塊。由題意可得，取杯中水面上的一滴水為研究對象，它相對靜止在“斜面”上，可以得出其加速度為，而，得，方向水平向右。3 如圖1.06所示，質量為M的木板放在傾角為的光滑斜面上，質量為m的人在木板上跑，假如腳與板接觸處不打滑。（1）要保持木板相對斜面靜止，人應以多大的加速度朝什么方向跑動？（2）要保持人相對于斜面的位置不變，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向運動？圖1.06 答案：（1）要保持木板相對斜面靜止，木板要受到沿斜面向上的摩擦力與木板的下滑力平衡，即，根據作用力與反作用力人受到木板對他沿斜面向下的摩擦力，所以人受到的合力為：方向沿斜面向下。（2）要保持人相對于斜面的位置不變，對人有，F為人受到的摩擦力且沿斜面向上，根據作用力與反作用力等值反向的特點判斷木板受到沿斜面向下的摩擦力，大小為所以木板受到的合力為：方向沿斜面向下。四、掛件模型1 圖1.07中重物的質量為m，輕細線AO和BO的A、B端是固定的。平衡時AO是水平的，BO與水平面的夾角為。AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（ ）A. B. C. D. 圖1.07 解析：以“結點”O(jiān)為研究對象，沿水平、豎直方向建立坐標系，在水平方向有豎直方向有聯(lián)立求解得BD正確。2 物體A質量為，用兩根輕繩B、C連接到豎直墻上，在物體A上加一恒力F，若圖1.08中力F、輕繩AB與水平線夾角均為，要使兩繩都能繃直，求恒力F的大小。圖1.08 解析：要使兩繩都能繃直，必須，再利用正交分解法作數學討論。作出A的受力分析圖3，由正交分解法的平衡條件：圖3解得兩繩都繃直，必須由以上解得F有最大值，解得F有最小值，所以F的取值為。3 如圖1.09所示，AB、AC為不可伸長的輕繩，小球質量為m=0.4kg。當小車靜止時，AC水平，AB與豎直方向夾角為=37，試求小車分別以下列加速度向右勻加速運動時，兩繩上的張力FAC、FAB分別為多少。取g=10m/s2。（1）；（2）。圖1.09 解析：設繩AC水平且拉力剛好為零時，臨界加速度為根據牛頓第二定律聯(lián)立兩式并代入數據得當，此時AC繩伸直且有拉力。根據牛頓第二定律；，聯(lián)立兩式并代入數據得當，此時AC繩不能伸直，。AB繩與豎直方向夾角，據牛頓第二定律，。聯(lián)立兩式并代入數據得。4 兩個相同的小球A和B，質量均為m，用長度相同的兩根細線把A、B兩球懸掛在水平天花板上的同一點O，并用長度相同的細線連接A、B兩小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此時三根細線均處于直線狀態(tài)，且OB細線恰好處于豎直方向，如圖1所示，如果不考慮小球的大小，兩球均處于靜止狀態(tài)，則力F的大小為（ ）A. 0B. mgC. D. 圖1.10 答案：C5 如圖1.11甲所示，一根輕繩上端固定在O點，下端拴一個重為G的鋼球A，球處于靜止狀態(tài)。現對球施加一個方向向右的外力F，使球緩慢偏移，在移動中的每一刻，都可以認為球處于平衡狀態(tài)，如果外力F方向始終水平，最大值為2G，試求：（1）輕繩張力FT的大小取值范圍；（2）在乙圖中畫出輕繩張力與cos的關系圖象。圖1.11 答案：（1）當水平拉力F=0時，輕繩處于豎直位置時，繩子張力最小當水平拉力F=2G時，繩子張力最大：因此輕繩的張力范圍是：（2）設在某位置球處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得所以即，得圖象如圖7。圖7 6 如圖1.12所示，斜面與水平面間的夾角，物體A和B的質量分別為、。兩者之間用質量可以不計的細繩相連。求：（1）如A和B對斜面的動摩擦因數分別為，時，兩物體的加速度各為多大？繩的張力為多少？（2）如果把A和B位置互換，兩個物體的加速度及繩的張力各是多少？（3）如果斜面為光滑時，則兩個物體的加速度及繩的張力又各是多少？圖1.12 解析：（1）設繩子的張力為，物體A和B沿斜面下滑的加速度分別為和，根據牛頓第二定律：對A有對B有設，即假設繩子沒有張力，聯(lián)立求解得，因，故說明物體B運動比物體A的運動快，繩松弛，所以的假設成立。故有因而實際不符，則A靜止。（2）如B與A互換則，即B物運動得比A物快，所以A、B之間有拉力且共速，用整體法代入數據求出，用隔離法對B：代入數據求出（3）如斜面光滑摩擦不計，則A和B沿斜面的加速度均為兩物間無作用力。7 如圖1.13所示，固定在小車上的支架的斜桿與豎直桿的夾角為、在斜桿下端固定有質量為m的小球，下列關于桿對球的作用力F的判斷中，正確的是（ ） A. 小車靜止時，方向沿桿向上B. 小車靜止時，方向垂直桿向上C. 小車向右以加速度a運動時，一定有D. 小車向左以加速度a運動時，方向 斜向左上方，與豎直方向的夾角為 圖1.13解析：小車靜止時，由物體的平衡條件知桿對球的作用力方向豎直向上，且大小等于球的重力mg。小車向右以加速度a運動，設小球受桿的作用力方向與豎直方向的夾角為，如圖4所示，根據牛頓第二定律有：，兩式相除得：。圖4只有當球的加速度且向右時，桿對球的作用力才沿桿的方向，此時才有。小車向左以加速度a運動，根據牛頓第二定律知小球所受重力mg和桿對球的作用力F的合力大小為ma，方向水平向左。根據力的合成知，方向斜向左上方，與豎直方向的夾角為：8 如圖1.14所示，在動力小車上固定一直角硬桿ABC，分別系在水平直桿AB兩端的輕彈簧和細線將小球P懸吊起來。輕彈簧的勁度系數為k，小球P的質量為m，當小車沿水平地面以加速度a向右運動而達到穩(wěn)定狀態(tài)時，輕彈簧保持豎直，而細線與桿的豎直部分的夾角為，試求此時彈簧的形變量。圖1.14 答案：，討論：若則彈簧伸長若則彈簧伸長若則彈簧壓縮五、彈簧模型（動力學）1 如圖1.15所示，四個完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：中彈簧的左端固定在墻上。中彈簧的左端受大小也為F的拉力作用。中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動。中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動。若認為彈簧的質量都為零，以l1、l2、l3、l4依次表示四個彈簧的伸長量，則有（ ） 圖1.15 A. B. C. D. 解析：當彈簧處于靜止（或勻速運動）時，彈簧兩端受力大小相等，產生的彈力也相等，用其中任意一端產生的彈力代入胡克定律即可求形變。當彈簧處于加速運動狀態(tài)時，以彈簧為研究對象，由于其質量為零，無論加速度a為多少，仍然可以得到彈簧兩端受力大小相等。由于彈簧彈力與施加在彈簧上的外力F是作用力與反作用的關系，因此，彈簧的彈力也處處相等，與靜止情況沒有區(qū)別。在題目所述四種情況中，由于彈簧的右端受到大小皆為F的拉力作用，且彈簧質量都為零，根據作用力與反作用力關系，彈簧產生的彈力大小皆為F，又由四個彈簧完全相同，根據胡克定律，它們的伸長量皆相等，所以正確選項為D。2 用如圖1.16所示的裝置可以測量汽車在水平路面上做勻加速直線運動的加速度。該裝置是在矩形箱子的前、后壁上各安裝一個由力敏電阻組成的壓力傳感器。用兩根相同的輕彈簧夾著一個質量為2.0kg的滑塊，滑塊可無摩擦的滑動，兩彈簧的另一端分別壓在傳感器a、b上，其壓力大小可直接從傳感器的液晶顯示屏上讀出。現將裝置沿運動方向固定在汽車上，傳感器b在前，傳感器a在后，汽車靜止時，傳感器a、b的示數均為10N（取）（1）若傳感器a的示數為14N、b的示數為6.0N，求此時汽車的加速度大小和方向。（2）當汽車以怎樣的加速度運動時，傳感器a的示數為零。圖1.16 解析：（1），a1的方向向右或向前。（2）根據題意可知，當左側彈簧彈力時，右側彈簧的彈力代入數據得，方向向左或向后3 如圖1.17所示，一根輕彈簧上端固定在O點，下端系一個鋼球P，球處于靜止狀態(tài)。現對球施加一個方向向右的外力F，吏球緩慢偏移。若外力F方向始終水平，移動中彈簧與豎直方向的夾角且彈簧的伸長量不超過彈性限度，則下面給出彈簧伸長量x與的函數關系圖象中，最接近的是（ ）圖1.17 答案：D1 如圖5.01所示，一路燈距地面的高度為h，身高為的人以速度v勻速行走。（1）試證明人的頭頂的影子作勻速運動；（2）求人影的長度隨時間的變化率。 解：（1）設t=0時刻，人位于路燈的正下方O處，在時刻t，人走到S處，根據題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂的直線與地面的交點M為t時刻人頭頂影子的位置，如圖2所示。OM為人頭頂影子到O點的距離。圖2由幾何關系，有聯(lián)立解得因OM與時間t成正比，故人頭頂的影子作勻速運動。（2）由圖2可知，在時刻t，人影的長度為SM，由幾何關系，有SM=OM-OS，由以上各式得可見影長SM與時間t成正比，所以影長隨時間的變化率。偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝影像機至少應拍地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉的周期為T。解析：設衛(wèi)星周期為T1，那么：又有地球自轉角速度為在衛(wèi)星繞行地球一周的時間T1內，地球轉過的圓心角為那么攝像機轉到赤道正上方時攝下圓周的弧長為由得2 如圖5.04所示，一對雜技演員（都視為質點）乘秋千（秋千繩處于水平位置）從A點由靜止出發(fā)繞O點下擺，當擺到最低點B時，女演員在極短時間內將男演員沿水平方向推出，然后自己剛好能回到高處A。求男演員落地點C與O點的水平距離s。已知男演員質量m1和女演員質量m2之比，秋千的質量不計，擺長為R，C點比O點低5R。圖5.04 解析：設分離前男女演員在秋千最低點B的速度為，由機械能守恒定律，設剛分離時男演員速度的大小為，方向與相同；女演員速度的大小為，方向與相反，由動量守恒，分離后，男演員做平拋運動，設男演員從被推出到落在C點所需的時間為t，根據題給條件，由運動學規(guī)律，根據題給條件，女演員剛好回A點，由機械能守恒定律，已知，由以上各式可得。3 在廣場游玩時，一個小孩將一充有氫氣的氣球用細繩系于一個小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上。已知小石塊的質量為，氣球（含球內氫氣）的質量為，氣球體積為V，空氣密度為（V和均視作不變量），風沿水平方向吹，風速為v。已知風對氣球的作用力（式中k為一已知系數，u為氣球相對空氣的速度）。開始時，小石塊靜止在地面上，如圖5.05所示。（1）若風速v在逐漸增大，小孩擔心氣球會連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會出現這一情況，并說明理由。（2）若細繩突然斷開，已知氣球飛上天空后，在氣球所經過的空間中的風速v保持不變量，求氣球能達到的最大速度的大小。圖5.05 答案：（1）將氣球和小石塊作為一個整體；在豎直方向上，氣球（包括小石塊）受到重力G、浮力F和地面支持力FN的作用，據平衡條件有：由于式中FN是與風速v無關的恒力，而，故氣球連同小石塊不會一起被吹離地面。（2）氣球的運動可分解成水平方向和豎直方向的兩個分運動，達到最大速度時氣球在水平方向做勻速運動，有氣球在豎直方向做勻速運動，有：氣球的最大速度：聯(lián)立求解得：二、滑輪模型1 如圖5.06所示，將一根不可伸長、柔軟的輕繩左、右兩端分別系于A、B兩點上，一物體用動滑輪懸掛在輕繩上，達到平衡時，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端移到C點，待系統(tǒng)達到平衡時，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為；將繩子右端再由C點移到D點，待系統(tǒng)達到平衡時，兩段繩子間的夾角為，繩子張力為，不計摩擦，并且BC為豎直線，則（ ）A. B. C. D. 圖5.06 解析：由于跨過滑輪上繩上各點的張力相同，而它們的合力與重力為一對平衡力，所以從B點移到C點的過程中，通過滑輪的移動，再從C點移到D點，肯定大于，由于豎直方向上必須有，所以。故只有A選項正確。2 如圖5.07所示在車廂中有一條光滑的帶子（質量不計），帶子中放上一個圓柱體，車子靜止時帶子兩邊的夾角ACB=90，若車廂以加速度a=7.5m/s2向左勻加速運動，則帶子的兩邊與車廂頂面夾角分別為多少？圖5.07 解析：設車靜止時AC長為，當小車以向左作勻加速運動時，由于AC、BC之間的類似于“滑輪”，故受到的拉力相等，設為FT，圓柱體所受到的合力為ma，在向左作勻加速，運動中AC長為，BC長為由幾何關系得由牛頓運動定律建立方程：代入數據求得3 如圖5.08所示，細繩繞過兩個定滑輪A和B，在兩端各掛一個重為P的物體，現在A、B的中點C處掛一個重為Q的小球，Qm）的小物體用輕繩連接；跨放在半徑為R的光滑半圓柱體和光滑定滑輪B上，m位于半圓柱體底端C點，半圓柱體頂端A點與滑輪B的連線水平。整個系統(tǒng)從靜止開始運動。設m能到達圓柱體的頂端，試求：（1）m到達圓柱體的頂端A點時，m和M的速度。（2）m到達A點時，對圓柱體的壓力。圖5.10 答案：（1）（2）三、渡河模型1 如圖5.11所示，人用繩子通過定滑輪以不變的速度拉水平面上的物體A，當繩與水平方向成角時，求物體A的速度。圖5.11 解：本題的關鍵是正確地確定物體A的兩個分運動。物體A的運動（即繩的末端的運動）可看作兩個分運動的合成：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短。繩長縮短的速度即等于；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩長，只改變角度的值。這樣就可以將按圖示方向進行分解。所以及實際上就是的兩個分速度，如圖所示，由此可得。2 如圖5.12所示，某人通過一根跨過定滑輪的輕繩提升一個質量為m的重物，開始時人在滑輪的正下方，繩下端A點離滑輪的距離為H。人由靜止拉著繩向右移動，當繩下端到B點位置時，人的速度為v，繩與水平面夾角為。問在這個過程中，人對重物做了多少功？圖5.12解析：人移動時對繩的拉力不是恒力，重物不是做勻速運動也不是做勻變速運動，故無法用求對重物做的功，需從動能定理的角度來分析求解。當繩下端由A點移到B點時，重物上升的高度為：重力做功的數值為：當繩在B點實際水平速度為v時，v可以分解為沿繩斜向下的分速度和繞定滑輪逆時針轉動的分速度，其中沿繩斜向下的分速度和重物上升速度