數學分析數學分析 數學分析數學分析 2 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 數學分析容易嗎 數學分析很難學 理論抽象 邏輯性強 數學分析很重要 數學后續課程的基礎 數學專業考研考博的必考內容 數學分析很簡單 邏輯性強 數學分析數學分析 數學分析數學分析 3 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 數學分析與微積分 高等數學 數學分析 重理論分析 推導 計算 數學專業 微積分 重計算 經濟管理類 高等數學 重計算 內容比微積分含量多 工科 數學分析數學分析 數學分析數學分析 4 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 數學分析學習方法 多做題 多記題 多看書 多總結 數學分析數學分析 數學分析數學分析 5 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 基本要求 作業每次都要做 每周交一次 每章講完 要求大家寫一份學習總結 數學分析數學分析 數學分析數學分析 6 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 實數 數學分析研究的是實數集上定義 的函數 因此我們首先要掌握實數的 基本概念與性質 數學分析數學分析 數學分析數學分析 7 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 五 實數的稠密性 六 實數與數軸上的點一一對應 七 實數的絕對值與三角形不等式 三 實數的四則運算 四 實數的阿基米德性 一 實數的十進制小數表示 二 實數的大小 數學分析數學分析 數學分析數學分析 8 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 記號與術語 N 0 自然數集 包含自然數集 包含 R 實數集實數集 Z 整數集整數集 Q 有理數集有理數集 存在存在 R 負實數集負實數集 任意任意 R 正實數集正實數集 N 正整數集正整數集 數學分析數學分析 數學分析數學分析 9 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 任何一個實數都可以用十進制小數表示任何一個實數都可以用十進制小數表示 若若 012 R n xxa a aa 則 則 012 R n xxa a aa 則 則 2 1 9 2 1 0 N 0 naa n 其中其中 2 有限小數有限小數 k aaaax 210 0 k a其中其中又可表示為又可表示為 99 1 1210 kk aaaaax 9 1 1210 kk aaaaa 一 實數的十進制小數表示 數學分析數學分析 數學分析數學分析 10 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 若實數都用無限小數表示 則表達式是唯一的若實數都用無限小數表示 則表達式是唯一的 即即 若若 210 n aaaax 210 n bbbby 2 1 0 nbayx nn 則 用無限小數表示實數 稱為 則 用無限小數表示實數 稱為正規表示正規表示 742851 0 7 1 如 如 Q x x 可用循環十進制小數表示 可用循環十進制小數表示 3 Q Z 0 m x xm nn n 其中 其中 表示有理數集 表示有理數集 數學分析數學分析 數學分析數學分析 11 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1210pkkk aaaaaax 若反之 若反之 0 11 1 Q 1010110 pk kj i ipkjp ij a a xa 則則 n m x 若一般 若一般 1210pkkk aaaaaax 則則 np 其中 其中 4 無理數為無限不循環小數無理數為無限不循環小數 3 1415926 如 如 1010010001 0 x 數學分析數學分析 數學分析數學分析 12 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 二 實數的大小 00 N ababn 或使 或使 11210210 nnnn babbbbaaaa而而 定義定義1 R x y 若 是正規的十進制小數表示 若 是正規的十進制小數表示 規定規定 yxyx 規定 規定 R x y R R xy 0 xy 規定規定 012 n yb b bb 012 n xa a aa 數學分析數學分析 數學分析數學分析 13 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 xy xy xy 實數的大小關系有以下性質實數的大小關系有以下性質 三者必有其中之一成立 且只有其中之一成立三者必有其中之一成立 且只有其中之一成立 2 xyyzxz 若則 若則 即大小關系具有傳遞性即大小關系具有傳遞性 數學分析數學分析 數學分析數學分析 14 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 三 實數的四則運算 實數集實數集 R 對加 減 乘 除 除數不為對加 減 乘 除 除數不為 0 亦是 有理數集 亦是 有理數集 Q 對加 減 乘 除 除數不為對加 減 乘 除 除數不為 0 是 實數的四則運算與大小關系 是 實數的四則運算與大小關系 還滿足還滿足 1 R R x yxyxy 若則 若則 2 22112121 yxyxyyxx 則則 封閉的 封閉的 封閉的 封閉的 數學分析數學分析 數學分析數學分析 15 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 四 實數的阿基米德性 實數具有阿基米德性實數具有阿基米德性 R N a bnnba 使得 使得 理由如下 設理由如下 設 N 0210 kaaaaaa n 101 1 k ka則則 為第一個不為零的正整數 為第一個不為零的正整數 p b 210 n bbbbb 設 設 10 1 kp n令令 10 1 anb k 則則 數學分析數學分析 數學分析數學分析 16 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 例例1 1 0 N bnb n 若則使得 若則使得 1 b n 證證1 a 令由阿基米德性 令由阿基米德性 N 1nnb 使 即 阿基米德阿基米德 Archimedes 287B C 212B C 希臘希臘 數學分析數學分析 數學分析數學分析 17 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 五 實數的稠密性 之間 既有有理與任意兩個不相等的實數之間 既有有理與任意兩個不相等的實數ba 2 數又有無理數 必有另一個之間與任意兩個不相等的實數 數又有無理數 必有另一個之間與任意兩個不相等的實數 1ba 2 ba cc 例如實數 例如實數 證證 1N abn 若 則由例 存在使 若 則由例 存在使 2 11 ab n 數學分析數學分析 數學分析數學分析 18 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 的最大的正整數 是滿足設的最大的正整數 是滿足設a n k k 1 a n k 即 即 是則是則 n k n k2 1 21 b n k n k a 于是 于是 例例2 0 R bababa 則 對若 則 對若 證證 0 baba 設倘若 設倘若 ba則則 矛盾與矛盾與 ba 的無理數 的無理數 1 4 k ab nn 而是與之間而是與之間 ab與之間的有理數與之間的有理數 數學分析數學分析 數學分析數學分析 19 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 六 實數與數軸上的點一一對應 實數集實數集 R與數軸上的點可建立一一對應關系與數軸上的點可建立一一對應關系 1 這種對應關系 粗略地可這樣描述 這種對應關系 粗略地可這樣描述 0 PP設是數軸上的一點 不妨設在 的右邊若在設是數軸上的一點 不妨設在 的右邊若在 0 1 nnan 整數與之間 則 整數與之間 則 1 1 n nPiai把十等分 若點在第 個區間 則 把十等分 若點在第 個區間 則 2 3 n an 類似可得到 類似可得到對應于令點這時對應于令點這時p 012 n aa aa 數學分析數學分析 數學分析數學分析 20 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 反之反之 任何一實數也對應數軸上一點任何一實數也對應數軸上一點 2 實數集與數軸上點的一一對應關系反映了實數的 完備性 我們將在后面有關章節中作進一步討論 實數集與數軸上點的一一對應關系反映了實數的 完備性 我們將在后面有關章節中作進一步討論 數學分析數學分析 數學分析數學分析 21 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 七 實數的絕對值與三角形不等式 2 實數的絕對值性質實數的絕對值性質 0 0 0 1 aaaa時當且僅當時當且僅當 2 aaa 3 hahha hahha 0 0 aa aa a 1aa的絕對值實數定義為 的絕對值實數定義為 數學分析數學分析 數學分析數學分析 22 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 4 bababa 三角形不等式三角形不等式 5 baab 6 0 aa b bb 的證明 的證明 3 三角形不等式三角形不等式 bababa 得由得由 bbbaaa bababa baba 即 即 bbabbaa 又又 baba 即即 數學分析數學分析 數學分析數學分析 24 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 一 有界集 二 確界 三 確界的存在性定理 四 非正常確界 確界原理本質上體現了實數的完備 性 是本章學習的重點與難點 2 數集與確界原理 數學分析數學分析 數學分析數學分析 25 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 記號與術語 U axxaa 點的 鄰域 點的 鄰域 0 Uaxxaa 點的空心鄰域點的空心鄰域 0 Uaxxaa 點的 右鄰域 點的 右鄰域 0 Uaxaxa 點的 左鄰域 點的 左鄰域 UMxxMM 的鄰域 的鄰域 UMxxMM 的鄰域 的鄰域 UMxxMM 的鄰域 的鄰域 max SS數集的最大值數集的最大值 min SS數集 的最小值數集 的最小值 數學分析數學分析 數學分析數學分析 26 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 一 有界集 定義定義1 R SS設 設 1 R MxSxMM若使得則稱為 若使得則稱為 SS的一個上界 稱為有上界的數集的一個上界 稱為有上界的數集 2 R LxSxLL若使得則稱為 若使得則稱為 SS的一個下界 稱為有下界的數集的一個下界 稱為有下界的數集 S則稱為有界集則稱為有界集 3 S若既有上界又有下界若既有上界又有下界 0 MxSxM 其充要條件為使有 其充要條件為使有 數學分析數學分析 數學分析數學分析 27 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 SS 若不是有上界的數集 則稱無上界 即若不是有上界的數集 則稱無上界 即 00 R MxSxM 使得 使得 2 SS 若不是有下界的數集 則稱無下界 即若不是有下界的數集 則稱無下界 即 00 R LxSxL 使得 使得 3 SS 若不是有界的數集 則稱無界集 即若不是有界的數集 則稱無界集 即 00 0 MxSxM 使得 使得 數學分析數學分析 數學分析數學分析 28 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 0 R 1 2 1 MMxMM 若取若 若取若 1 0 2 1 M xMM 取 取因此因此 S 無上界無上界 證證 2LxSx n 則則故故 S 有下界有下界 取取 L 1 2 N n Sn 證明數集無上界 有下界 證明數集無上界 有下界例例1 例2例2 2 3 1 N 2 n Sn n 證明數集有界 證明數集有界 證證 22 333 1111 N 1 22222 nn n nnn S因此有界因此有界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 29 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 二 確界 R R 滿足若設滿足若設 SS定義定義2 sup SS 記為的上確界是則稱記為的上確界是則稱 i xSx ii 0 Sx 0 x 使得使得 若數集若數集 S 有上界有上界 則必有無窮多個上界則必有無窮多個上界 而其 中最小的一個具有重要的作用 而其 中最小的一個具有重要的作用 最小的上界稱為 上確界 最小的上界稱為 上確界 同樣同樣 若若S 有下界有下界 則最大的下界稱為下 確界 則最大的下界稱為下 確界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 30 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 0 x x 注2注2 ii 顯然 條件亦可換成 顯然 條件亦可換成 00 xS x 0 0 注1 注1 條件條件 i 說明 是 的一個上界說明 是 的一個上界 條件條件 ii 說明說明S 比 小的數都不是 的上界 從而 是最小的上比 小的數都不是 的上界 從而 是最小的上S 界 即上確界是最小的上界 界 即上確界是最小的上界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 31 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 定義定義3R R SS 設若滿足 設若滿足 i xSx 00 ii xSx inf SS 記為的下確界是則稱記為的下確界是則稱 00 xS x 0 0 ii 下確界定義中的亦可換成下確界定義中的亦可換成注2 注1 注2 注1 由定義 下確界是最大的下界 由定義 下確界是最大的下界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 32 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 證證 先證先證 sup S 1 1 1 1 i n xSx 2 1 10 00 xSx 則取若 則取若 ii 1 設設 例例2 1 1 1 2 Sx xn n 設求證 設求證 0inf1sup SS 1sup S因此 因此 0 0 10 n 若則令由阿基米德性若則令由阿基米德性 00 00 11 1 1 xSx nn 使得令則使得令則 數學分析數學分析 數學分析數學分析 33 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 0inf S因此因此 0inf S再證再證 00 ii 0 0 xS x 0 1 1 i n xSx 以下確界原理也可作公理 不予證明 雖然我們定義了上確界 以下確界原理也可作公理 不予證明 雖然我們定義了上確界 但并沒有證明上確界的 存在性 但并沒有證明上確界的 存在性 這是由于上界集是無限集這是由于上界集是無限集 而無限數集 不一定有最小值 而無限數集 不一定有最小值 例如例如 0 無最小值無最小值 數學分析數學分析 數學分析數學分析 34 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 三 確界存在性定理 證明略證明略 R SSSS 設若有上界 則必有上確界設若有上界 則必有上確界 定理定理1 1 確界原理確界原理 SS若有下界 則必有下確界若有下界 則必有下確界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 46 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 yxByAx 有有 滿足為非空數集設滿足為非空數集設BA例3例3 infsupBA 且且 證明 數集 證明 數集 A 有上確界 數集 有上確界 數集 B 有下確界 由定義 有下確界 由定義 上確界上確界 sup A 是最小的上界是最小的上界 因此因此 任意任意 證證 由假設 由假設 B 中任一數中任一數y 都是都是A 的上界 的上界 A 中的任 一數 中的任 一數x 都是都是B 的下界的下界 因此由確界原理因此由確界原理 A 有上確 界 有上確 界 B 有下確界有下確界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 47 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 例4例4 R中非空有上界的數集是設中非空有上界的數集是設S i R aSaxa xS 若定義則若定義則 sup sup SaSa ii R bbSbx xS若定義則若定義則 sup sup bSbS y B sup A y 這樣這樣 sup A 又是又是B 的一個下界的一個下界 而而 inf B 是最大的下界是最大的下界 因此因此 sup A inf B 數學分析數學分析 數學分析數學分析 48 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 證證 i aSax Sx 其中 其中 必有必有 supSx 于是于是 supaSax 0 0 Sx 對于對于 使使 sup 0 Sx從而從而 0 aSax 且且 sup 0 aSax 因此因此 sup sup aSaS 數學分析數學分析 數學分析數學分析 49 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 ii bSbx 其中其中 Sx 必有必有 supSx 于是于是 supSbbx 0 0 b 令 令則存在則存在 0 Sx 使使 0 sup xS 因此因此 0 supsup bxbSbbS 這就證明了這就證明了 sup sup SbbS 數學分析數學分析 數學分析數學分析 50 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 四 非正常確界 R i 1 aa規定規定 supN inf 2 N n n 例1例1 2 推廣的確界原理推廣的確界原理 非空數集必有上 下確界非空數集必有上 下確界 sup ii SS記無上界若記無上界若 inf SS記無下界若記無下界若 例例2 設數集設數集 1 R ABxA x 求證 求證 supinf0 AB的充要條件是的充要條件是 數學分析數學分析 數學分析數學分析 51 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 00 sup MAxA xM 1 令 則由于 1 令 則由于 00 1 xB x M 令于是 令于是 00 0 1 yAyM x 且 且 證 證 設設sup A若若 0 xB x 顯然 顯然 0 于是于是 00 0 1 yBy x 且 且 因此因此inf0 B 反之 若反之 若inf0 B 則則 0 M sup A因此因此 數學分析數學分析 數學分析數學分析 53 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 3 函 數 概 念 一 函數的定義 二 函數的四則運算 三 復合函數 四 反函數 五 初等函數 函數的概念 在中學數學中我們已有 了初步的了解 本節將作進一步的討論 數學分析數學分析 數學分析數學分析 54 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 一 函數的定義 fDM xy DxxfyyDf 稱為稱為f 的值域 的值域 D 稱為 稱為 f 的定義域 的定義域 定義定義1 D與與M是是R中非空數集 若有對應法則中非空數集 若有對應法則f 使使 D內每一個數內每一個數x 都有惟一的一個數都有惟一的一個數y M與它相 對應 則稱 與它相 對應 則稱f 是定義在是定義在D上的函數 記作上的函數 記作 數學分析數學分析 數學分析數學分析 55 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 DxxfyyxG 稱為稱為f 的圖象 的圖象 注注1 函數由定義域 函數由定義域 D 和對應法則 和對應法則 f 二要素完全 決定 因此若給出函數的定義域和對應法則 二要素完全 決定 因此若給出函數的定義域和對應法則 也 就確定了函數 也 就確定了函數 它與自變量與應變量的符號無關它與自變量與應變量的符號無關 注注2 表示函數有多種方法 常見的有解析法 列 表法和圖象法 解析法表示函數時 若沒有特別指 明其定義域 則一般約定其定義域為使該解析式 有意義的自變量的全體 即存在域 表示函數有多種方法 常見的有解析法 列 表法和圖象法 解析法表示函數時 若沒有特別指 明其定義域 則一般約定其定義域為使該解析式 有意義的自變量的全體 即存在域 數學分析數學分析 數學分析數學分析 56 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 Qx Qx xD 0 1 例例2 狄利克雷函數狄利克雷函數 0 0 0 1 0 1 sgn x x x x 例例1 符號函數符號函數 O 1 1 x y 1 y x O 數學分析數學分析 數學分析數學分析 57 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 狄利克雷狄利克雷 Dirichlet P G L 1805 1859 德國德國 黎曼黎曼 Riemann B 1826 1866 德國德國 數學分析數學分析 數學分析數學分析 58 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 N 0 0 1 0 1 pp xp q qqq R x xxQ 當既約真分數 或 當既約真分數 或 例例3 黎曼函數黎曼函數 O0 20 40 60 81 0 2 0 4 0 6 x y 數學分析數學分析 數學分析數學分析 59 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 二 函數的四則運算 gf DgDf的定義域為函數的定義域為設函數的定義域為函數的定義域為設函數 1 fgfg fgDDD 的定義域為 的定義域為 fg xDDfgxf xg x 且 且 2 f gfg fgDDD 的定義域為 的定義域為 fg xDDfgxf xg x 且 且 3 f g f f DDD g 的定義域為 的定義域為 g Dx xD 其中 其中 0 g x 且 且 xg xf xDx g f g f 數學分析數學分析 數學分析數學分析 60 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 三 復合函數 fg fDgD設函數的定義域為函數的定義域為設函數的定義域為函數的定義域為 fg 復合函數的定義域為 復合函數的定義域為 f ggf Dx xDg xD 且則且則 f g xDfg xf g x 2 1 Rxx 的復合函數為 的復合函數為 1 2 xxgfy 例例4 0 f uu ug x 函數與函數函數與函數 1 1 gf D 其中其中 數學分析數學分析 數學分析數學分析 61 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 21 1 arcsin ln e e fg h xxD 2 2 ln arcsin 0 1 fhgxx D 21 21 2 4 arcsin ln e e g hfxxD 2 6 ln arcsin 1 0 0 1 h gfxxD 21 3 arcsin ln e e gfh xx D 2 5 ln arcsin 1 0 0 1 hfgxx D 1 6 k D k 其中是相應復合函數的定義域 其中是相應復合函數的定義域 2 arcsin ln f xxg xx h xx 設則設則例例5 數學分析數學分析 數學分析數學分析 62 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 四 反函數 yf DxD 惟一惟一 yxf 使使 11 fyfx 因此一般反函數記為 因此一般反函數記為 f fD若函數的定義域為滿足若函數的定義域為滿足 yf D 且且 1 f則存在函數則存在函數 1DfD f 1 fyxyx反函數表示式中是自變量是反函數表示式中是自變量是 注注 因變量 由于函數與自變量 因變量記號無關 因變量 由于函數與自變量 因變量記號無關 xf xyxD 其中是使的惟一的 其中是使的惟一的 1 xyf 數學分析數學分析 數學分析數學分析 63 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 例例6sh chxx雙曲函數和定義如下 雙曲函數和定義如下 11 sh ee ch e e R 22 xxxx xxx shRshxx在上嚴格增 因此有反函數 在上嚴格增 因此有反函數 1 ee e 2 xxx y 設得到的一元二次方程設得到的一元二次方程 2 e 2 e10 xx y 2 ln1 xyy解得負舍 解得負舍 shyx 因此的反函數為 因此的反函數為 2 ln1 R yxxx 數學分析數學分析 數學分析數學分析 64 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 chRRx 因此在和的反函數分別為因此在和的反函數分別為 2 1 ln1 1 yxxx R 增 在上嚴格減 增 在上嚴格減 2 2 ln1 1 yxxx chRR 1 Rx 在和的值域均為在上嚴格 在和的值域均為在上嚴格 1 e e e 2 xxx y 設得到的一元二次方程 設得到的一元二次方程 2 e 2 e10 xx y 2 ln1 xyy解得解得 數學分析數學分析 數學分析數學分析 65 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 定義定義1 以下六類函數稱為基本初等函數以下六類函數稱為基本初等函數 1 為常數常量函數為常數常量函數ccy 2 yx 冪函數為實數冪函數為實數 1 0 3 aaay x 指數函數指數函數 4 log 0 1 a yx aa 對數函數 對數函數 5 sin cos yxyx 三角函數 三角函數 cot tanxyxy 五 初等函數 數學分析數學分析 數學分析數學分析 66 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 sup 1 inf 01 r x r arQ rxa a arQ rxa 定義定義 1 0 aa定義定義2 arccos arcsin 6 xyxy 反三角函數反三角函數 arctan arccot yxyx 定義定義3 由基本初等函數經過有限次四則運算和復 合運算所得到的函數 由基本初等函數經過有限次四則運算和復 合運算所得到的函數 稱為初等函數稱為初等函數 狄利克雷函數與黎曼函數是非初等函數狄利克雷函數與黎曼函數是非初等函數 數學分析數學分析 數學分析數學分析 67 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 2 f x 和和g x 定義在定義在 a b 上上 是否一定存在某個區間是否一定存在某個區間 0000 aba bxabf xg x 使或 使或 00 xgxfbax 復習思考題 3 R x驗證黎曼函數具有以下性質驗證黎曼函數具有以下性質 0 R x 只有有限多個解只有有限多個解 1 函數函數f x 定義在定義在 a b 上 上 f a 0 f b 1 0 1 是否一定都在 是否一定都在 f 的值域的值域f a b 之中 之中 數學分析數學分析 數學分析數學分析 68 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 4 具有某些特性的函數 一 有界函數 本節將著重討論函數的有界性 單 調性 奇偶性與周期性 四 周期函數 三 奇函數與偶函數 二 單調函數 數學分析數學分析 數學分析數學分析 69 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 一 有界函數 定義定義1 設設f 定義在定義在D上上 R MxD f xMfD 若則稱在上有上界 若則稱在上有上界 R LxD f xLfD 若則稱在上有下界 若則稱在上有下界 R MxD f xMfD 若則稱在上有界 若則稱在上有界 上既有上界又有下界在上有界在易證上既有上界又有下界在上有界在易證DfDf 00 R MxD f xMfD 若則稱在上無上 若則稱在上無上 界 界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 70 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 00 R MxD f xMfD 若則稱在上無界 若則稱在上無界 tan 0 2 f xx求證在上無上界 有下界 求證在上無上界 有下界 例例1 0 2 上有下界上有下界 0 R arctan 1 MxM令令 0 2 上無上界上無上界 0 0 2 Lxf xL 則 則 證證在因此在因此f 00 0 tan1 2 xxMM則且 則且 在因此在因此f 00 R LxD f xLfD若則稱在上無下界 若則稱在上無下界 數學分析數學分析 數學分析數學分析 71 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 sup xgxg sup sup f x g xf xg x 因此因此 sup sup xf xg x由的任意性 可知由的任意性 可知 的一個上界是的一個上界是xgxf sup sup supxgxfxgxf DxDxDx 因此因此 sup xDf xf x 證證 sup sup sup xgxfxgxf DxDxDx 求證求證 fxg xD設函數是上的正值有界函數設函數是上的正值有界函數例例2 數學分析數學分析 數學分析數學分析 72 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 例例3 f xg xD設在上有界 證明 設在上有界 證明 inf inf sup x Dx D x D f xg xf xg x 證證 00 0 inf x D xD f xf x 0 sup x D g xg x 又故 又故 00 inf sup x D x D f xg xf xg x 因此因此 00 inf x D f xg xf xg x inf sup x D x D f xg x 數學分析數學分析 數學分析數學分析 73 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 二 單調函數 1212 x xDxx若當時若當時 12 i f xf xfD有則稱為上的增函數 有則稱為上的增函數 12 f xf xf特別有時 稱為嚴格增函數特別有時 稱為嚴格增函數 12 ii f xf xfD有則稱為上的減函數 有則稱為上的減函數 12 f xf xf特別有時 稱為嚴格減函數特別有時 稱為嚴格減函數 上的函數是定義在設上的函數是定義在設Df定義定義2 數學分析數學分析 數學分析數學分析 74 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 證證 1 211 Ryxyy y 由在上為正值嚴格增 可知 由在上為正值嚴格增 可知 f xg x不難知道 若和是正值嚴格增的 則不難知道 若和是正值嚴格增的 則 f x g x也是正值嚴格增的 也是正值嚴格增的 例例4 21 21 N R n n nyx 任意在上嚴格增 任意在上嚴格增 2 2 RR n n yx在上嚴格增 在上嚴格減 在上嚴格增 在上嚴格減 11 R nn yy y 上為正值嚴格增 可知在上亦正值 上為正值嚴格增 可知在上亦正值 R在上亦正值嚴格增 由歸納法 若已證在上亦正值嚴格增 由歸納法 若已證 R n y在 嚴格增 在 嚴格增 數學分析數學分析 數學分析數學分析 75 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1221 0 0 xxxx 若則于是 若則于是 222121 2121 nnnn xxxx 222121 21212 R nnnn n xxxxy即 這就證明了在即 這就證明了在 21 R n y上嚴格減 而在上嚴格增 上嚴格減 而在上嚴格增 1212 00 xxxx 若或則 若或則 21212121 1212 00 nnnn xxxx 或 或 21 R n y 這證明了在上嚴格增 這證明了在上嚴格增 數學分析數學分析 數學分析數學分析 76 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 R yx 易證函數在上是增函數 但非嚴格易證函數在上是增函數 但非嚴格例例5 增 增 x y O 1 1 1 1 2 2 2 2 34 3 數學分析數學分析 數學分析數學分析 77 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 上也是嚴格在其定義域且有反函數上也是嚴格在其定義域且有反函數 11 Dfff 增函數增函數 yf xxDf 設為嚴格增函數 則必 設為嚴格增函數 則必定理定理1 2 11 fff 類似地 嚴格減函數必有反函數且在其類似地 嚴格減函數必有反函數且在其 定義域上也是嚴格減函數定義域上也是嚴格減函數 xDf xy 使使 fDyf D設在上嚴格增 則設在上嚴格增 則 證證只有一個只有一個 1212 xxf xyf x 事實上 若使 事實上 若使f則與則與 數學分析數學分析 數學分析數學分析 78 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 1 f 的嚴格增性質相矛盾再證必是嚴格增的的嚴格增性質相矛盾再證必是嚴格增的 2121 yyDfyy 1212 yyfxx 由于及的嚴格增性 必有即 由于及的嚴格增性 必有即 11 1122 xfyxfy 111 12 fyfyf 因此也是嚴格增函數 因此也是嚴格增函數 n y因此的反函因此的反函 R n n yx 由于在上嚴格增 由于在上嚴格增 例例6 R r n ryx m 在上亦為嚴格增 在上亦為嚴格增 1 R n n zx 數在上嚴格增 故對任意有理數 數在上嚴格增 故對任意有理數 數學分析數學分析 數學分析數學分析 79 河南財經政法大學數學與信息科學系2012 09 29 01 R a 時 在上嚴格減 時 在上嚴格減 121122 r rQxrrx 使因此 使因此 112 1 sup xrrr aa rQ rxaa 2 2 sup xr a rQ rxa 1 R x yaa 證明 當時 在上嚴格增 當 證明 當時 在上嚴格增 當例例7 1212 1 axxxxQ 設由的稠密性 設由的稠密性 證證 01 R x aa 類似可證當時 在上嚴格減 類似可證當時 在上嚴格減