讓數學思想方法在學生腦海中“扎根”庫爾勒市第二小學 王敏我們首先來了解一下什么是數學？“數學是什么”數學教師會怎樣回答？好像清楚，好像又說不清楚。“數學是什么”看似是純理論問題.其實，對于數學教育來說卻是很實際、很重要的問題.然而，許多數學教師自從站上三尺講臺就埋頭于“題海”，對于“數學是什么”這樣的基本問題很少思考.對“數學是什么”不同的回答對應不同的立足點，表明不同的數學觀.辭海解釋：研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。古時候，人類在生產和生活實踐中，由于比較物體的大小和數量的多少的需求，獲得了數的概念；同時也從物體的形狀和位置獲得了一些簡單幾何的概念。到了16世紀，包括算術，初等代數，初等幾何和三角的初等數學已大體上完備了。17世紀，由于生產力的發展推動了自然科學和技術的前進，人們獲得了變量的概念，這是數學發展上的一個轉折點，數學不僅研究不變的量和個別圖形，而且開始研究變化中的量與量之間的相互制約關系和圖形間的相互變換，從而使運動和辯證法進入了數學。隨著生產力的進一步發展，愈來愈多地要求對自然現象做定量的研究；還由于數學學科自身的發展，使得數學的研究范圍不斷被擴大，內容日益豐富。課標：數學是研究數量關系和空間形式的科學。這是19世紀恩格斯給數學下了這樣的定義。恩格斯關于數學的定義是經典的，概括了當時數學的發展，即使在目前也概括了數學的絕大部分。個人理解：數學就是一項技能，和我們的平時生活息息相關。這是我對數學潛意識的理解。數學是關于模式和秩序的科學，我們生活在一個有諸多模式組成的世界中，春有花開，夏有驚雷，秋收冬藏，一年四季往復循環；球形的雨從云中飄落，繁星夜夜周而復始地從天空劃過，世界上沒有兩片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的，人類的心智和文化為模式的識別，分類和利用建立了一套規范化的思想體系，它就是數學，通過數學建立模型，可以使知識條理化，并揭示自然界的奧秘。不知道各位老師是如何理解數學的？南京大學哲學系鄭毓信教授認為:在學校環境中，大多數人開始形成自己的“數學觀念”，而且在大多數情況下，這些觀念在他們以后的生涯中一直得到保持。現行數學教育的一個重要弊端就在于:學校通過數學學習所形成的數學觀并不是“真正數學”的真實寫照。也就是說，就今天的現實而言，“學校的數學”并不是“真正的數學”。為使學校的數學教育真正反映數學的本來面目，每一個數學教師都必須思考“數學是什么?”全日制義務教育數學課程標準(2011)在課程總目標中明確指出“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”由“雙基”(基礎知識和基本技能)到“四基”的變革，足以看出數學思想的舉足輕重。 日本數學家和數學教育家米山國藏在從事多年數學教育研究之后，說過這樣一段話:“學生們所學到的數學知識，在進入社會后，兒乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的教學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管們從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想，卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用。”漫長的數學發展史也告訴我們，一個人要想在數學上有所作為，僅簡單地擁有大量的知識是不夠的，他必須同時具備數學的精神，掌握數學思想與方法。 數學思想和數學方法既有區別又有密切聯系，數學思想的理論和抽象程度高一些，而數學方法的現實性更強一些。簡單地說，數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學的行為。運用數學方解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種認識達到一定程度時就會產生吃躍，從而上升為數學思想。其實在小學數學教學中，許多數學方法和思想往往是一致的，不嚴格區分時我們稱為數學思想方法。小學數學知識、思想方法在整個數學大廈中處于根基地位，它是一切后續數學學習的基礎。因此，在小學階段應該有意識地向學生滲透一些基本的數學思想可以加深學生對數學知識的理解，提高學生的數學素養，為學生今后的數學學習積攢后勁。我今天想從這幾個方面和大家進行交流：1、 目前數學思想在教學中落實的現狀分析 數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。教師講不講，講多講少，隨意性較大，常常因教學時間緊而將它作為一個“軟任務”擠掉 。 目前，在小學數學教學中，教師往往只重視“知識點”，特別是與考試相關的知識點，千方百計地加以強化和深化，卻不注重對數學思想和本質的揭不。如果將學生的思維看作一個坐標系，那么數學知識技能就相當于橫軸上的元素，而數學思想方法就是縱軸上的內容。對數學思想方法的忽視，就造成了學生思維上的“斷點”和知識上的“脫節”，使得學生“就事論事”、死記硬背，到最后越學越難、越學越累。究其原因，老師們平時教學中對于數學思想方法的滲透大部分處于“無意識”狀態。 從問卷和訪談的結果看，“四基”的內容大部分教師都能準確說出來。教師們想到最多的數學思想方法是轉化思想(有的教師說成化歸思想)、分類思想、類比思想、極限思想。分類思想在教學中的應用教師們都能舉出兩三個例子。在教學中滲透思想方法的例子，教師們首先想到的是轉化思想。很多教師想到了平行四邊形、三角形、梯形、圓而積公式推導過程中轉化思想的運用。長期以來，我們對數學教學效果的評價總是圍繞顯性知識的掌握而展開的，相對削弱了對學生數學思想方法的有效考察。調查發現，教師們在平時教學中對于數學思想方法的滲透大部分處于無意識狀態，教師的隨意性很強，很多教師對這部分內容缺乏設計。還有很多教師根本不知道每節課中到底應該滲透什么數學思想方法。究其原因，多數教師對挖掘教材中的數學思想方法有困難，甚至不少教師對特定數學知識背后隱藏什么樣的數學思想方法全然不知。因為教學參考書中沒有明確地寫出來，平時教學可參考的資料很少。當進一步追問教師們:“你們平時聽課時關注教師如何滲透思想方法嗎，”回答是“很少關注這方而”，有的年輕教師說:“即使有滲透，我也看不出來”。看來，對數學思想方法教學缺乏意識性是一個比較普遍的問題。 小學數學教學中涉及的數學思想方法很多。可分為三大類 “ 數學抽象的思想”、“ 數學推理的思想”、“ 數學模型的思想” 。由“ 數學抽象的思想” 派生出來的有：分類的思想，集合的思想，“ 變中有不變” 的思想，符號表示的思想，對應的思想，有限與無限的思想，等等 由 數學推理的思想 派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數形結合的思想，轉換化歸的思想，聯想類比的思想，普遍聯系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等”像數學建模的思想,還能進一步派生出來,像簡化的思想,量化的思想,函數的思想,方程的思想,優化的思想,隨機的思想,抽樣統計的思想等等. 2、 數學思想方法在學生頭腦中的形成階段 學生對每一種思想方法的領會和掌握，都要經過較長時間、不同內容的學習才能真正達到。學生理解掌握數學思想方法的過程一般有三個階段。 1.潛意識階段。 在這個階段，學生往往只注意數學知識的學習，而對隱藏在知識后而的思想方法未能引起注意，或者只是處于一種朦朦朧朧、似有所悟的狀況。 例如，低年級學生而對分類思想、數形結合思想、對應思想。因為只是剛接觸，這個階段主要是積累數學活動經驗，主要方法是通過不斷出現讓學生“混個臉熟”。 2.明朗化階段。 隨著運用同一種數學思想方法解決不同數學問題的實踐機會增多，隱藏在數學知識后而的思想方法就會逐漸引起學生的注意和思索，以至于產生某種程度的領悟。當經驗和領悟積累到一定程度，這種事實上已被運用多次的思想方法就會凸現出來，甚至達到一種“呼之欲出”的境界，這就是數學思想方法學習的明朗化階段。 例如，在教學平行四邊形而積時，學生會想到把平行四邊形轉化成長方形;在推導三角形而積時，學生會想到把兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形;在推導梯形而積時，學生會想到把兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形在教學圓的而積時.學生會想到把圓分成若干個小扇形，再拼成平行四邊形或長方形。至此，學生到了六年級，對于轉化思想就達到了明朗化階段，轉化思想已經深入學生內心。 3.深刻化階段。 這時，學生已能正確運用某種數學思想方法進行探索和思考，以求得問題解決。同時，在問題解決的實踐過程中，又加深了學生對思想方法的理解，經過多次應用，能逐步到達一種思想方法運用自如的境界。 例如，到了畢業復習階段，學生對轉化思想的理解就比較深刻，學生除了能夠利用轉化思想解決圖形類問題，還會遷移到計算題和較復雜的應用問題。甚至最后能夠自己總結出用轉化思想解決問題的形式有:化繁為簡、化整為零、化曲為直、化生為熟、化形為數、化數為形、化一般為特殊等。數學思想方法總是隱藏在各知識版塊中，體現在揭示、應用知識的過程中。可以這樣說，數學教材的每一章節乃至每一道例題，都體現著數學基礎知識與數學思想方法的有機結合。這是因為，沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識。 教材中，除個別思想方法外，大量的、較高層次的思想方法是蘊含于表層知識之中，處于潛形態。作為教師，應該將深層知識揭示出來，將這些深層知識由潛形態轉變為顯形態，由對數學思想方法的朦朧感受轉變為明晰、理解和掌握。這樣才能根據學生實際，采取適當措施去體現思想方法的教學。我想可以從這幾方面思考：（一）、備課：研讀教材、確立目標、設計預案，挖掘數學思想方法 “凡事預則立，不預則廢。”如果課前教師對教材內容適合滲透哪些思想方法懵然無知，數學思想方法的滲透也就無從談起了。因此教師在備課時，不應只見直接寫在教材上的數學基礎知識與技能，而是要深入鉆研教材，挖掘隱含在教材中的數學思想方法，在教學目標中予以明確，并將目標落實在教學預設的各個環節中，實現數學思想方法的滲透與數學知識教學的有機融合，使教材呈現的知識技能這條明線與隱含的思想方法的暗線同時延展。（二）、在教學設計中抽出思想方法這條線。 例如，符號思想在數與代數領域主要出現在數的表示、數的運算、數的大小比較、運算律、方程的認識等教學內容中;在圖形與幾何領域主要出現在用宇母表示計量單位、用符號表示圖形、用宇母表示公式等內容中。具體到某一節課，也有很明確的數學思想滲透。如植樹問題、乘法分配律、三角形而積公式滲透的是模型思想，正反比例、積的變化規律滲透的是函數思想，三角形的分類滲透的是分類思想，在低年級利用數直線比較數的大小和進行加減法計算滲透的就是數形結合思想。 怎樣將一個簡單的內容上的有深度呢？把數學思想融進去。例如，一年級上冊10的分與合。1、 從有序到無序 師：你能有序的涂一涂嗎？學生涂完得出10可以分成9 和1，還可以怎樣分呢？接著涂8和2依次類推。眾所周知，教學10的分成要滲透一種有序的思想，引著學生有序的得到10的分成式子，這樣“告訴”就能培養有序的思想嗎？不妨假設一下，能否從無序到有序，讓學生隨意自由的涂得出10的各種分成，當學生發現這樣分比較零碎，不容易記時，再引導學生有序得出10的分成，這樣是不是就能很好的體現有序思考的價值呢？2、 體會變與不變的思想當學生得出9個式子后，讓學生觀察這些式子的數字，他們有什么特點呢？放手讓學生自己探究：一個變大，一個變小，但不管怎樣變，他們的和還是10.這其中還蘊含著“變與不變”得思想呢。從上面的例子可以看出，教學簡單內容時同樣能滲透數學思想方法，這也是將簡單內容上出深度的必然選擇，在滲透以上這些思想方法的同時，我們也要清晰地認識到分與合本身也是重要的思想。“轉化”就是將新知識、新問題通過一定的途徑變為舊知識、舊問題，從而用已有的學習經驗來解決新的問題! 在探索圖形面積這一領域，要用已有的學習經驗解決新的問題，就要將新圖形通過等積變形轉化為已學圖形，轉化的數學思想應貫穿整個單元! 在平行四邊形的面積一課中，學生在學習平行四邊形的面積之前，應有這樣的知識經驗：可以通過數方格找出長方形正方形的面積，有不滿整格算半格的解題經驗，這是學生在認識面積單元所積累的知識經驗!基于學生的這一認知起點，課中，教師設計了自主提取舊知嘗試數方格求面積交流匯報中感悟轉化方法! 在數的過程中，學生逐漸領悟到，先移后補，補成長方形后，就不需要一格一格地數了，而是可以直接用6乘4等于24平方厘米來計算!學生在交流中分享經驗，在移補中，完成了從平行四邊形到長方形的轉化! 我們要尋求平行四邊形自己的面積計算公式！通過形象的動態演示，引導學生在直觀的圖形中找出長方形的長與平行四邊形的底之間的關系，同時，可直觀地看出，轉化后長方形的寬就是原來平行四邊形的一條高! 這種數形結合的教學方式，變靜態的數據為動態的演示，能幫助學生很好地疏通兩種圖形之間的聯系，從而水到渠成地構建出平行四邊形的面積計算公式為：平行四邊形的面積(底乘高)這也蘊含著模型思想。再如六年級的數與形，看課題就知道他滲透的是數形結合的思想。國培期間我們有幸邀請到了北京教科院的劉延革老師，他上了一節數與形的課，聽了他的課，你就能明顯的感覺到數學思想方法的滲透在，這節課體現的淋漓盡致。他先出示幾副有規律的圖，讓學生猜下一副是多少再讓學生根據圖寫數字或者是一個式子，初步讓學生感知從形上可以抽象出數。然后又出示一個式子，讓學生猜圖形，有讓學生感知數字中也反映出形。在這里他強調切不可把它上成一節探索規律的課，而是以這個活動為載體滲透數學思想積累學生的活動經驗。他不僅講了例1，把例2也講了，在這個過程中他又加深了對數與形之間關系的認識，同時也滲透了極限思想，最后通過兩道題，有讓學生更進一步體會到了數與形之間的關系。他沒有過多的讓學生去探索規律，而是讓學生在這個過程中積累豐富的活動經驗和解題方法。其實數與形的數學思想在低年級的時候我們更容易滲透，我在查閱資料的時候看到中國科學院院士、數學家張景中寫的一篇文章感受小學數學思想的力量在認識數的時候，要舉很多的例子，如一個蘋果、一只小白兔等。我就想，在舉例的時候能不能照顧到幾何?比如學生在學習1”的時候，就要學生用，1 來造句，書上可不可以有一些關于幾何的句子?如，1個圓有1個圓心”、1條線段有1個中點”、1個正方形有1個中心”等。有的老師會說，這樣不行，學生不能理解。我想，可以畫圖幫助學生理解，學生雖然不知道這些概念準確的含義，但看看圖就有一個直觀的、初始的印象。孩子學語言一開始不是通過理解，而是通過模仿開始的，如果在學數的時候，能舉一些幾何上的例子，這對他將來學習幾何肯定會有幫助。同樣，在學習2的時候，我們可以教學生說:“一條線段有兩個端點。”不需要讓學生知道什么是線段，只要畫一條線段，指出兩頭是端點。到后來學幾何知識時，回頭一想，他會非常親切，因為他早己經會說了。在學3”的時候，可以畫一個三角形，讓學生說三角形有3條邊、3個頂點，學“4”的時候，可以畫一個正方形，讓學生說正方形有4條邊、4個頂點學到I00以內的數，就可以告訴學生正方形的角是90度，等等。小孩子記憶力好早點記一些東西，以后再慢慢理解。數形結合思想的核心應是代數與幾何的對立統一和完美結合。以形助數，以數輔形，讓數與形各展其長，優勢互補，相輔相成，達到抽象邏輯思維與具體形象思維的完美統一，從而使所要解決的問題化難為易，化繁為簡，在日常教學中，應結合具體內容，有意識的引導學生見數想形，因形思數，使數與形結合，培養學生數形相互轉化的意識。 要準確找出每節課的數學思想方法，需要教師對教材進行深入解讀，教師需要對教學內容所承載的教育價值進行分析，考慮內容背后所蘊藏的豐富思想方法。 合理的知識結構對教師的成功教學起著重要的作用。除了認真研讀教材和教學參考書，建議大家讀一些相關的專著，通過閱讀專著提升自己的專業素養。教師自己先要搞懂有哪些數學思想方法，每一種思想方法的含義是什么，這樣才能以較高的觀點駕馭數學教學內容，才能站在“高觀點”進行小學數學思想方法的教學。 （三）、教學中明線與暗線的自然穿插 由于數學思想方法往往隱藏在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但是如果不是有意識地把數學思想方法作為教學對象，在學習時，學生常常只注意處于表層的數學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數學思想方法教學時必須以數學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達到思想方法教學之口的。 也就是說，數學教學內容貫穿著兩條主線，即數學基礎知識和數學思想方法。數學基礎知識是一條明線，直接用文宇寫在教材里，反映著知識間的縱向聯系。數學思想方法則是一條暗線，反映著知識間的橫向聯系，常常隱藏在基礎知識的背后，需要人們加以分析、提煉才能使之顯露出來。 例如，三角形的內角和所承載的數學思想方法就沒那么顯而易見了，它需要教師深入分析鉆研教材，認真思考，發現其蘊含的數學思想方法。我在備課時有關數學思想方法的目標是這樣確定的:經歷觀察、猜想、折拼等學習活動，讓學生了解類比思想、推理思想和變中有不變思想，理解轉化方法的特點和作用，感悟轉化思想在數學中的應用，積累解決問題的數學活動經驗。首先，看教材所呈現的驗證方法，把三角形三個角撕下來，再拼在一起拼成一個平角，讓人一眼就能看出三角形三個內角之和是180度，這種把未知轉化成已知、把陌生轉化成熟悉來研究的思想是小學數學中的轉化思想。再看本課的導入，其實學生對于三角形內角和并不完全陌生，在三年級學習角的度量的練習中就有度量直角三角板各內角的度數并求出內角和的練習題，從此處可以看出學生對內角和是有初步的認知經驗的。為此，本課導入可以從熟悉的直角三角板入手，發現直角三角形內角和都是180度的現象。然后學生進行類比猜想，教師此時可提出:其他類型的三角形內角和也會是180度嗎?這種由此及彼、舉一反三的的數學思想是數學中常用的類比思想。本課主要是驗證三角形內角和是不是180度，這就涉及到推理，我們在國培期間磨課時，教授就指