泰州二中2012-2013學年高二下學期期中考試數學（理）試題一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應的位置上.1.寫出命題“若a0，則ab0”的逆否命題： .2函數已知時取得極值，則= .3.命題“對所有的正數x，xx-1”的否定是 . 4.命題“使x為31的約數”是 命題.（從“真”和“假”中選擇一個填空） 5. “三角函數是周期函數，ysinx，x是三角函數，所以ysinx，x是周期函數”在以上演繹推理中，下列說法正確的是 (1)推理完全正確；(2)大前提不正確；(3)小前提不正確；(4)推理形式不正確6.“a=b”是“a=b”的 條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個填空）7設是函數的導函數，已知在r上的圖象（如圖），若，則的取值范圍是 8. 已知函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 . 9. 在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為，則它們的面積比為1：2，類似地，在空間，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積的比為 10. 過曲線f(x)=-x3+3x的點a(2,-2)的切線方程 11觀察下列等式：132332,13233262根據規律，第五個等式為 12. 已知為偶函數，曲線，。若曲線有斜率為0的切線，則實數的取值范圍為 13.已知函數在區間內，既有極大也有極小值，則實數的取值范圍是 14在整數集z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為k，即k5nk|nz，k0,1,2,3,4.給出如下四個結論：20111；33；z01234；“整數a，b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中，正確結論的個數是_ 二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.15（本題滿分14分）（1）用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內角大于或等于60.（2）已知試用分析法證明： . 16（本題滿分14分）已知c0，設命題p：函數ycx為減函數.命題q：當x，2時，函數f(x)x恒成立.如果p或q為真命題，p且q為假命題.求c的取值范圍. 17（本題滿分14分）已知函數,若,有極值，且曲線在點(1,)處的切線斜率為3.（1）求函數的解析式；（2）求在4，1上的最大值和最小值。（3）函數有三個零點，求實數的取值范圍.18. （本題滿分16分）某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為（01，則出廠價相應提高的比例為0.7，年銷售量也相應增加.已知年利潤=（每輛車的出廠價每輛車的投入成本）年銷售量.（1）若年銷售量增加的比例為0.4，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應在什么范圍內？（2）年銷售量關于的函數為，則當為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？ 19（本題滿分16分）在計算“”時，先改寫第k項： 由此得相加，得（1）類比上述方法，請你計算“”的結果； (2) 試用數學歸納法證明你得到的等式.20. （本題滿分16分）定義：已知函數f（x）與g（x），若存在一條直線，使得對公共定義域內的任意實數均滿足g（x）f（x）恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”已知（i）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；（）設p（是函數 f（x）圖象上任意兩點，且00，使得請結合（i）中的結論證明：江蘇省泰州二中20122013學年度第二學期高二數學(理科)期中考試試卷命題：楊華 審核： 周干清一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填在答題卡相應的位置上.1.寫出命題“若a0，則ab0”的逆否命題： .若ab0,則a02函數已知時取得極值，則= . 53.命題“對所有的正數x，xx-1”的否定是 . 存在正數x，xx-14.命題“使x為31的約數”是 命題.（從“真”和“假”中選擇一個填空）真 5. “三角函數是周期函數，ysinx，x是三角函數，所以ysinx，x是周期函數”在以上演繹推理中，下列說法正確的是 (3)(1)推理完全正確；(2)大前提不正確；(3)小前提不正確；(4)推理形式不正確.6.“a=b”是“a=b”的 條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選擇一個填空）必要不充分7設是函數的導函數，已知在r上的圖象（如圖），若，則的取值范圍是 _8. 已知函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是 . 9. 在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為，則它們的面積比為1：2，類似地，在空間，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積的比為 1:810. 過曲線f(x)=-x3+3x的點a(2,-2)的切線方程 或11觀察下列等式：132332,13233262根據規律，第五個等式為 13233343536321212. 已知為偶函數，曲線，。若曲線有斜率為0的切線，則實數的取值范圍為 _13.已知函數在區間內，既有極大也有極小值，則實數的取值范圍是 14在整數集z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為k，即k5nk|nz，k0,1,2,3,4.給出如下四個結論：20111；33；z01234；“整數a，b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中，正確結論的個數是_二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.15（本題滿分14分）（1）用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內角大于或等于60.（2）已知試用分析法證明： . 【答案】（1）證明：假設在一個三角形中，沒有一個內角大于或等于60，即均小于60，則三內角和小于180，與三角形中三內角和等于180矛盾，故假設不成立 .原命題成立 .（2）證明：要證上式成立，需證 只需證10 因為10顯然成立，所以原命題成立 . 16（本題滿分14分）已知c0，設命題p：函數ycx為減函數.命題q：當x，2時，函數f(x)x恒成立.如果p或q為真命題，p且q為假命題.求c的取值范圍. 【答案】由命題p知：0c1.要使此式恒成立，則2，即c.又由p或q為真，p且q為假知，p、q必有一真一假，當p為真，q為假時，c的取值范圍為0c.當p為假，q為真時，c1.綜上，c的取值范圍為c|0c或c1.17（本題滿分14分）已知函數,若,有極值，且曲線在點(1,)處的切線斜率為3.（1）求函數的解析式；（2）求在4，1上的最大值和最小值。（3）函數有三個零點，求實數的取值范圍.【答案】解：（1） 由題意，得 所以， （2）由（1）知令 x4（4，2）2（2，）（，1）1+00+極大值極小值函數值-11134上的最大值為13，最小值為11。（3） 18. （本題滿分16分）某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為（01，則出廠價相應提高的比例為0.7，年銷售量也相應增加.已知年利潤=（每輛車的出廠價每輛車的投入成本）年銷售量.（1）若年銷售量增加的比例為0.4，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應在什么范圍內？（2）年銷售量關于的函數為，則當為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？【答案】（1）由題意得：本年度每輛車的投入成本為10（1+x）；出廠價為13（1+0.7x）；年銷售量為5000（1+0.4x），因此本年度的利潤為即： 由， 得 （2）本年度的利潤為則 由 當是增函數；當是減函數.當時，萬元， 因為在（0，1）上只有一個極大值，所以它是最大值， 所以當時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元 19（本題滿分16分）在計算“”時，先改寫第k項： 由此得相加，得（1）類比上述方法，請你計算“”的結果； (2) 試用數學歸納法證明你得到的等式.【答案】見解析【解析】本試題主要是考查了類比推理的運用，以及數學歸納法的綜合運用。（1）根據已知的條件和結論，分析觀察可知道所求的表達式的結論。（2）運用數學歸納法證明時，注意兩步驟的運用尤其是假設一定要用上，否則證明的結論就是錯誤的。(1) 先改寫第k項：由此得相加，得(2)證：當時,左邊=，右邊 當時等式成立 假設當時, 成立，那么, 當時, 即當時, 等式也成立 由(1),(2)可知，對一切自然數成立20. （本題滿分16分）定義：已知函數f（x）與g（x），若存在一條直線，使得對公共定義域內的任意實數均滿足g（x）f（x）恒成立，其中等號在公共點處成立