摘要用函數來表示變量間的數量關系廣泛應用于各學科領域，但是在實際問題中，往往是通過實驗、觀測以及計算等方法，得到的是函數在一些點上的函數值。如何通過這些離散數據找到函數的一個滿足精度要求且便于使用的近似表達式，是經常遇到的問題。對于這類問題我們解決的方法為插值法，而最常用也最簡單的插值方法就是多項式插值。當然用插值法得到的近似表達式必須滿足插值條件即假設給定了n+1個點的自變量的值以及函數值，近似函數必須要過這n+1個點。多項式插值，從幾何角度看，就是尋求n次代數曲線y=Pn（x）通過n+1個點作為f（x）的近似。但是隨著插值節點個數的增加，高次插值多項式的近似效果并不理想。根據大量實驗得出，在進行高次多項式插值時，會出現龍格現象。因此，為了解決這樣的一個問題，我們可以通過縮小插值區間的辦法達到減小誤差的目的。但是當在每個小區間上用一次函數進行插值時，有很好的收斂性但是光滑度不夠，因此本實驗將用三次Hermite進行插值，做具體的討論和學習。關鍵詞：龍格現象 分段差值 三次Hermite進行插值1、實驗目的1) 通過對分段三次Hermite插值算法程序的編寫，提高自己編寫程序的能力2) 體會分段三次Hermite插值比分段線性插值優越在哪里3) 用實驗報告的形式展現，提高自己在寫論文方面的能力2、算法流程分段線性插值多項式S(x)在插值區間a,b上只能保證連續性，而不光滑。要想得到在插值區間上光滑的分段線性插值多項式，可采用分段埃爾米特（Hermite）插值，這里我們考慮在整個a,b上用分段三次埃爾米特插值多項式來逼近f(x)。一般的將帶有導數的插值多項式稱為Hermite插值多項式。如果已知函數y=f(x)在節點a=x0x1xn=b處的函數的值和導數值：yi=fxi,yi=fxi,i=0,1,2,n則在小區間xi-1,xi上有四個插值條件：yi-1=fxi-1,yi=fxiyi-1=fxi-1,yi=fxi故能構造一個三次多項式Hi(x)，并稱為三次Hermite插值多項式。這時在整個a,b上可以用分段三次Hermite插值多項式來逼近f(x)。Hx=H1x,xx0,x1 H2x,xx1,x2 Hnx,xxn-1,xn其中Hix,xxi-1,xi滿足條件：Hixi-1=fxi-1=yi-1,Hixi=fxi=yiHixi-1=fxi-1=yi-1,Hixi=fxi=yi關于Hix的構造，我們可以通過基函數來進行，這時令Hix=yi-1i-1x+yiix+yi-1i-1x+yiix其中i-1x、ix、i-1x和ix均為三次多項式，并稱為三次Hermite插值多項式的基函數。對上式兩邊關于x求導，得到Hix=yi-1i-1x+yiix+yi-1i-1x+yiix則由插值條件可以分別給出基函數滿足的條件：i-1xi-1=1,ixi-1=0,i-1xi-1=0,ixi-1=0i-1xi=0, ixi=1,i-1xi=0,ixi=0i-1xi-1=0,ixi-1=0,i-1xi-1=1,ixi-1=0i-1xi=0,ixi=0,i-1xi=1,ixi=1下面具體求解基函數i-1x、ix、i-1x和ix。由上面的條件的第一列可以得到i-1x滿足條件： i-1xi-1=1, i-1xi=0,i-1xi-1=0,i-1xi=0 （1）由上式中的第二、第四個條件可知i-1x應該具有形式 i-1x=x-xi2(ax+b) （2）這時 i-1x=2x-xiax+b+a(x-xi)2 （3）再由（1）式中的第一、第三個條件分別帶入（2）式（3）式得到hi2axi-1+b=1 -2hiaxi-1+b+ahi2=0解此線性方程組得到a=2hi3,b=1hi2-2xi-1hi3將a、b代入（2）式得到i-1x=x-xi22hi3x+1hi2-2xi-1hi3=(1+2x-xi-1hi)x-xi2hi2類似地有ix=(1-2x-xi-1hi)x-xi2hi2i-1x=1hi2(x-xi-1) x-xi2ix=1hi2(x-xi) x-xi-12因此將得到Hix=hi+2(x-xi-1)x-xi2hi3yi-1+hi-2(x-xi)x-xi-12hi3yi+(x-xi-1)x-xi2hi2yi-1+(x-xi)x-xi-12hi2yi這樣，便求出了分段三次Hermite插值多項式：Hx=H1x,xx0,x1 H2x,xx1,x2 Hnx,xxn-1,xn3、數值算例已知下列的條件xi1 2yi2 3yi1 -1通過分段三次Hermite插值法，求解當x=1.5時的y值。解：具體的程序如下所示：#include stdafx.hfloat Hermite(float x,float y,float z,float x1,int len)int i=0;float s=0;float h=0;float L1=0;float L2=0;float L3=0;float L4=0;for(i=0;i=xi & x1xi+1)break;i=i+1;h=xi-xi-1;L1=(h+2*(x1-xi-1)*(x1-xi)*(x1-xi)/(h*h*h);L2=(h+2*(x1-xi)*(x1-xi-1)*(x1-xi-1)/(h*h*h);L3=(x1-xi-1)*(x1-xi)*(x1-xi)/(h*h);L4=(x1-xi-1)*(x1-xi-1)*(x1-xi)/(h*h);s=L1*yi-1+L2*yi+L3*zi-1+L4*zi;return s;float Hermite(float x,float y,float x1,int len);void main()float x=1,2;float y=2,3;float z=1,-1;int len=sizeof(x)/sizeof(x0);float x1=0;float s=0;printf(請輸入要求解的x1的值:n);scanf(%f,&x1);s=Hermite(x,y,z,x1,len);printf(經過分段三次Hermite插值的結果為:n);pri