山東省聊城市2019屆高三一模數學（理）試題一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數的定義域為集合，集合，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函數的定義域為再求得解.【詳解】由得即函數的定義域為 故選：【點睛】本題主要考查函數定義域的求法，考查集合的交集的運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2.設，則復數的虛部為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出z=1+2i,再求復數的虛部得解.【詳解】，復數的虛部為.故選：【點睛】本題主要考查復數的加法和除法運算，考查復數的虛部的概念，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用求出的值.【詳解】故選：【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，考查向量平行的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.記為等比數列的前項和，若，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據得到，求出q的值，再求的值.【詳解】由題得 化為：解得則.故選：【點睛】本題主要考查等比數列的前n項和公式，考查等比數列的通項公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5.AQI是表示空氣質量的指數,AQI指數值越小,表明空氣質量越好,當AQI指數值不大于100時稱空氣質量為“優良”.如圖是某地4月1日到12日AQI指數值的統計數據,圖中點A表示4月1日的AQI指數值為201,則下列敘述不正確的是()A. 這12天中有6天空氣質量為“優良”B. 這12天中空氣質量最好的是4月9日C. 這12天的AQI指數值的中位數是90D. 從4日到9日,空氣質量越來越好【答案】C【解析】由圖可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A對,不選. 最小的一天為10日,所以B對,不選.中位為是,C錯.從圖中可以4日到9日越來越小,D對.所以選C.6.設函數，若對于任意的，都有，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化簡已知得，由得x=是函數f(x)的對稱軸，得再求【詳解】由得x=是函數f(x)的對稱軸，得故選：【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數的圖像和性質，考查三角函數求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.7.如圖，圓柱的軸截面為正方形，為弧的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中點，連接則異面直線與所成角即為，再利用余弦定理求得解.【詳解】取的中點，連接設則所以連接因為所以異面直線與所成角即為在中故選【點睛】本題主要考查異面直線所成角的計算，考查余弦定理，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.8.設函數，若為奇函數，則不等式的解集為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由為奇函數得到，再分析得到函數在上為減函數且在上減函數且，又由則則有，即不等式的解集為【詳解】根據題意，函數，其定義域為，若為奇函數，則即解可得則.又由在為增函數，其，則在上為減函數且則在上減函數且，又由則則有，即不等式的解集為故選： 【點睛】本題主要考查函數的奇偶性的應用，考查函數的單調性及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知圓的半徑為，在圓內隨機取一點，則過點的所有弦的長度都大于的概率為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到點落在以為圓心，以為半徑的圓內，再利用幾何概型求解.【詳解】如果過點的所有弦的長度都大于，則 則點落在以為圓心，以為半徑的圓內，由幾何概型概率可得，過點的所有弦的長度都大于的概率為故選：【點睛】本題主要考查圓和幾何概型的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.數學名著九章算術中有如下問題：“今有芻甍（mng），下廣三丈，袤（mo）四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬丈，長丈；上棱長丈，高丈，問它的體積是多少？”現將該楔體的三視圖給出，其中網格紙上小正方形的邊長為丈，則該楔體的體積為（單位：立方丈）（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先找到三視圖對應的幾何體原圖，再求組合體的體積得解.【詳解】根據三視圖知，該幾何體是三棱柱，截去兩個三棱錐，如圖所示；結合圖中數據，計算該幾何體的體積為（立方丈）.【點睛】本題主要考查三視圖找幾何體原圖，考查組合體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為為左支上的一個動點，若周長的最小值等于實軸長的倍，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先通過分析得到當且僅當共線，周長取得最小值，且為 可得解方程即得解.【詳解】由題意可得設由雙曲線的定義可得， 則的周長為當且僅當共線，取得最小值，且為由題意可得即，即則故選：【點睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.12.已知函數若關于的方程無實根，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】關于的方程無實根等價于函數的圖象與直線無交點，設直線與切與點求出切線方程為：由圖知函數的圖象與直線 無交點時實數的取值范圍為實數的取值范圍為【詳解】因為函數所以關于的方程無實根等價于函數的圖象與直線無交點，設直線與切與點由由已知有：解得，則則切線方程為：由圖知：函數的圖象與直線 無交點時實數的取值范圍為實數的取值范圍為故選：【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的零點問題，考查分段函數的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數形結合分析推理能力.二、填空題（本大題共4個小題，每題5分，共20分）13.若滿足約束條件，則的最大值為_【答案】14【解析】【分析】畫出約束條件表示的平面區域如圖所示，再利用數形結合分析得解.【詳解】畫出約束條件表示的平面區域如圖所示，由圖形知，當目標函數過點A時取得最大值，由解得代入計算，所以的最大值為故答案為：【點睛】本題主要考查利用線性規劃解答最值問題，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和數形結合分析推理能力.14.某校舉行“我愛我的祖國”征文比賽，從名獲得一等獎的同學中選出名同學發表獲獎感言，要求甲、乙兩名同學至少有一人參加，則不同發言順序的種數為_（用數字作答）【答案】96【解析】【分析】第一步：先選人，甲、乙至少有一人參加，有第二步，將人排序，有再利用乘法分步原理即得解.【詳解】第一步：先選人，甲、乙至少有一人參加，用間接法，有第二步，將人排序，有故不同發言順序的種數為.故答案為：【點睛】本題主要考查排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15.記數列的前項和為，若，則數列的前項的和等于_【答案】【解析】【分析】先利用項和公式求出n+1,再利用裂項相消法求和得解.【詳解】可得 時，上式對也成立，所以n+1,則前14項的和為 故答案為：【點睛】本題主要考查項和公式求數列的通項，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.16.拋物線的焦點為，動點在拋物線上，點，當取得最小值時，直線的方程為_【答案】或【解析】【分析】設點的坐標為求出，再計算得到，再利用基本不等式求出最小值及此時直線的方程得解.【詳解】設點的坐標為 當且僅當，即時取等號，此時點坐標為或，此時直線的方程為即或故答案為：或【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線的簡單幾何性質和基本不等式，考查直線方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每一個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.在梯形中，求；若求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）設則，由余弦定理可得，解可得.由余弦定理可得（2），在中由余弦定理可得BC的值.【詳解】（1）設則，由余弦定理可得解可得，.由余弦定理可得，； 在中，由余弦定理可得，【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.在三棱柱中，平面平面， 證明：；求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析； （2）【解析】【分析】(1)先證明平面（2）以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值為【詳解】(1)在三棱柱中，平面 平面，平面平面平面 以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設平面的法向量則，取得，設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關系的證明，考查空間線面角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉化分析推理計算能力.19.已知平行四邊形的三個頂點都在橢圓為坐標原點當點的坐標為時，求直線的方程；證明：平行四邊形的面積為定值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)先求出的中點坐標為，再利用點差法求得再寫出直線MN的方程得解；（2）設直線的方程為：與橢圓相交于兩點，設，先利用弦長公式求出，再求出點到直線的距離為， .【詳解】點的坐標為，的中點坐標為，四邊形為平行四邊形，的中點坐標為，設，兩式相減可得，即，直線的方程為，即，證明設直線的方程為：與橢圓相交于兩點，設，將其代入得，即，又 ， ，四邊形為平行四邊形點坐標為點在橢圓上，整理得 點到直線的距離為， 【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的弦長的計算和面積定值問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.20.某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費元；重量超過的包裹，除收費元之外，超過的部分，每超出（不足時按計算）需再收元公司從承攬過的包裹中，隨機抽取件，其重量統計如下：公司又隨機抽取了天的攬件數，得到頻數分布表如下：以記錄的天的攬件數的頻率作為各攬件數發生的概率計算該公司天中恰有天攬件數在的概率；估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用做其他費用，目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不超過件，每人每天工資元，公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤有利？（同一組中的攬件數以這組數據所在區間中點值作代表）【答案】（1）； （2）該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為元；（3）公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利【解析】【分析】樣本中包裹件數在內的天數為，頻率為，可估計概率為，未來天中包裹件數在間的天數，故所求概率為；（2）先列出樣本中快遞費用及包裹件數表，再利用平均數的公式求快遞費的平均值；（3）先求出若不裁員，公司平均每日利潤的期望值為（元），再求出若裁減人，公司平均每日利潤的期望值為（元），因故公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利.【詳解】樣本中包裹件數在內的天數為，頻率為，可估計概率為，未來天中，包裹件數在間的天數X服從二項分布，即，故所求概率為；樣本中快遞費用及包裹件數如下表：故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為（元），故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為元（3）根據題意及，攬件數每增加，可使前臺工資和公司利潤增加（元），將題目中的天數轉化為頻率，得若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員人，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）因故公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利【點睛】本題主要考查獨立重復試驗的概率的計算，考查平均值和期望的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.21.已知函數討論函數的單調性；設，若不相等的兩個正數滿足，證明：【答案】（1）見解析； （2）見解析.【解析】【分析】(1)對a分和a0討論，利用導數求函數的單調性；（2）得 ，再求出 ，不妨設，則，轉化為證明，令，再證明即得證.【詳解】 ，當時，在單調遞增，當時，時，當時，在上單調遞減，在上單調遞增， ， ，不妨設，則，所以只要證，令，t，在上單調遞減，【點睛】本題主要考利用導數求函數的單調性，考查利用導數求函數的最值和證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.(二)選考題:共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），傾斜角為的直線經過點求曲線的普通方程和直線的參數方程；若直線與曲線有兩個不同的交點，求的最大值【答案】（1）曲線的普通方程為，直線的參數方程（為參數）； （2）.【解析】【分析】由消去得，所以曲線的普通方程為，直線的參數方程（為參數）；（2）將直線的參數方程（為參數）代入到中并整理得： ，再利用直線參數方程的幾何意義求出，再利用基本不等式求解.【詳解】由消去得，所以曲線的普通方程為，直線的參數方程（為參數），將直線的參數方程（為參數）代入到中并整理得： ，設對應的參數分別為，則，同號 ，（當且僅當時取等），的最大值為： 【點睛】本題主要考查直線的參數方程，考查普通方程和參數方程的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，考