_列方程解平面圖形問題一、引入。同學們，下面這道平面圖形問題你會解答嗎？已知圖1中平行四邊形的面積是48平方厘米，求陰影三角形面積是多少平方厘米？1學生嘗試解答。學生可能出現如下兩種解法：根據平行四邊形的面積是48平方厘米、高是6厘米，可以求出平行四邊形的底；三角形的高和平行四邊形相同，底比平行四邊形少5厘米，所以求出平行四邊形的底，就能求三角形的面積。486=8（厘米）（8- 5）62=9（平方厘米）這個三角形只給出了高，它的面積不能直接計算出來，可先把平行四邊形分割成三部分（如圖2），因為兩邊的兩個三角形面積是相等的，中間的長方形面積又可求，所以陰影三角形面積等于（48-56）2=9（平方厘米）2引導學生用代數方法解決問題。第一種方法通過逆向思考，先求出平行四邊形的底，再求出三角形的面積；第二種方法利用圖形的特征，對圖形進行巧妙地分割。解決這個問題還可以用代數方法，設三角形的底為a，根據平行四邊形面積為48，高為6，可列出方程： （5+a）6=48解方程，求得 a=3所以三角形面積為362=9（平方厘米）這是一道比較簡單的問題，用上述三種方法都能解決。如果是比較復雜的問題，用算術方法解決會非常困難，而代數方法會越來越有優勢。這一單元我們就一起來研究列方程解平面圖形問題。例1：長方形ABFE的寬是8厘米，如果長增加4.5厘米，得到新圖形ABCD的面積是168平方厘米。如下圖，求原長方形的面積。由于新圖形的寬與原長方形相同，學生會逆向思考，求出新長方形的長，用算術方法解決問題。1688=21（厘米）（21-4.5）8=132（平方厘米）根據題意，新長方形的長比原長方形的長多4.5厘米，我們可以利用這一關系設未知數，利用新長方形的面積是168平方厘米列方程。解：設原長方形的長為x厘米，根據題意列方程得： （x4.5）8=168 x4.5=21 x=16.516.58=132（平方厘米）答：原長方形的面積為132平方厘米。由于長方形的長是未知的，用算術方法解決問題需要逆向思考，根據面積求出邊長；而代數方法則是用字母表示未知數量，直接應用面積的計算方法列出方程。在解決復雜問題時，用代數的方法，正向思考會更簡單。例2：在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小相同的小長方形（如圖），求小長方形的寬。題目中大、小長方形長與寬的關系比較隱蔽，我們必須認真觀察圖形，找到數量之間的關系。請同學們認真觀察圖形，你發現小長方形的長、寬，大長方形長、寬與已知數據之間有哪些關系？通過觀察，引導學生發現：小長方形的長+3個小長方形的寬=大長方形的長=14厘米，小長方形的長+小長方形的寬=大長方形的寬，2個小長方形的寬+6厘米=大長方形的寬。如果設小長方形的寬為x厘米，根據上面的關系式你能找到相等的關系嗎？由小長方形的長+3個小長方形的寬=大長方形的長=14厘米可以表示出小長方形長為143x厘米，再根據小長方形的長+小長方形的寬=大長方形的寬，可以表示出大長方形的寬為143xx=142x厘米；根據2個小長方形的寬+6厘米=大長方形的寬，大長方形的寬還可以表示為2x6厘米。利用寬相等可以列出方程。解：設小長方形的寬為x厘米，根據題意列方程為：142x=2x6 4x=8 x=2答：小長方形的寬為2厘米。題目給的條件比較少，同學們要注意從圖中挖掘隱蔽條件，從圖形中分析出大長方形的寬可以用142x和2x6兩種方式表示，根據這一等量關系列方程解答。例3：如圖，將一個三角形紙片折疊一下（如下圖），原來三角形的面積是現在紙片蓋住面積的1.5倍。如果陰影部分的面積是1平方厘米，那么這個三角形的面積是多少平方厘米？折疊后圖形中出現了重疊部分（四邊形DEFG），所以圖形的面積變小了。觀察圖形，你能發現變化前、后圖形面積之間的關系嗎？三角形ABC面積=陰影面積+2個重疊部分的面積，折疊后圖形的面積=陰影面積+1個重疊部分的面積。解：設四邊形DEFG的面積為x平方厘米。Xx1=（x1）1.50.5x=0.5 X=1三角形ABC的面積為：111=3（平方厘米）答：三角形的面積為3平方厘米。用代數方法解決問題，發現圖形面積之間的關系，尋找到等量關系是解決問題的關鍵。而這些關系往往隱藏在圖形之中，需要我們認真觀察圖形，挖掘出隱蔽的數量關系。例4：在直角三角形中截出一個面積最大的正方形（如圖1）。求這個正方形的面積。（單位：厘米）直接觀察圖形，我們很難發現三角形與正方形之間的關系。在這種情況下，我們需要考慮添加輔助線，溝通圖形之間的聯系。連接BD后，就可以把大三角形分成兩部分，即三角形ABD和三角形BDC，這兩部分都與正方形有直接聯系，正方形的邊長是每個三角形的高，只要用字母表示正方形的邊長，就能表示出每個三角形的面積。這樣題目的等量關系就顯現出來了：三角形ABC的面積等于三角形ABD與三角形BCD的面積和。解：設正方形的邊長為x米。3x27x2=372x=2.12.12.1=4.41（平方厘米）答：這個正方形的面積是4.41平方厘米。直接觀察圖形，我們只知道正方形在三角形之內，他們之間的關系卻很難發現。添加輔助線后，正方形與三角形之間就有了直接聯系，等量關系也顯現出來。用代數方法解決比較復雜的平面圖形問題，添加輔助線是我們經常采用的方法。例5：如下圖，梯形ABCD的面積是45平方厘米，下底AB長10厘米，高EF長6厘米，三角形DOC的面積為5平方厘米，求三角形ABO的面積是多少平方厘米？通過分析，學生可能會用算術方法解決問題。要想求出三角形ABO的面積，需要求出高OF，因為已知梯形的高EF為6厘米，所以只要求出三角形DOC的高OE即可。三角形DOC的面積已知，求它的高，需先求出DC的長度，而DC的長度可由梯形的面積公式求出。4526=15（厘米）52（15-10）=2（厘米）10（6-2）2=20（平方厘米）如果設梯形的上底DC長x厘米，你會列方程解決問題嗎？解：設DC邊長x厘米（x+10）62=45解方程得x=5根據三角形DOC面積為5平方厘米，由三角形面積公式可以求出OE的長：525=2（厘米）所以OF=62=4（厘米）三角形ABO面積=1042=20（平方厘米）如果設三角形ABO的面積為x平方厘米，你會列方程解決問題嗎？整體觀察圖形可以發現，三角形ABC與三角形ABD是等高同底的三角形，它們的面積必相等。在這兩個三角形中，顯然三角形ABO“重疊”一次，如果加上已知的三角形DOC的面積，正好是梯形ABCD的面積又多了一個三角形ABO的面積。所以：三角形ABO面積+梯形ABCD面積=三角形ABD面積三角形ABC面積三角形DOC面積解：設三角形ABO的面積為x平方厘米。X+45=10622+5X=20所以，三角形ABO的面積為20平方厘米。本題用算術方法解答，需要逆向思考，兩次運用面積公式計算邊的長度，用代數方法解答就可以回避逆向思考帶來的麻煩。我們介紹了兩種代數方法，第二種方法更簡單，需要我們有整體觀察發現圖形面積之間關系的能力。例6：如下圖，在三角形ABC中,D為BC邊中點,BF= AB,已知四邊形BDEF的面積是35cm2。求三角形ABC的面積。 通過以前的學習，我們知道如果兩個三角形的底、高有關系，它們的面積之間就有關系。為了便于比較圖形面積之間的關系，我們連接BE。通過觀察比較，你能發現哪些三角形面積之間的關系？ 因為D是BC的中點，所以三角形BDE的面積=三角形CDE的面積，三角形BDA的面積=三角形CDA的面積；因為F是點，所以三角形AEF的面積=2倍三角形BEF的面積。連接BE，設三角形BDE的面積為a，設三角形BFE的面積為b。因為BF= AB，所以SAEF=2SBEF=2b因為D為BC邊中點，所以SBDE=SCDE=aSBDA=SCDA=a3bSBAE=SCAE （等量減等量差相等）設三角形ABC的面積為 “1”思路一：2b+3b=2（2a+b） 5b=4a+2b3b=4a SABC=10a a= b= a+b= 35=150cm2按照思路一也可以列出如下方程組思路二：（2a+b）3=（3b+a）2按照思路二也可以列出如下方程組答：三角形ABC的面積為 150平方厘米。在本題的分析中，通過添加輔助線，觀察、比較圖形的面積，我們發現了很多面積之間的關系，用代數的方法能夠清楚地表示這些關系。在比較中我們主要應用了兩個三角形高相同時，它們面積間的關系與底之間的關系相同。練習應用。1把一個正方形的兩組對邊分別減少5厘米和8厘米后，得到一個長方形，已知長方形的面積比正方形的面積少220平方厘米（如下圖）。求正方形的面積多少？2如下圖所示，有9張相同的小長方形卡片擺成一個大長方形.已知每個小長方形的周長為18厘米，短邊長為4厘米，求大長方形面積是多少平方厘米？3下圖中，梯形ABCD的面積為24平方厘米，AD=5厘米，BC=7厘米，求三角形ABD的面積是多少平方厘米？4如圖，直角三角形ABC內有一個正方形BDEF。已知AB=3厘米，BC=4厘米，AC=5厘米，EG垂直于AC，且EG=0.3厘米，求正方形BDEF的面積。5六張大、小不同的正方形紙片A、B、C、D、E、F，拼成如右圖所示的圖形。已知正方形F（陰影部分）面積是256平方厘米，正方形A的面積是多少平方厘米？6如下圖，正方形ABCD的面積是1，BF=AB，EC=BC。求陰影部分的面積。A B C D F E O 四、趣味驛站。完美長方形一個大長方形若能分割成若干個大小不同的小正方形，則稱為完美長方形。下面長方形是由9個小正方形組成的完美長方形。已知正方形A和B的邊長分別是7和4，你能算出這個完美長方形的面積嗎？ 觀察圖形可以知道，完美長方形中相鄰正方形的邊長之間有著緊密的聯系，若能用兩種不同的形式表示同一個正方形的邊長，或表示出完美長方形的長或寬，即可順利列方程求解。為了敘述方便,我們將圖中各個小正方形分別用字母表示(如下圖)。設最小的正方形邊長為X，因為小正方形A的邊長為7，小正方形B的邊長為4，所以小正方形C的邊長可以表示為7X小正方形D的邊長可以表示為7XX=72X小正方形E的邊長可以表示為7X4=11X小正方形F的邊長可以表示為11X4=15X小正方形G的邊長可以表示為15X4=19X小正方形H的邊長可以表示為7X7=14X觀察大長方形可知：