奧數五年級 教師 :董遠軍 在過去的三百多年里，人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星： （ 1） 1682， 1758， 1834， 1910， 1986，（ ） 你能預測出下一次的大致時間嗎？ 2062 相差 76 你能根據規律在（ ）內填上合適的數嗎？ (3)1, 4， 9， 16,（ ）， 36， (4) 1,2， 3 ,5， 8, 13， 21 ，（ ） （ 1） 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) (2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) 25 34 128 10 象這樣按照一定的規律排列的一組數 ,我們稱為 數列 ,其中每個數都叫做數列的項 ,排在第一列的叫第一項 ,(也叫首項 )一般用 a 1 表示 ,第二列的叫第二項 ,用 a 2表示 , 排在第N列的數叫第 N項 ,用 a n表示 . +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 等差數列 等比數列 斐波拉契數列 平方數列 一、定義： 例 1： 觀察下列數列是否是等差數列： 一般地，如果一個數列從第 2項起，后一項與它的前一項的差等于 同一個常數 ，那麼這個數列就叫做 等差數列 。 這個 常數 叫做 等差數列 的 公差 ， 公差 通常用字母 d表示。 1， 4， 7， 10，（ 13 ）， 16， 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 5， 5， 5， 5， 5， 5， 1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, 19 1、等差數列要求 從第 2項起， 后一項與 前一項 作差 。 不能顛倒。 2、作差的結果要求是 同一個常數。 可以是整數，也可以是。 習 :按規律把下列數列補充完整 ,并且指出那些是等差數列 . 1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,78 81,64,49,36,( ),( ) 35,28,22,17,( ),( ) 1,2,4,7,11,16,( ) 2,3,5,8,12,17,( ) 2,3,5,8,13,( ) 1,3,7,15,( ) 45,55,66,78,( ),( ) 例 : 已知等差數列 1， 4， 7， 10， 13， 16， 求它的第 58項是多少 ? 1 ( 1 ) 3nan 2 4 1 3a 3 7 4 3 1 2 3a 4 1 0 7 3 1 3 3a 5 1 3 1 0 3 1 4 3a 1， 4， 7， 10， 13， 16， 分析 :要求出第 58項必須要找到更簡便的計算方法 ! 如果一個數列 是等差數列，它的公差是 d，那么 ,1a ,2a ,3a ,na ， daa 12daddadaa 2)( 1123 daddadaa 3)2( 1134 daddadaa 4)3( 1145 dnaa n )1(1 等差數列的通項公式： a n = a 1 + ( n 1 ) d . 1. 求等差數列 3， 7， 11， 的第 4， 7， 10項 ； 練一練 解 :已知 a1=3,d=4,n4=4,n7=7,n10=10,求 a4,a7,a10 a4=a1+(n4-1)d a7=a1+(n7-1)d =3+(4-1) 4 =15 =3+(7-1) 4 =27 例 a10=a1+(n10-1)d =3+(10-1) 4 =39 1、求等差數列 3， 5， 7， 9. 的第 10項和第 100項。 2、電影院的座位排列成扇形，第一排有 60個座位，以后每一排都比前一排多兩個座位，共有 50排，請你算出第 32排和第 50排各有多少個座位？ 在計算的過程中，也有可能遇到比較多的要求項數和公差的題目，那么怎么計算呢？例如：在等差數列 5， 9， 13.401中 ,401是第幾項 ?要解決這些問題 ,我們必須從通項公式入手 : a n = a 1 + ( n 1 ) d ( n 1 ) d= a n - a 1 d= (a n - a 1) ( n 1 ) a n = a 1 + ( n 1 ) d ( n 1 ) d= a n - a 1 n 1 = (a n - a 1 ) d n = (a n - a 1 ) d +1 由通項公式我們推導出了怎么樣 去求項數和公差的式子,這兩個公式 非常的重要,希望同學們理解公式的 推導過程. 例 :在等差數列 5， 9， 13.401 中 ,401是第幾項 ? 解 :已知 a1=5,d=4,an=401,求 n=? a n = a 1 + ( n 1 ) d n = (a n - a 1 ) d +1 = (401 - 5 ) 4 +1 =396 4 +1 =100 例 :在 5和 25之間插入 4個數 ,使他們組成等差數列 ,這求這四個數 ? 分析 :要插入這四個數 ,首先必須要利用公式求出公差 . 解 :已知 a1=5, n =6,an=25,求 a2,a3,a4, a5 d= (a n - a 1) ( n 1 ) = (25 - 5 ) (6-1) =20 5 =4 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d a5=a1+4d =5+4 =9 =5+2 4 =13 =5+3 4 =5+4 4 =17 =21 這六個數為 5, 9, 13, 17, 21, 25 4、一個等差數列的第一項是 5.6,第六項是20.6,求它的第四項 . 1、梯子的最高一級寬 32厘米，最低一級寬 110厘米，中間還有 9級，各級的寬度成等差數列，計算中間一級的寬度。 2、甲乙兩人都住在同一胡同的同一側，這一側的門牌號碼是連續的奇數。甲住 21號，乙住 193號。甲、乙兩人的住處相隔著多少個門？ 3、在 12和 60之間插入 3個數，使之組成等差數列。 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 = ？ .)(5050210010012100101 于是，所求的和為 1+100 = 101， 2 + 99 = 101， 3 + 98 = 101， 50 + 51 = 101 21 )( nnaanSn項和公式：等差數列的前 每兩個數之和剛好都為 101,1-100這 100個數剛好組成 50個 101 例：求等差數列 5,15,25,95 各項的和。 分析：要求出各項的和，根據求和公式，我們還必須要知道項數是多少，因此，第一步是利用公式求出項數然后用求和公式來解。 解 :已知 a1=5,d=10,an=95,求 Sn=? * n = (a n - a 1 ) d +1 = (95 - 5 ) 10 +1 = 90 10+1 = 10 Sn = (a 1 +a n) n 2 = (5 +95) 10 2 = 100 10 2 = 500 例：求所有被 4除余 1的兩位數之和。 解：被 4除余 1的所有的兩位數有 13， 17， 21， 97 它們組成了一組公差為 4的等差數列 .其中 a1=13,d=4,an=97,求 Sn=? n = (a n - a 1 ) d +1 = (97 -13 ) 4 +1 = 22 Sn = (a 1 +a n) n 2 = (13 +97) 22 2 =