2 2 線性系統的輸入線性系統的輸入 輸出傳遞函數輸出傳遞函數描述描述 2 3 非線性數學模型的線性化非線性數學模型的線性化 2 4 典型環節的數學模型典型環節的數學模型 第二章第二章線性系統的數學模型線性系統的數學模型 2 1 線性系統的輸入線性系統的輸入 輸出時間函數描述輸出時間函數描述 2 5 建立數學模型的實驗方法簡介建立數學模型的實驗方法簡介 2 6 框圖及其化簡方法框圖及其化簡方法 2 7 信號流程圖信號流程圖 數學模型數學模型 描述系統輸入 輸出變量以及內部各變量描述系統輸入 輸出變量以及內部各變量 之間相互關系的數學表達式 之間相互關系的數學表達式 有了數學模型 就可以應用一定的數學方有了數學模型 就可以應用一定的數學方 法對系統的性能進行定性分析和定量計算 乃法對系統的性能進行定性分析和定量計算 乃 至對系統進行綜合和校正 至對系統進行綜合和校正 對線性定常系統 微分方程是最基本的數對線性定常系統 微分方程是最基本的數 學模型 最常用的數學模型是在此基礎上轉換學模型 最常用的數學模型是在此基礎上轉換 來的傳遞函數和動態結構圖 來的傳遞函數和動態結構圖 建立數學模型的方法有機理分析法和實驗建立數學模型的方法有機理分析法和實驗 辨識法兩種 辨識法兩種 2 2 1 1 線性系統的輸入線性系統的輸入 輸出時間函數描述輸出時間函數描述 線性系統微分方程的編寫步驟 線性系統微分方程的編寫步驟 1 1 確定系統或環節的輸入量和輸出量 選確定系統或環節的輸入量和輸出量 選 取必要的中間變量 取必要的中間變量 2 2 從輸入端開始 根據決定各變量之間相從輸入端開始 根據決定各變量之間相 互關系的物理 化學等定律 一一寫出相關變互關系的物理 化學等定律 一一寫出相關變 量的微分 或代數 方程式 量的微分 或代數 方程式 3 3 消去中間變量 寫出只含有系統輸入和消去中間變量 寫出只含有系統輸入和 輸出變量的微分方程 輸出變量的微分方程 4 4 將結果標準化 即含輸出量的項寫在等將結果標準化 即含輸出量的項寫在等 式左邊 含輸入量的項寫在等式右邊 且都按式左邊 含輸入量的項寫在等式右邊 且都按 微分的高階到低階排列 其形式為 微分的高階到低階排列 其形式為 11 011 1 1 1 1 nn mm nn ddd c tac tac ta c t nn dt dtdt mm ddd br tbr tbr tb r t mm dt dtdt 解解 畫出小車受力圖 畫出小車受力圖 求求彈簧彈簧 阻尼阻尼 質量的機械位移系統的微分方程 質量的機械位移系統的微分方程 K K為彈為彈 簧的彈性系數 簧的彈性系數 f f為阻尼器的阻尼系數 忽略小車與地為阻尼器的阻尼系數 忽略小車與地 面的摩擦 試寫出以外力面的摩擦 試寫出以外力F F為輸入 以位移為輸入 以位移y y為輸出的系為輸出的系 統微分方程 統微分方程 阻尼器阻力為阻尼器阻力為 dt dy f 由牛頓運動定律 有由牛頓運動定律 有 Ky彈簧力為彈簧力為 y td d my dt d fKyF 2 2 該系統微分方程為 該系統微分方程為 FKyy dt d fy td d m 2 2 例例1 1 彈簧 彈簧 阻尼阻尼 質量的機械位移系統質量的機械位移系統 把 代入 并進行整理得 把 代入 并進行整理得 解 解 1 1 確定輸入輸出量確定輸入輸出量 iu 輸入輸入 ou 輸出輸出 iu ou LR C i 例例2 2 RLCRLC串聯電路串聯電路 這是一個線性定常二階微分方程 這是一個線性定常二階微分方程 2 2 列寫微分方程列寫微分方程 iuidt C Ri dt di L 1 dt du Ci o 3 3 消去中間變量消去中間變量 iooo uuu t d d RCu t d d LC 2 2 微分方程是描述線性系統的一種基本的微分方程是描述線性系統的一種基本的 數學模型 在確定的初始條件和輸入信號作數學模型 在確定的初始條件和輸入信號作 用下 通過對微分方程的求解 便可得到系用下 通過對微分方程的求解 便可得到系 統的輸出響應 從而分析評價系統的性能 統的輸出響應 從而分析評價系統的性能 研究系統參數的變化對性能的影響 研究系統參數的變化對性能的影響 但是高階微分方程的求解是比較困難的 但是高階微分方程的求解是比較困難的 而且分析系統的結構參數對性能的影響也十分而且分析系統的結構參數對性能的影響也十分 不便 所以對系統進行分析和設計時 通常采不便 所以對系統進行分析和設計時 通常采 用另外一種數學模型用另外一種數學模型 傳遞函數傳遞函數 2 2 2 2 線性系統的輸入線性系統的輸入 輸出傳遞函數描述輸出傳遞函數描述 傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學傳遞函數是經典控制理論中最重要的數學 模型之一 利用傳遞函數 可以 模型之一 利用傳遞函數 可以 不必求解微分方程就可以研究零初始條件不必求解微分方程就可以研究零初始條件 系統在輸入作用下的動態過程 系統在輸入作用下的動態過程 了解系統參數或結構變化對系統動態過程了解系統參數或結構變化對系統動態過程 的影響的影響 分析分析 可以把對系統性能的要求轉化為對傳遞函可以把對系統性能的要求轉化為對傳遞函 數的要求數的要求 綜合綜合 1 1 傳遞函數的定義傳遞函數的定義 線性定常系統的傳遞函數是在零初始條件下 線性定常系統的傳遞函數是在零初始條件下 系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 記為 記為 sR sC sG 一 一 傳遞函數的概念傳遞函數的概念 設線性定常系統的微分方程為 設線性定常系統的微分方程為 1 1 1 1 110 11 trbtr td d btr m td m d btr m td m d b tcatc td d atc n td n d atc n td n d mm nn 1 0 ij a b in jm 式中式中 r t r t 輸入 輸入 c t c t 輸出 輸出 為常系數 取決于系統為常系數 取決于系統 的結構和參數 對于實際系統 的結構和參數 對于實際系統 n n m m n 1 1 1 m1 1 1 as a s a s bsb sbsb sR sC sG n n n m m m 0 在零初始條件下 對上式進行拉氏變換得 在零初始條件下 對上式進行拉氏變換得 1 11 1 011 nn nn mm mm sa sasa C s b sbsbsbR s 傳遞函數 傳遞函數 只要把微分方程中的微分算子只要把微分方程中的微分算子用復用復 dt d 變量變量s表示 把表示 把c t 和和r t 換成相應的象函換成相應的象函 數數C s 和和R s 即可方便的求得系統的傳 即可方便的求得系統的傳 遞函數 反之亦然 遞函數 反之亦然 1 011 mm mm M sb sbsbsb 極點極點 傳遞函數分母多項式的根傳遞函數分母多項式的根 1 11 nn nn D ssa sasa 零點零點 傳遞函數分子多項式的根傳遞函數分子多項式的根 C sM s G s R sD s 表示成零點 極點形式 表示成零點 極點形式 1 0 1 m i i n j j sz C sQ s G sbK R sP s sp i z j p 式中 式中 稱為傳遞函數的零點 稱為傳遞函數的零點 0 Kb 零極點增益零極點增益 稱為傳遞函數的極點 也稱為系統的特征根 稱為傳遞函數的極點 也稱為系統的特征根 將傳遞函數的分子 分母多項式變為首一多項將傳遞函數的分子 分母多項式變為首一多項 式 然后在復數范圍內因式分解 得 式 然后在復數范圍內因式分解 得 2 2 傳遞函數的性質傳遞函數的性質 傳遞函數的概念只適用于線性定常系統 它與傳遞函數的概念只適用于線性定常系統 它與 線性常系數微分方程一一對應 線性常系數微分方程一一對應 傳遞函數僅與系統的結構和參數有關 與系統傳遞函數僅與系統的結構和參數有關 與系統 的輸入無關 的輸入無關 傳遞函數僅描述系統在零初始條件下輸入和輸傳遞函數僅描述系統在零初始條件下輸入和輸 出之間的關系 不反映系統內部中間變量如何傳出之間的關系 不反映系統內部中間變量如何傳 遞 遞 物理性質不同的系統可以具有相同的傳遞函數 物理性質不同的系統可以具有相同的傳遞函數 而在同一系統中 取不同的物理量作為輸入或輸而在同一系統中 取不同的物理量作為輸入或輸 出時 傳遞函數是不同的 出時 傳遞函數是不同的 傳遞函數是傳遞函數是s的有理分式 的有理分式 分母多項式稱為系統分母多項式稱為系統 的特征多項式的特征多項式 一個實際的即物理上可以實現的 一個實際的即物理上可以實現的 對象 總有分子的階次對象 總有分子的階次m小于或等于分母的階次小于或等于分母的階次 n 此時稱為 此時稱為n階系統階系統 di LRiu dt 則傳遞函數為 則傳遞函數為 I s G s U s sG U s I s1 LsR U s I s 例例1 1 RLRL電路如圖所示電路如圖所示 依據電路理論依據電路理論 u R i LsR I sU s L 1 LsR 1 1 R L s R 3 3 傳遞函數的求法傳遞函數的求法 r u c u R C t i tutRitu cr dt tdu Cti C ti 則微分方程為 則微分方程為 c cr dut RCutut dt 對上式進行零初始條件下的拉氏變換得對上式進行零初始條件下的拉氏變換得 1 1 c r u s G s u sRCs sG sR sC 1 1 RCs sur suc 例例2 2 RCRC電路如圖所示電路如圖所示 依據基爾霍夫定律依據基爾霍夫定律 消去中間變量消去中間變量 3 3 傳遞函數的求法傳遞函數的求法 4 4 單位脈沖響應單位脈沖響應 單位脈沖函數單位脈沖函數 t t t 0 t 0 0 t 00 t 0 1 tdt 且且 單位脈沖函數的拉氏變換 單位脈沖函數的拉氏變換 1 tL 當系統輸入信號為當系統輸入信號為 t t 時 系統的輸出響時 系統的輸出響 應稱為脈沖響應 用應稱為脈沖響應 用g t 表示 表示 t 0 t 4 4 單位脈沖響應單位脈沖響應 1 tLsR 可見 可見 脈沖響應函數脈沖響應函數g t 的拉氏變換就是傳的拉氏變換就是傳 遞函數 遞函數 sGsRsGsC 脈沖響應脈沖響應 11 sGLsCLtctg 即 即 tgLsG 所以 線性定常系統的所以 線性定常系統的傳遞函數和脈傳遞函數和脈 沖響應函數包含了關于系統動態特性的相沖響應函數包含了關于系統動態特性的相 同信息 同信息 通過用脈沖輸入信號激勵系統并測量通過用脈沖輸入信號激勵系統并測量 系統的響應 能夠獲得有關系統動態特性系統的響應 能夠獲得有關系統動態特性 的全部信息 的全部信息 即脈沖響應也可作為系統的即脈沖響應也可作為系統的 數學模型 數學模型 實際上 與數值較大的系統時間常數實際上 與數值較大的系統時間常數 相比 持續時間很短的脈動輸入信號可以相比 持續時間很短的脈動輸入信號可以 看作脈沖輸入信號 看作脈沖輸入信號 通常接觸到的自動控制系統都可以看成由這通常接觸到的自動控制系統都可以看成由這 些典型環節組合而成 些典型環節組合而成 2 2 4 4 典型環節的數學模型典型環節的數學模型 從每個元件或設備的動態特性或數學模型來從每個元件或設備的動態特性或數學模型來 看 可以分成為數不多的幾種基本類型 稱它們看 可以分成為數不多的幾種基本類型 稱它們 為典型環節 為典型環節 不管元件是機械式的 電氣式的 熱力式的 不管元件是機械式的 電氣式的 熱力式的 氣力式的 液力式的或其他形式的 只要它們的氣力式的 液力式的或其他形式的 只要它們的 數學模型一樣 就認為它們是同一種基本環節 數學模型一樣 就認為它們是同一種基本環節 特點 輸出不失真 不延遲 成比例地復現輸特點 輸出不失真 不延遲 成比例地復現輸 入信號的變化 入信號的變化 微分方程 微分方程 框圖 框圖 tKrtc 傳遞函數 傳遞函數 KsG K R s C s 階躍響應 階躍響應 c t K 1 0 t r t K K 放大系數 又稱增益放大系數 又稱增益 1 1 比例環節比例環節 實例 實例 R1 i u o u R2 利用利用 虛短虛短 虛虛 斷斷 的概念 可得 的概念 可得 另外 分壓器 齒輪減速器等都是自控系統另外 分壓器 齒輪減速器等都是自控系統 中常見的比例環節 中常見的比例環節 21 R u R u oi 進行拉氏變換 進行拉氏變換 21 R sU R sU oi 傳遞函數 傳遞函數 1 2 R R sU sU sG i o 特點 輸出量延緩地反應輸入量的變化規律 特點 輸出量延緩地反應輸入量的變化規律 當輸入信號為階躍函數時 輸出響應按當輸入信號為階躍函數時 輸出響應按 指數曲線上升 指數曲線上升 微分方程 微分方程 框圖 框圖 d c tc tKr t dt 傳遞函數 傳遞函數 1 K G s s 階躍響應 階躍響應 1 t 0 c t 2 2 慣性環節慣性環節 R s C s 1 K s 慣性時間常數慣性時間常數 1 1 1 1 RCs Cs R Cs sU sU sG i o R R C C i u o u Cs sU Cs R sU oi 1 1 利用運算阻抗的概念及電路定律 利用運算阻抗的概念及電路定律 R1 i u o u R2 C 特點 輸出量與輸入量對時間的積分成正比 特點 輸出量與輸入量對時間的積分成正比 微分方程 微分方程 框圖 框圖 trtc td d T 傳遞函數 傳遞函數 Ts sG 1 階躍響應 階躍響應 T T 積分時間常數積分時間常數 3 3 積分環節積分環節 R s C s Ts 1 1 t 0 c t r t c t 實例 實例 利用運算阻抗的概念 利用運算阻抗的概念 21 Z sU Z sU oi 傳遞函數 傳遞函數 RCsZ Z sU sU sG i o 1 1 2 R i u o u C 利用利用 虛短虛短 虛斷虛斷 的的 概念 可得 概念 可得 RZ 1 Cs Z 1 2 特點 輸出量與輸入量對時間的微分成正比 特點 輸出量與輸入量對時間的微分成正比 微分方程 微分方程 框圖 框圖 tr td d tc 傳遞函數 傳遞函數 ssG 階躍響應 階躍響應 微分時間常數微分時間常數 4 4 微分環節微分環節 1 1 理想微分環節 理想微分環節 R s C s s 1 t 0 c t r t c t 該環節可視為理想微分環節和慣性環節該環節可視為理想微分環節和慣性環節 的串聯組合 的串聯組合 傳遞函數 傳遞函數 1 Ts s sG T T 均為時間常數均為時間常數 2 2 實用微分環節 實用微分環節 當當T T遠小于遠小于1 1時 上式可近似為時 上式可近似為G s G s s s 11 RCs RCs Cs R R sU sU sG i o R R C C i u o u R sU Cs R sU oi 1 利用運算阻抗的概念及電路定律 利用運算阻抗的概念及電路定律 實例 實例 該系統微分方程為 該系統微分方程為 FKyy dt d fy td d m 2 2 5 5 振蕩環節振蕩環節 傳遞函數 傳遞函數 2 1 Y s G s F smsfsK 5 5 振蕩環節振蕩環節 r u 輸入輸入 c u 輸出輸出 ru cu LR C i rccc uuu t d d RCu t d d LC 2 2 傳遞函數 傳遞函數 2 1 1 c r Us G s UsLCsRCs 2 1 cr LCsRCsUsUs 微分方程 微分方程 2 2 2 2 dd c tc tc tKr t dtdt 傳遞函數 傳遞函數 22 21 K G s ss 5 5 振蕩環節振蕩環節 令令 1 n 則則 2 22 2 n nn K G s ss 無阻尼自然振蕩頻率 無阻尼自然振蕩頻率 阻尼比 阻尼比 n 特點 當輸入為階躍信號時 輸出量可能呈現特點 當輸入為階躍信號時 輸出量可能呈現 振蕩特性 振蕩特性 時 時 10 mI eR 0 n 2 1 n j 2 1 n j 極點分布圖極點分布圖 階躍響應 階躍響應 c t t 01 1 單位階躍響應曲線單位階躍響應曲線 0 微分方程 微分方程 框圖 框圖 傳遞函數 傳遞函數 階躍響應 階躍響應 c t 1 0 t r t 6 6 延遲環節延遲環節 純滯后環節 遲滯環節純滯后環節 遲滯環節 trtc s esG 延遲時間延遲時間 R s C s s e 特點 輸出量是輸入量在一定時間特點 輸出量是輸入量在一定時間后的復現后的復現 c t 在實際的控制工程中 有許多系統具在實際的控制工程中 有許多系統具 有傳遞滯后的特征 特別是液壓 氣動和有傳遞滯后的特征 特別是液壓 氣動和 機械傳動系統 機械傳動系統 對于計算機控制系統 由于計算機進對于計算機控制系統 由于計算機進 行數學運算需要一定時間 因此這類系統行數學運算需要一定時間 因此這類系統 也有控制滯后的特征 也有控制滯后的特征 上述六種典型環節是按數學模型的特征上述六種典型環節是按數學模型的特征 來劃分的 因此 它們與系統中的部件不一來劃分的 因此 它們與系統中的部件不一 定能完全相對應 定能完全相對應 一個部件的傳遞函數可以由若干個典一個部件的傳遞函數可以由若干個典 型環節的傳遞函數所組成 反之 若干個部型環節的傳遞函數所組成 反之 若干個部 件傳遞函數的組合 有可能用一個典型環節件傳遞函數的組合 有可能用一個典型環節 的傳遞函數來表示 的傳遞函數來表示 通常自動控制系統均可看成各種典型環通常自動控制系統均可看成各種典型環 節的組合 節的組合 作作業業 2 2 6 6 框圖及其化簡方法框圖及其化簡方法 對于控制系統中的每個元件 環節 可以對于控制系統中的每個元件 環節 可以 用框圖來表示它的功能和信號流向用框圖來表示它的功能和信號流向 方框表示系方框表示系 統或環節的數學模型 指向方框的箭頭表示輸統或環節的數學模型 指向方框的箭頭表示輸 入 從方框出來的箭頭表示輸出 入 從方框出來的箭頭表示輸出 按照信號傳遞關系 從輸入量到輸出量依按照信號傳遞關系 從輸入量到輸出量依 次把各個元件 環節 的方框連接起來 就組次把各個元件 環節 的方框連接起來 就組 成了系統的動態結構圖 框圖 成了系統的動態結構圖 框圖 一 框圖的概念 方塊圖 結構圖 一 框圖的概念 方塊圖 結構圖 系統或環節系統或環節G s R s C s 參考輸入參考輸入 r t 輸出輸出 c t 框圖是描述系統的又一種數學模型 框圖是描述系統的又一種數學模型 框圖不僅直觀地表示了系統中各環節間框圖不僅直觀地表示了系統中各環節間 的關系和信號的傳遞過程 而且通過變的關系和信號的傳遞過程 而且通過變 換的方法可以比較方便地求出系統的傳換的方法可以比較方便地求出系統的傳 遞函數 遞函數 1 1 綜合點 相加點 匯綜合點 相加點 匯 合點 合點 2 2 引出點 分支點 引出點 分支點 在框圖中會用到以下兩個概念 在框圖中會用到以下兩個概念 a a b b a a b b 每個箭頭上的每個箭頭上的 表示信號是相加表示信號是相加 還是相減還是相減 進行相 進行相 加減的量應具有相同加減的量應具有相同 的量綱 的量綱 a a a a a a 引出點引出信號后 引出點引出信號后 不改變原來的信號 不改變原來的信號 二 二 框圖的等效變換和化簡框圖的等效變換和化簡 框圖等效變換的基本原則 框圖等效變換的基本原則 變換前后各變量間的變換前后各變量間的 數學關系保持不變 數學關系保持不變 系統中的各環節有系統中的各環節有串聯 串聯 并聯和反饋并聯和反饋三種基本的連接方三種基本的連接方 法 法 一 環節組合的等效變換 一 環節組合的等效變換 1 1 環節的串聯環節的串聯 1 sGsG i n i 1 sG 3 sG sR sC 2 sG 1 sU 2 sU 依此類推 可得 依此類推 可得 n n個環節串聯 等效傳遞個環節串聯 等效傳遞 函數為各環節傳遞函數的乘積 即 函數為各環節傳遞函數的乘積 即 sR sC G s 321 sGsGsG 2 2 環節的并聯環節的并聯 依此類推 可得 依此類推 可得 n n個環節并聯 等效傳遞個環節并聯 等效傳遞 函數為各環節傳遞函數的代數和 即 函數為各環節傳遞函數的代數和 即 1 sG 3 sG sR sC 2 sG 1 sU 3 sU 2 sU 1 sGsG i n i sR sC G s 321 sGsGsG 3 3 反饋連接反饋連接 sH sR sC sG sE sB 前向通道傳遞函數前向通道傳遞函數 打開反饋后 輸出打開反饋后 輸出C s 與與R s 之比 等價之比 等價 于于C s 與誤差與誤差E s 之比之比 反饋通道傳遞函數反饋通道傳遞函數 主反饋信號主反饋信號B s 與輸出信號與輸出信號C s 之比之比 B s H s C s 開環傳遞函數開環傳遞函數 Open loop Transfer Function 主反饋信號主反饋信號B s 與誤差信號與誤差信號E s 之比之比 B s G s H s E s C s G s E s 負反饋連接時負反饋連接時 E s R s B s 閉環傳遞函數閉環傳遞函數 s sR sC sEsGsC sH sR sC sG sE sB 推導 推導 sCsHsB sBsRsE sCsHsRsGsC 等效傳遞函數 等效傳遞函數 1 sHsG sG sR sC s 如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡 如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡 則要考慮移動某些信號的綜合點和引出點 則要考慮移動某些信號的綜合點和引出點 二 綜合點和引出點的移動 二 綜合點和引出點的移動 等效變換的原則 等效變換的原則 1 1 變換前后引出的信號不變 變換前后引出的信號不變 2 2 變換前后綜合后的信號不變 變換前后綜合后的信號不變 G s 引出點從環節的輸出端移到輸入端 前移 引出點從環節的輸出端移到輸入端 前移 sG 1 sX sY sY 1 sX sG sN sY sY N s 1 sYsGsX sGsN 1 sYsNsX 1 1 引出點的移動 引出點的移動 引出點從環節的輸入端移到輸出端 后移 引出點從環節的輸入端移到輸出端 后移 1 sG sN 11 sXsNsGsX sG 1 sX 1 sX sY sG 1 sX sY sN 1 sX N s 1 G s 把綜合點從環節的輸出端移到輸入端 前移 把綜合點從環節的輸出端移到輸入端 前移 sG 1 sX 2 sX sY sG sN sY 1 sX 2 sX N s 21 sXsGsXsY 21 sGsNsXsGsXsY 1 sG sN 2 2 綜合點的移動 綜合點的移動 1 G s 把綜合點從環節的輸入端移到輸出端 后移 把綜合點從環節的輸入端移到輸出端 后移 1 sX sG 2 sX sY 1 sX sN sG 2 sX sY 1 sX N s sG 2 sX sY 21 sGsXsXsY 21 sNsXsGsXsY 又 sGsN G s 注意注意 相鄰的信號綜合點位置可以互換相鄰的信號綜合點位置可以互換 1 sX 2 sX 3 sX sY 1 sX 3 sX 2 sX sY 同一信號的引出點位置可以互換同一信號的引出點位置可以互換 sG sX sY 1 sX 2 sX sG sX sY 2 sX 1 sX 綜合點和引出點在一般情況下 不能互換 綜合點和引出點在一般情況下 不能互換 所以 一般情況下 綜合點向綜合點移動 所以 一般情況下 綜合點向綜合點移動 引出點向引出點移動 引出點向引出點移動 sG 2 sX 3 sX sX sG 2 sX 3 sX sX 例例2 2 6 6 2 2 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 6 G 解 首先通過移動綜合點消除交錯 解 首先通過移動綜合點消除交錯 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 26 G G 然后按反饋連接的法則從內層到外層依次求解 然后按反饋連接的法則從內層到外層依次求解 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 26 G G 1 G sR sC 2 G 3 236 1 G G G G 4 G 7 G 5 G 1 G sR sC 2 G 34 236 1 G G G G G 7 G 5 G 1 G sR sC 2 G 34 236345 1 G G G G GG G G 7 G 1234 23634512347 1 GG G GC s s R sG G GG G GGG G G G sR sC 7 G 1234 236345 1 GG G G G G GG G G sR sC s 例例2 2 6 6 3 3 閉環控制系統的典型結構圖如下圖所示 求系統 閉環控制系統的典型結構圖如下圖所示 求系統 的輸出的輸出C s C s 1 sG 2 sG sH sR sN sC sE 圖中 圖中 為參考輸入量 為參考輸入量 為擾動輸入量 同時作為擾動輸入量 同時作 用于系統 產生輸出用于系統 產生輸出 sR sN sC 由于由于線性系統滿足疊加原理線性系統滿足疊加原理 因此我們可以先求出 因此我們可以先求出 和和分別作用時系統的輸出 然后再進行疊加得出它們共分別作用時系統的輸出 然后再進行疊加得出它們共 同作用時的輸出同作用時的輸出 sR sN sC 1 1 給定輸入單獨作用下 給定輸入單獨作用下 1 sG 2 sG sH sR sC R sE sB HGG GG sR sC s R R 21 21 1 輸出量為 輸出量為 1 21 21 sR HGG GG sC R 0 sN令令 則有 則有 2 2 擾動輸入單獨作用下 擾動輸入單獨作用下 輸出對擾動的傳遞函數為 輸出對擾動的傳遞函數為 HGG sG sN sC s N N 21 2 1 輸出為 輸出為 1 21 2 sN HGG G sC N 1 sG 2 sG sH sC sB sN sE 1 sG 2 sG sC sN sH 令令R s 0 R s 0 結構圖如下 結構圖如下 3 3 給定輸入和擾動輸入同時作用下 給定輸入和擾動輸入同時作用下 輸出 輸出 sNssRssC N 提示提示 各個傳遞函數 各個傳遞函數都具有相同都具有相同 的分母多項式 稱為控制系統的特征多項式 的分母多項式 稱為控制系統的特征多項式 ss N HGG GG sR sC s R 21 21 1 HGG sG sN sC s N N 21 2 1 根據線性疊加原理 根據線性疊加原理 作作業業 信號流圖信號流圖和框圖類似和框圖類似 都可用來表示系統結構和都可用來表示系統結構和 信號傳送過程中的數學關系信號傳送過程中的數學關系 因而因而信號流圖也是數學信號流圖也是數學 模型一種表示模型一種表示 框圖及其等效變換雖然對分析系統很有效框圖及其等效變換雖然對分析系統很有效 但是但是 對于比較復雜的系統對于比較復雜的系統 方框圖的變換和化簡過程往往方框圖的變換和化簡過程往往 顯得繁瑣顯得繁瑣 費時費時 并易于出錯并易于出錯 如采用信號流圖如采用信號流圖 則則 可利用梅遜公式可利用梅遜公式 不需作變換而直接得出系統中任何不需作變換而直接得出系統中任何 兩個變量之間的數學關系兩個變量之間的數學關系 2 2 7 7 信號流程圖信號流程圖 信號流圖起源于梅遜 信號流圖起源于梅遜 S J MASONS J MASON 利用圖示法來 利用圖示法來 描述線性代數方程 是由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡 描述線性代數方程 是由節點和支路組成的一種信號傳遞網絡 節點節點 表示變量或信號 其值等于表示變量或信號 其值等于 所有進入該節點的信號之和 所有進入該節點的信號之和 支路支路連接兩個節點的定向線段 用連接兩個節點的定向線段 用 支路增益 傳遞函數 表示方支路增益 傳遞函數 表示方 程式中兩個變量的因果關系 程式中兩個變量的因果關系 支路相當于乘法器 信號在支支路相當于乘法器 信號在支 路上沿箭頭單向傳遞 路上沿箭頭單向傳遞 一 信號流圖的組成要素及其術語一 信號流圖的組成要素及其術語 輸入節點輸入節點 源節點源節點 只有輸出的節點 代表系統的輸入變量 只有輸出的節點 代表系統的輸入變量 輸出節點輸出節點 阱點阱點 只有輸入的節點 代表系統的輸出變量 只有輸入的節點 代表系統的輸出變量 輸出節點輸出節點 輸入節點輸入節點 混合節點混合節點 既有輸入又有輸出的節點 若從混合節點引出既有輸入又有輸出的節點 若從混合節點引出 一條具有單位增益的支路 引出信號為輸出節點 一條具有單位增益的支路 引出信號為輸出節點 前向通道前向通道 從輸入節點到輸出節點的通道上通過任何節點從輸入節點到輸出節點的通道上通過任何節點 不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之 乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸 通道通道 沿支路箭頭所指方向經過多個節點的路徑沿支路箭頭所指方向經過多個節點的路徑 開通道開通道 如果通道從某節點開始 終止在另一節點上 如果通道從某節點開始 終止在另一節點上 且通道中每個節點只經過一次 則該通道稱且通道中每個節點只經過一次 則該通道稱 為開通道 為開通道 回路回路 閉通道閉通道 如果通道的終點就是通道的起點 而與任何其它節點如果通道的終點就是通道的起點 而與任何其它節點 相交次數不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環等 相交次數不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環等 如果從一個節點開始 只經過一條支路又回到該節點如果從一個節點開始 只經過一條支路又回到該節點 的 稱為自回環 的 稱為自回環 不接觸回路不接觸回路相互間沒有任何公共節點的回路相互間沒有任何公共節點的回路 ae bf g 回路增益回路增益 回路傳輸回路傳輸 回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益 回路傳輸回路中所有支路增益之乘積稱為回路增益 回路傳輸 前向通道前向通道 從輸入節點到輸出節點的通道上通過任何節點從輸入節點到輸出節點的通道上通過任何節點 不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之 乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸乘積 稱前向通道總增益或前向通道傳輸 回路回路 閉通道閉通道 如果通道的終點就是通道的起點 而與任何其它節點如果通道的終點就是通道的起點 而與任何其它節點 相交次數不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環等 相交次數不多于一次 則稱為閉通道或回路 回環等 如果從一個節點開始 只經過一條支路又回到該節點如果從一個節點開始 只經過一條支路又回到該節點 的 稱為自回環 的 稱為自回環 不接觸回路不接觸回路相互間沒有任何公共節點的回路相互間沒有任何公共節點的回路 x0為源節點 為源節點 x6為阱點 為阱點 x1 x2 x3 x4和和x5為混合為混合 節點 節點 abcdej是一條前向通道 而是一條前向通道 而abcde和和fghi是普通的通是普通的通 道 道 ai不是通道不是通道 因為兩條支路的方向不一致 因為兩條支路的方向不一致 abi也不也不 是通道 因為兩次經過節點是通道 因為兩次經過節點x1 bi是一個閉通道 回環 而是一個閉通道 回環 而bchi不是一個閉通道 不是一個閉通道 因為有兩次經過節點因為有兩次經過節點x2 圖中共有四個回環 即圖中共有四個回環 即bi ch dg和和ef 兩個互不接觸 兩個互不接觸 的回環有三種組合 即的回環有三種組合 即bi ef bi dg和和ch ef 本系統 本系統 沒有三個及三個以上互不接觸的回環 沒有三個及三個以上互不接觸的回環 二二 信號流圖的基本性質信號流圖的基本性質 1 1 以節點代表變量 源點代表輸入量 阱點代表輸出量 以節點代表變量 源點代表輸入量 阱點代表輸出量 用混合節點代表變量或信號的匯合 在混合節點處 出支用混合節點代表變量或信號的匯合 在混合節點處 出支 路的信號等于各支路信號的疊加 路的信號等于各支路信號的疊加 2 2 以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程 信