第五篇 三角形專題十八 幾何初步及平行線、相交線一、考點掃描1、了解直線、線段和射線等概概念的區別，兩條相交直線確定一個交點，解線段和與差及線段的中點、兩點間的距離、角、周角、平角、直角、銳角、鈍角等概念，掌握兩點確定一條直線的性質，角平分線的概念，度、分、秒的換算，幾何圖形的符號表示法，會根據幾何語句準確、整潔地畫出相應的圖形；2、了解斜線、斜線段、命題、定義、公理、定理及平行線等概念，了解垂線段最短的性質，平行線的基本性質，理解對頂角、補角、鄰補角的概念，理解對頂角的性質，同角或等角的補角相等的性質，掌握垂線、垂線段、點到直線的距離等概念，會識辨別同位角、內錯角和同旁內角，會用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補等性質進行推理和計算，會用同位角相等、內錯角相等、或同旁內角互補判定兩條直線平行二、考點訓練1、如圖，ABCD，CFE112，ED平分BEF，ABCDEF0交CD于D，則EDF 2、若一個角的余角是這個角的4倍，則這個角的度數是 3、把63.5用度分秒表示 ，把181818用度表示 4、在平面上畫出四條直線，交點的個數最多應該是（） (A) 4個(B) 5個(C) 6個(D) 8個5、如果兩個角的兩邊分別平行且一個角比另一個角的3倍少30,則這兩個角的度數分別為6、用一副三角板可以作出大于0而小于180的角的個數（） (A) 5個 (B) 10個 (C) 11個 (D)以上都不對7、已知三條直線a,b,c，下列命題中錯誤的是（）(A) 如果ab,bc,那么ac(B) 如果ab,bc,那么ac(C) 如果ab,bc,那么ac(D)如果ab,ac,那么bc8、下列命題中(1)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線；(2)經過一點有且只有一條直線和已知直線平行；(3)過線段AB外一點P作線段AB的中垂線；(4)如果直線l1與l2相交，直線l3與l4相交，那么l1l3；(5)如果兩條直線都與同一條直線垂直，那么這兩條直線平行；(6)兩條直線沒有公共點，那么這兩條直線一定平行；(7)兩條直線與第三條直線相交，如果內錯角相等，則同旁內角互補；其中正確命題的個數為（）(A) 2個 (B) 3個 (C) 4個 (D)5個9、（2005年臨汾市）如圖4，將一副三角板的直角頂點重合，擺放在桌面上，若AOD=145，則BOC=_度10、如圖6，是中國共產主義青年團團旗上的圖案，點A、B、C、D、E五等分圓，則A+B+C+D+E的度數是（ ） A180 B150 C135 D120三、例題剖析1、已知如圖：ACBC,HFAB,CDAB, EDC與CHF互補,求證：DEAC.2、（06年廣安）如圖5，ABCD，若ABE=120， DCE=35，則有BEC=_度3、.如圖，ABCD, A75,C30,則E的度數為 .4、如圖,ABCD,求BAEAEFEFCFCD的度數.專題十九 三角形的概念和全等三角形一、考點掃描1、了解三角形有關概念（內角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高了解三角形的穩定性。三角形兩邊之和大于第三邊。3、探索并掌握三角形中位線的性質。2、全等三角形的性質與判定：（1）性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（對應的 中線 、高線 、 角平分線 也分別相等。）（2）判定:一般三角形有SAS，ASA，AAS、SSS，直角三角形還有HL二、考點訓練1、如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D點到直線AB的距離是_cm2、如圖4，A=65，B=75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內，則1+2的度數為_3、如圖所示，E=F=90，B=C，AE=AF，給出下列結論：1=2；BE=CF；ACNABM；CD=DN，其中正確的結論是_4、如圖5，已知CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點O，且AO平分BAC，那么圖中全等三角形共有_對5、（2006年河南省）如圖6，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是_6、（2006年紹興市）若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有（ ） A2對 B3對 C4對 D6對7、（2006年德陽市）已知ABC的三邊長分別為20cm，50cm，60cm，現要利用長度分別為30cm和60cm的細木條各一根，做一個三角形木架與ABC相似要求以其中一根為一邊，將另一根截成兩段（允許有余料）作為另外兩邊那么另外兩邊的長度（單位：cm）分別為（ ）A10，25 B10，36或12，36 C12，36 D10，25或12，368、（2005年黃岡市）如圖所示，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；S四邊形AEPF=SABC；EF=AP當EPF在ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有（ ） A B C D三、例題剖析1、已知：如圖，ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DGBC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=DB，連結AE、CD（1）求證：AGEDAC；（2）過點E作EFDC，交BC于點F，請你連結AF，并判斷AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論2、（2006年內江市）如圖，在ABD和ACE中，有下列四個等式：AB=AC AD=AE 1=2 BD=CE請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程） 3、例9 已知：如圖A=2B，CD平分ACB， 求證：BC=AD+AC4、已知AOB=900，在AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長線)相交于點D、E 當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖1)，易證：OD+OE=OC 當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，不需證明四、綜合應用1、如圖141，P為RtABC所在平面內任意一點(不在直線AC上)，ACB = 90，M為AB邊中點操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連結PM并延長到點E，使ME = PM，連結DE探究：請猜想與線段DE有關的三個結論；請你利用圖142，圖143選擇不同位置的點P按上述方法操作；經歷之后，如果你認為你寫的結論是正確的，請加以證明；如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖142或圖143加以說明；(注意：錯誤的結論，只要你用反例給予說明也得分)若將“RtABC”改為“任意ABC”，其他條件不變，利用圖144操作，并寫出與線段DE有關的結論(直接寫答案)專題二十 等腰三角形一、考點掃描1、等腰三角形的有關概念；2、等腰三角形的性質：軸對稱圖形；等邊對等角；三線合一3、腰三角形的判斷方法： 等角對等邊；兩條邊相等的三角形4、等邊三角形的性質與判斷方法： 三邊相等，三個角都等于60。二、考點訓練1、如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD為ABC的平分線，則BDC=_（1） （2）2、如圖3，一個頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則1+2=_度3、（06年煙臺市）如圖4，在等腰直角ABC中，B=90，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉60后得到ABC，則BAC等于_（3） （4）4、（06年包頭市）如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工從AC上的一點B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點E離D的距離約為_米（精確到1米）5、（06年諸暨市）等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應為_6、如圖6，等邊ABC，B點在坐標原點，C點的坐標為（4，0），點A關于x軸對稱點A的坐標為_ （6） （7） （8）7、（2006年江陰市）如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，則CDE=_8、（2006年日照市）如圖8，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30 B36 C45 D72三、例題剖析1、如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_ 2、如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長3、（06年常德市）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60，且BQ=BP，連結CQ（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由 4、（2005年江西省）如圖，ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點（1）若AD=BE=CF，問DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論（2）若DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論四、綜合應用1、（06年福建省龍巖14分）如圖，已知拋物線與坐標軸交于A、B、C三點，點A的橫坐標為，過點的直線與軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，于點H若，且（1）確定b、c的值：；（2）寫出點B、P、Q的坐標（其中Q、P用含的式子表示）：；（第28題圖）（3）依點的變化，是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由專題二十一 直角三角形一、考點掃描1、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質和一個三角形是直角三角形的條件。.直角三角形中兩銳角互余；.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；.直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半；2、體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。3、掌握角平分線的性質定理及其逆定理，線段中垂線性質定理及其逆定理。二、考點訓練1直角三角形的兩個銳角的平分線所交成的角的度數是（ ）A、45B、135C、45或135D、以上答案都不對2、等腰直角三角形中，若斜邊和斜邊上的高的和是6cm，則斜邊長是 cm。3、.三角形三個角的度數之比為1：2：3，它的最大邊長等于16cm，則最小邊長是 cm4、如圖，ABC中，ABAC，BAC120度，ADAC，DC5，則BD 。EABCDDABC(4) (5) 5、如圖，ABC中，ABAC，DE是AB的中垂線，BCE的周長為14cm, BC5cm，則AB= 。6、如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD=2AB，若沿過點D的折痕DE將A角翻折，使點A落在BC上的A處，則EAB=_度 (6) (7)7、如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，ADB=30，沿對角線BD折疊（使ABD和EBD落在同一平面內），則A、E兩點間的距離為_8、（06年鹽城）如圖5，AB是O的弦，圓心O到AB的距離OD=1，AB=4，則該圓的半徑是_ (8) (9)9、（2006年河南省）如圖，C、D是兩個村莊，分別位于一個湖的南、北兩端的A和B的正東方向上，且D位于C的北偏東30方向上，CD=6km，則AB=_km10、（05年吉林省）如圖，在RtADB中，D=90，C為AD上一點，則x可能是（ ）A10 B20 C30 D40 （10） （11）11、2006年煙臺市）如圖10，CD是RtABC斜邊上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則A等于（ ）A25 B30 C45 D6012、（2006年包頭市）如圖12，將等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉15后得到ABC，若AC=1，則圖中陰影部分的面積為（ ）A B C D3三、例題剖析1、（06年日照市）如圖，已知等腰RtAOB中，AOB=90，等腰RtEOF中，EOF=90，連接AE、BF求證：（1）AE=BF；（2）AEBF2、如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則ABC+DFE=_3、（2006年包頭市）中華人民共和國道路交通管理條例規定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60的A點行駛到北偏西30的B點，所用時間為15秒（1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速四、綜合應用1、如圖，正方形網格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：在正方形網格的三條不同的實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一實線上；連結三個格點，使之構成直角三角形，小華在下面的正方形網格中作出了RtABC請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網格中各畫出一個直角三角形，并使三個網格中的直角三角形互不全等專題二十二 解直角三角形一、考點掃描BAC1、理解銳角三角形函數角的概念；2、會由已知銳角求它的三角函數，由已知三角函數值求它對應、的銳角 ；3、會運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。4、掌握根據已知條件解直角三角形的方法，運用解直角三角形的知識解決實際問題。具體做到：1）了解某些實際問題中的仰角、俯角、坡度等概念；2）將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型；3）涉及解斜三角形的問題時，會通過作適當的輔助線構造直角三角形，使之轉化為解直角三角形的計算問題而達到解決實際問題二、考點訓練1、在RtABC中，C=90，a = 1 , c = 4 , 則sinA的值是 ( )A、 B、 C、 D、2、在ABC中，已知C=90，sinB=，則cosA的值是 ( ) A B c D3、（2006年海南省）如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60角，若考慮既要符合設計要求，又要節省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL44、如圖，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D點的俯角為30，測得C點的俯角為60，則建筑物CD的高為_米5、半徑為10cm的圓內接正三角形的邊長為 ，內接正方形的邊長為 ，內接正六邊形的邊長為 6、如果sin2 +sin230= 1，那么銳角的度數是（ ）A15 B30 C45 D607、若0cos，則銳角的取值范圍是（） A030 B、30C3060 D30908、為銳角，則sin+cos的值（ ） A小于1 B大于1 C等于1 D不能確定三、例題剖析1、梅華中學九年級數學課外學習小組某下午實踐活動課時，測量朝西教學樓前的旗桿的高度如圖7，當陽光從正西方向照射過來時，旗桿的頂端的影子落在教學樓前的坪地處，測得影長與地面的夾角在同一時刻，測得一根長為1m的直立竹竿的影長恰為4m根據這些數據求旗桿的高度（可能用到的數據：，結果保留兩個有效數字）ABEC圖72、下圖表示一山坡路的橫截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米從A到B、從B到C是兩段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面長100米，它的坡角BAE=5，山坡路BC的坡角CBH=12為了方便交通，政府決定把山坡路BC的坡角降到與AB的坡角相同，使得DBI=5(精確到0O1米) (1)求山坡路AB的高度BE (2)降低坡度后，整個山坡的路面加長了多少米?HABCDMEFNI (sin5=00872，cos5=09962,sin12=02079，cos12=09781)3、如圖，初三年級某班同學要測量校園內國旗旗桿的高度，在地面的C點用測角器測得旗桿頂A點的仰角AFE=60，再沿直線CB后退8米到D點，在D點又用測角器測得旗桿頂A點的仰角AGE=45；已知測角器的高度是16米，求旗桿AB的高度四、綜合應用1、某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=200米，一部拖拉機從O點出發，以每秒6米的速度沿北偏西53方向行駛，設拖拉機的噪聲污染半徑為130米，試問教室A是否在拖拉機噪聲污染范圍內？若不在，請說明理由；若在，求出教室A受污染的時間有幾秒？（已知： sin53080，sin37060，tan37075）專題二十三 相似三角形一、考點掃描1、相似三角形定義：形狀相同的三角形是相似三角形2、相似三角形的判斷(1).兩角對應相等的兩個三角形(2).兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形(3). 三邊對應成比例的兩個三角形3、相似三角形的性質(1).對應角相等,對應線段(對應邊及對應邊上的高線、中線和對應角的平分線)成比例，都等于相似比(2).周長之比等于相似比(3).面積之比等于相似比的平方4、了解圖形 的位似，靈活運用位似將一個圖形放大或縮小；二、考點訓練1、（2006臨安市）如圖，小正方形的邊長均為l，則下列圖中的三角形(陰影部分)與ABC相似的是( )。2、為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，ABCD學校數學興趣小組做了如下的探索：根據科學中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在離樹底（B）8.4米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.4米，觀察者目高CD=1.6米，則樹（AB）的高度約為_米（精確到0.1米）.3、(2006廣安市)如圖, RtABC, 斜邊AC上有一動點D(不與點A、C重合), 過D點作直線截ABC, 使截得的三角形與ABC相似, 則滿足這樣條件的直線共有_條.4、（2006