2008年暑假 M08J22姓 名：生活中的數學2 地板磚中的數學隨著人們生活水平的提高，很多家庭都裝修房子，其中鋪地板磚就是一項重要的美化工作當你看到地板磚展鋪成美麗的圖案時，你是否想到展鋪這美麗圖案的數學原理呢？如果你注意到的話，可能會對下面的簡單分析發生興趣地板磚展鋪的圖形，一般都是用幾種全等的平面圖形展鋪開來的，有時用由直線構成的多邊形組成的圖案，有時用由曲線組成的圖案，千變萬化但是作為基礎還是用平面多邊形展鋪平面有時雖然有曲線，卻常常是由多邊形和圓作適當變化而得到的例如，一個由正方形展鋪的平面圖案(圖177(a)，如果對正方形用圓弧做一些變化(圖177(b)，那么把以上兩個圖形結合起來設計，就可由比較單調的正方形圖案，變化曲線形成花紋圖案了(圖177(c)由于多邊形是構成地板磚展鋪復雜圖形的基礎，因此，下面我們對利用多邊形展鋪平面圖形做些簡要分析例1 怎樣以三角形為基礎展鋪平面圖案分析與解 三角形是多邊形中最簡單的圖形，如果用三角形為基本圖形來展鋪平面圖案， 那么就要考慮三角形的特點由于三角形的三個內角和為180，所以要把三角形的三個角集中到一起，就組成了一個平角如果要在平面上一個點的周圍集中三角形的角，那么必須使這些角的和為兩個平角因此，若把圖178中的三角形的三個內角集中在一起，并進行軸對稱變換或中心對稱變換，就可以得到集中于一點的六個角，它們的和為360，剛好覆蓋上這一點周圍的平面變換的方法見圖179在中心對稱的情況下，三角形不翻折，在軸對稱的情況下，三角形要翻折如果把三角形正、反兩面涂上顏色，那么通過對稱變換，正、反兩面就會明顯地反映出來了由上面的分析可知，用三角形為基本圖形展鋪平面圖案，共有以下四種情況，如圖180例2 怎樣以四邊形為基礎展鋪平面圖案？分析與解 由于四邊形內角和為360，所以，任何四邊形都可以作為基本圖形來展鋪平面圖案圖181中的(a)，(b)，(C)，(d)分別是以矩形、菱形、梯形、一般四邊形為基本圖形的平面展鋪圖案例3 怎樣以正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案？分析與解 用正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案，集中于一點的周圍的正多邊形的各個角的和應是360例如，正五邊形一個內角為正十邊形一個內角為 如果把兩個正五邊形的內角與一個正十邊形的內角加起來，則其和為2108+144=360但是它們并不能用來展鋪平面如果用同種的正n邊形來展鋪平面圖案，在一個頂點周圍集中了m個正n邊形的角由于這些角的和應為360，所以以下等式成立因為m，n都是正整數，并且m2，n2所以m-2，n-2也都必定是正整數所以當n-2=1，m-2=4時，則n=3，m=6；當n-2=2，m-2=2時，則n=4，m=4；當n-2=4，m-2=1時，則n=6，m=3這就證明了只用一種正多邊形展鋪平面圖案，只存在三種情況：(1)由6個正三角形拼展，我們用符號(3，3，3，3，3，3)來表示(見圖182)(2)由4個正方形拼展，我們用符號(4，4，4，4)來表示(見圖183)(3)由3個正六邊形來拼展，我們用符號(6，6，6)來表示(見圖184)如果用兩種正多邊形來拼展平面圖案，那么就有以下五種情況：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)這五種情況中，(3，3，3，4，4)又可有兩種不同的拼展方法，參看下面六種拼展圖形(圖185)用三種正多邊形展拼平面圖形就比較難設計了下面舉出兩例供同學們思考(圖186)有興趣的同學請自己構想出一兩個例子練習二十三1試用三角形和梯形這兩種多邊形拼展平面圖案2試用形如圖187的圖形拼展平面圖案3試用邊長為1的正三角形、邊長為1的正方形和兩腰為1、夾角為120的等腰三角形拼展平面圖案4試用圓弧和多邊形(多邊形可以用圓弧割補)設計一種平面圖案5試用一個正方形，仿照圖176(a)，(b)，(c)的變化方式，設計一種平面圖案河馬難題 a很多年以前，某個部落的首領十分尊崇神圣的河馬。b每年在首領生日的這天，首領和他的收稅官都要用王室的駁船載著河馬到收稅站去。c當地有一個習俗，即要給首領相當于神圣河馬重量的金幣。收稅站也有一個巨大的稱，稱的一邊放河馬，另一邊放金幣。d首領把河馬喂養得特別好，以致于河馬太重，稱桿被折斷了。要修好稱桿只能拖延幾天。e首領非常氣憤，他告訴收稅官。首領：今天我要得到我的金幣，而且必須是準確的數量。如果在日落前稱不出金幣，我就把你斬首。f可憐的收稅官被嚇得幾乎不能想問題。g經過幾個小時的思考后，他突然有了一個好主意。你能猜出是什么主意嗎?h主意確實非常簡單。收稅官把河馬放在船上，記下船的吃水線。i然后他把河馬從船上牽走，把金幣往船上放。當達到相同的吃水線時，船上金幣的重量就相當于河馬的重量。發生在飲水噴泉旁的欺騙手段a約翰住進一座旅館。在他正看報時，一位漂亮姑娘沖進旅館大廳。b然后她跑到飲水噴泉旁，喝了一大口水，走了。c三分鐘后，那女孩又跑回來喝了一大口水，這次在她后面跟著