第八講 交流電的基本概念 正弦量的相量表示時間：2學時重點和難點：正弦量的三要素、有效值、向量表示。目的：讓學生掌握交流電路的概念，掌握正弦交流量的三要素（周期、幅值、初相位），掌握正弦交流量有效值的概念以及其使用意義，掌握正弦量的向量表示方法，掌握向量圖的畫法，掌握旋轉矢量的概念和意義，復習復數運算的方法和幾何意義。教學方法：多媒體演示、課堂講授主要教學內容：一、正弦量的基本概念1、正弦量：大小隨時間按一定規律作周期性變化且在一個周期內平均值為零的電壓、電流稱為交流電。隨時間按正弦規律變化的電壓、電流通稱為正弦電量，或稱為正弦交流電，圖 常見的交流電波形2、正弦量的三要素：1）正弦量的波形圖1）正弦電流的瞬時值表達式 正弦電量在任意瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母來表示，如用分別來表示正弦電流、正弦電壓和正弦電動勢的瞬時值。利用瞬時值表達式可以計算出任意時刻正弦電量的數值。瞬時值的正或負與假定的參考方向比較，便可確定該時刻電量的真實方向。3）正弦量的波形圖和正弦電流的瞬時值表達式表明：一個正弦電量的特征表現在它變化的最大值（）、隨時間變化的快慢（）和起始值（t=0時的數值，它取決于t=0時的角度）三個數值。若將這三個數值代入已選定的sin函數式中就完全確定了這個正弦量。4)相關物理量：a、振幅值正弦量是一個等幅振蕩、正負交替變化的周期函數，振幅值是正弦量在整個振蕩過程中達到的最大值，又稱峰值。通常用大寫字母加下標m來表示。振幅值表示正弦量瞬時值變化的范圍或幅度。b、周期和頻率正弦量變化一周所需的時間稱為周期。通常用T表示，單位為秒(s)。實用單位中還有毫秒(ms)、微秒(s)、納秒(ns)。正弦量一秒內重復變化的次數稱為頻率，用f表示，其單位為赫茲(Hz)。周期和頻率兩者的關系為 周期和頻率表示正弦量變化的快慢程度。周期越短，頻率越高，變化越快。正弦量變化的快慢程度除用周期和頻率表示外，還可用角頻率表示，單位為。因為一個周期經歷了2弧度，所以、T、f之間的關系為 c、相位和初相正弦電量在任意瞬間的變化狀態是由該瞬間的電角度（）決定的。把正弦電量在任意瞬間的電角度稱為相位角，簡稱相位。相位反映了正弦量的每一瞬間的狀態或隨時間變化的進程。相位的單位一般為弧度(rad)。是正弦量在t=0時刻的相位，稱其為正弦量的初相位（角），簡稱初相。初相反映了正弦量在計時起點處的狀態（初始狀態），由它確定正弦量的初始值。正弦量的初相與計時起點(即波形圖上的坐標原點)的選擇有關，且在t=0時，函數值的正負與對應的正負號相同。5）正弦量的三要素：當正弦量的振幅、角頻率、初相確定時，這個正弦量就唯一地確定了。故將振幅、角頻率(或f、T)、初相稱為正弦量的三要素。3、正弦量的相位差：1）正弦電量的相位差對于兩個同頻率的正弦電量而言，雖然都隨時間按正弦規律變化，但是它們隨時間變化的進程可能不同。為了描述同頻率正弦量隨時間變化進程的先后，引入了相位差。這里所述的相位差就是兩個同頻率的正弦量的相位之差，用或帶雙下標表示。設兩個同頻率的正弦量之間的相位差為可見，兩個同頻率正弦電量的相位差，等于它們的初相之差。2）正弦電量的相位差的幾種情況：同頻率正弦量初相相同（即相位差為零）時稱之為同相，如圖 (a)所示的u和i。 如果兩個正弦量到達某一確定狀態（如最大值）的先后次序不同，則稱先到達者為超前，后到達者為滯后，如圖 (b)所示的u1和u2。當12，則稱電壓u1超前電壓u2，或者說電壓u2滯后電壓u1 。 如果兩個正弦量的相位差為(180)，稱之為反相，如圖 (c)所示的電流i1和電流i2。同一正弦量，相反參考方向下的iab和iba反相。 如果兩個正弦量的相位差為/2(90)，稱之為正交，如圖 (d)所示的u和i。圖 54 相位差的幾種情況3）說明：在正弦電路的分析計算中，為了比較同一電路中同頻率的各正弦量之間的相位關系，可選其中一個為參考正弦量，取其初相為零，這樣其它正弦量的初相便由它們與參考正弦量之間的相位差來確定。各正弦量必須以同一時刻為計時起點才能比較相位差，故一個電路中只能有一個參考正弦量，究竟選哪一個則是任意的。4、正弦量的有效值：正弦波是一種周期波，對周期波我們可以用有效值來表征它的大小。正弦電量的有效值是按電流的熱效應來確定的，它根據熱效應相等原理，把正弦電量換算成直流電的數值，即正弦電量的有效值是熱效應與它相等的直流電量的數值。當正弦電流i和直流電流I分別流過阻值相等的電阻時，如果在正弦電流的一個周期內它們所產生的熱量相等，即這一直流電流的數值就稱為正弦電流的有效值。正弦電量的有效值用大寫字母表示。設有兩個相同的電阻R，分別通以周期電流i和直流電流I。當周期電流i流過電阻R時，該電阻在一個周期T內所消耗的電能為當直流電流I流過電阻R時，在相同的時間T內所消耗的電能為根據正弦電量有效值的概念，如令以上兩式相等，亦即由上式可得有效值的定義式為 （54） 由式（54）所示的有效值定義可知：周期電流的有效等于它的瞬時值的平方在一個周期內積分的平均值再取平方根，因此，有效值又稱為方均根值。類似地，可得周期電壓的有效值 （55）若正弦電流，則根據式（54）可得正弦電流有效值與最大值之間的關系為類似地，可得 （56）由此可見，正弦波的有效值為其振幅的倍。有效值可代替振幅作為正弦量的一個要素。二、正弦量的相量表示 正弦電量的瞬時值表達式和波形圖雖然能夠表示正弦量的三要素，說明正弦電量隨時間變化的規律，但是在正弦電路的分析計算中，經常需要將幾個同頻率的正弦量進行代數運算和積分、微分運算，用這兩種表示方法運算十分煩瑣、很不方便，因此有必要尋找出一種能夠表示正弦量卻又便于分析運算的表示方法。所以，用復數表示正弦電量，并由此得出正弦電量的相量表示方法，從而使正弦交流電路的分析和計算得到簡化。1、復數知識：1）復數及其表示形式一個復數是由實部和虛部組成的。復數有多種表達形式，常見的有代數形式、指數形式、三角函數形式和極坐標形式。設A為一復數，其實部和虛部分別為a和b，則復數可用代數形式表示為 復數也可以用由實軸與虛軸組成的復平面上的有向線段來表示。用直角坐標的橫軸表示實軸，以1為單位；縱軸表示虛軸，以j為單位。實軸和虛軸構成復坐標平面，簡稱復平面。在復平面上復數是一個點，它又可用有向線段來表示，如圖中的有向線段OA所示。 圖 復數的相量表示復數還可以用三角形式、極坐標形式表示。根據圖55，可得復數的三角形式為 式中r為復數的模（值），為復數的幅角，可以用弧度或度來表示。r和與a 和b之間的關系為 ； 根據歐拉公式復數的三角形式可轉變為指數形式，即 上述指數形式有時改寫為極坐標形式，即 綜上分析可知，復數的四種形式通過以上公式是可以相互轉化的。 2）復數的運算a、加減法若 則 復數的相加和相減的運算也可以按平行四邊形法在復平面上用向量的相加和相減求得，見圖。 圖 復數代數和的圖解法b、乘除法設兩個復數則或可見，兩個復數相乘時，其模相乘，幅角相加。或 可見，兩個復數相除時，其模相除，幅角相減。圖（a）、（b）為復數乘、除的圖解表示，從圖上可以看出：復數乘、除表示為模的放大或縮小，幅角表示為逆時針旋轉或順時針旋轉。 （a） (b)圖 復數乘、除的圖解示意例1 已知復數和，試計算。解：采用指數形式計算先將代數形式化為指數形式，即或采用極坐標形式計算先將代數形式化為極坐標形式，即則 2、正弦量的相量表示法：正弦量的相量表示法，就是用復數形式來表示正弦量的有效值和初相位，使正弦交流電路的分析和計算轉化為復數運算的一種方法。這種方法使得正弦交流電路的分析計算相當簡便。在線性正弦交流電路中，所有電壓、電流都是同頻率的正弦量。所以，要確定這些正弦量，只要確定它們的有效值和初相位就可以了。設某正弦電流為：其對應的相量表示為： 而式中 是一個與時間無關的復常數，其模是正弦量的有效值，輻角是正弦量的初相，二者是正弦量三要素的兩個要素。當角頻率給定時，它們就完全確定了一個正弦量。由于在正弦電路中，所有電流、電壓都是同頻率的正弦量，頻率常是已知的,便是一個足以表示正弦電流的復數。像這樣一個能表示正弦量有效值及初相的復數就叫做正弦量的相量。相量是一個復數，它表示一個正弦量，所以在符號字母上加上一點，以與一般復數相區別。特別注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等號表示相等的關系，這一關系可用雙箭頭“”符號來表明，亦即，若 3、正弦量的相量圖：相量作為一個復數，也可以在復平面上用有向線段表示，如圖所示。相量在復平面上的圖示稱為相量圖。圖電壓相量圖 相量與的乘積則是時間的復值函數，在復平面上可用恒定角速度逆時針方向旋轉的相量表示。這是因為這一乘積的幅角為，它不是常量而是隨時間的增長而增長的，如果相量的模按它所表示的正弦量的振幅取值，例如U，則該相量旋轉時，在虛軸上的投影為，亦即為該正弦電壓的瞬時值，如圖所示。圖電壓旋轉相量圖必須指出，只有同頻率正弦量的相量才可以畫在同一相量圖上。在相量圖上可以直觀反映各正弦量的相位關系。例2、正弦電壓，正弦電流，寫出和i的相量。解：電壓相量 電流相量 例3、試求下列相量及頻率所對應的正弦量。(1)(2)(3)解：(1) (2) (3)例3、 已知兩個同頻率正弦電流分別為,求,并畫出相量圖。解：設，其相量為（待求），可得 所以 相量圖如圖所示。圖 例3相量圖第九講 電路基本定律的相量形式 時間：2學時重點和難點：電路基本定律的向量形式。目的：讓學生掌握歐姆定律、基爾霍夫電流定律、電壓定律的向量形式，掌握交流電路中阻抗及導納的表現形式，掌握阻抗與導納的串聯、并聯，掌握無源二端網絡的等效復阻抗的計算方法。教學方法：多媒體演示、課堂講授主要教學內容：一、基爾霍夫定律的相量形式1、基爾霍夫電流定律（KCL）的相量形式：根據基爾霍夫節點電流定律，在正弦電路中，對任一節點而言，與它相連接的各支路電流在任一時刻的瞬時值的代數和為零，即根據正弦量的和差與它們相量和差的對應關系，可以推出：正弦電路中任一節點，與它相連接的各支路電流的相量代數和為零，即2、基爾霍夫電壓定律（KVL）的相量形式;根據基爾霍夫回路電壓定律，在正弦電路中，對任一閉合回路而言，各段電壓任一刻瞬時值的代數和為零，即同理可以推出正弦電路中，任一閉合回路，各段電壓的相量代數和為零，即 正弦電路的電流、電壓的瞬時值關系，相量關系都滿足KCL和KVL，而有效值的關系一般不滿足，要由相量的關系決定。因此正弦電路的某些結論不能從直流電路的角度去考慮。二、電路基本元件伏安關系的相量形式在交流電路中，通過電阻元件的電流和它兩端的電壓在任何瞬間都遵循歐姆定律。對于在只含有電阻元件R的電路中，設電流為按照關聯參考方向下電阻的伏安特性，有電阻上電壓相量和電流相量的關系為 它不僅表明了電阻電壓和電流之間有效值的關系，而且包含了相位關系。上式表明：電阻兩端電壓u和電流i 為同頻率同相位的正弦量，它們之間的大小和相位關系如下：； 三、電容元件伏安關系的相量形式在只含有電容元件C的電路中，設加在電容兩端的電壓為 電容在關聯參考方向下的伏安特性關系，則有= 上式表明電容電流和端電壓是同頻率的正弦量，電流超前電壓90。如用表示1/C后，電流和電壓的關系為 或 ， 而 稱為容抗，單位為歐姆。是表示電容對正弦電流阻礙作用大小的一個物理量。與電源的頻率及電容成反比。對于一定的電容C，頻率越高，它呈現的容抗越小；反之越大。換句話說，對于一定的電容C，它對低頻信號呈現的阻力大，對高頻信號呈現的阻力小。在直流情況下，可以看成頻率，電容C相當于開路。因此，很容易得出電容元件具有“通交流、阻直流”或“通高頻、阻低頻”的特性。因此，它在電子電路中可起到隔直、旁路、慮波等作用。容抗的倒數 稱為容納，單位與電導相同，為西門子(S)，它表示電容對正弦電流的導通能力。電容電流相量和電壓相量的關系為 即 四、電感元件伏安關系的相量形式在只含有電感元件L的電路中，設通過電感元件的電流為 在關聯參考方向下電感的伏安特性，則有上式表明電感兩端電壓u和電流i是同頻率的正弦量，電壓超前電流90。如用XL表示L后，電壓和電流有效值關系為或 ,而 稱為感抗，單位為歐姆。，XL是表示電感對正弦電流阻礙作用大小的一個物理量。XL與電源頻率及電感成正比。對于一定的電感L，頻率越高，它呈現的 感抗越大；反之越小。換句話說，對于一定的電感L，對高頻電流呈現的阻力大，對低頻電流呈現的阻力小。在直流情況下，可以看成頻率，電感L相當于短路。因此，很容易得出電感元件具有“阻交流、通直流”或“阻高頻、通低頻”的特性。感抗的倒數 稱為感納，單位與電導相同，為西門子(S)，它表示電感對正弦電流的導通能力。電感電流相量和電壓相量的關系為即 例 1、 已知一個電感元件，接在電壓的電源上。試求：（1） 電感元件的感抗；（2） 關聯參考方向下的電流。 解：（1）電感元件的感抗為（2）電壓的相量為電流的相量為則電流的瞬時值表達式為五、阻抗與導納1、阻抗：圖正弦交流電路阻抗圖 (a)所示為一個含線性電阻、電感和電容等元件，但不含獨立源的無源一端口網絡（又稱二端網絡）N，當它在角頻率為的正弦電壓（或正弦電流）激勵下處于穩定狀態時，其端口電壓相量與電流相量之比，定義為該網絡的阻抗，用大寫字母Z表示，即 上式是歐姆定律的相量形式，阻抗Z的單位是歐姆（）。圖（a）所示的無源一端口網絡可用 (b)的電路模型來等效。對于阻抗的定義式說明如下：（1）若無源一端口網絡N內部只含單個元件R、L或C，由前面可知，對應的阻抗分別為 （2）無源一端口網絡的阻抗Z形式上是由電壓相量與電流相量的比值決定的，本質上它取決于網絡的結構、元件參數和電源的頻率。（3）從定義式可看出，阻抗是一個復數（又稱復阻抗），因此它可以用復數的任一形式表示，常用復數的直角坐標和極坐標兩種形式表示。用直角坐標表示為 其中，實部R是阻抗的電阻分量，虛部X是阻抗的電抗的分量，兩者的單位都是歐姆（）。由于阻抗是復數，所以可以用復數的極坐標形式表示。阻抗的極坐標形式表示為 其中 |Z|為Z的模值，稱為阻抗模，也稱為阻抗，單位是歐姆（）；稱為阻抗角，它表示無源一端口網絡兩端電壓與電流的相位差。所以，阻抗Z綜合反映了電壓與電流間的大小及其相位關系。（4）在復平面內，R、X與Z 組成一直角三角形，如圖（a）所示。這個直角三角形直觀地表示出|Z|、R、X及的關系，常稱為阻抗三角形。圖 阻抗三角形與電壓三角形由圖可知： 若以電流I分別乘阻抗三角向的每一邊，得到如圖（b）所示的電壓三角形。從圖中直觀地看到三個電壓有效值的關系為：，而不是直接相加。（5）根據中的幅角不同，反應了電路結構、參數或頻率的不同。因此，可以把電路阻抗分為以下幾種情況：（即X0，）時，稱電路呈感性，阻抗為電感性阻抗；0（即X0，）時，稱電路呈容性，阻抗為電容性阻抗=0 （即X0，）時，電路呈電阻性（為諧振狀態，將在第六章講解），阻抗為電阻性。2、導納：如圖（a）所示的一端口網絡，若端口上電壓相量和電流相量參考方向一致時，其端口的阻抗為圖導納的定義而阻抗的倒數 定義為一端口網絡的導納，單位是西門子（S）。與阻抗相對應，對導納說明如下：（1）對于由單一元件R、L、C構成的無源一端口網絡的導納分別為其中，是的倒數，稱為感納；的倒數，稱為容納。它們的單位都是西門子（S）。（2）與阻抗一樣，導納Y在數值上等于端口電流相量與端口電壓相量的比值，單口無源網絡的導納Y也是由網絡結構、元件參數和電源頻率決定的，而與電壓、電流相量無關。（3）導納Y 也是一個復數（又稱復導納），常用復數的極坐標和直角坐標兩種形式表示。導納的直角坐標形式為 其中導納的實部G稱為電導，虛部B稱為電納，它們的單位都是西門子（S）。導納的極坐標形式為即 |Y|為導納模，也稱導納，單位是西門子（S），幅角為導納角，它是電流與電壓的相位角。（4）導納的極坐標與直角坐標形式的互換。、組成一電流三角形如圖（a）所示。將電流三角形的每邊除以電壓U得到導納三角形，如圖（b）所示。圖電流三角形和導納三角形由圖（b）可得 或 由電流三角形知，,說明無源一端口網絡端口電流有效值I并不等于各支路電流有效值之和。（5）根據一端口網絡的中的導納角，也可以判別電路性質。例1、 RLC串聯電路如圖522所示，其中,端電壓。試求電路中的電流（瞬時表達式）和各元件的電壓相量。例1圖解：用相量法求解時，可先寫出已知相量和待求相量。本例已知,、和為待求相量，如圖所示,然后計算各部分阻抗。由已知條件，得（感性阻抗）各元件電壓相量為正弦電流為例2、圖示電路中,。求各支路電流和電壓。例2圖解：令（參考相量），設各支路電流相量為、,如圖所示。各阻抗計算如下：設的并聯等效阻抗為,有總的輸入阻抗為 各支路電流和電壓計算如下：第十講 正弦交流電路的分析計算 正弦交流電路中的功率 功率因數的提高及最大功率的計算時間：2學時重點和難點：正弦交流電路向量法求解；有功功率與無功功率的計算目的：讓學生用向量圖分析求解正弦交流電路的主要依據,掌握參考向量的選擇方法，掌握用向量圖分析電路的方法，能熟練應用向量法求解各類實際電路問題；讓學生掌握瞬時功率、平均功率的意義和計算方法，掌握功率因數的概念、意義、計算方法，掌握引起無功功率的原因，掌握無功功率、復功率、視在功率、容量的計算方法。教學方法：多媒體演示、課堂講授主要教學內容：一、正弦交流電路的分析計算對于任意正弦交流電路，只要用相量表示正弦交流電路中的電壓、電流，用阻抗或導納對應直流電路的電阻或電導，所有的運算采用復數運算規則進行，計算電阻電路時的一些公式和方法，就可以完全用到正弦交流電路中來。這就是說，運用相量并引用阻抗及導納，正弦交流電路的計算方法可以仿照電阻電路的處理方法來進行。正弦交流電路的分析，一種是依靠相量圖來解決實際問題，這種方法稱為相量圖法，而把依靠列出相量方程來解決實際問題的方法稱為相量解析法。兩者均屬相量法的范疇，它們的依據是共同的。1、正弦交流電路的相量圖法分析計算：1）對于簡單的正弦交流電路常借助于相量圖進行輔助分析，這樣可以直觀表現出各電量之間的大小和相位關系。畫相量圖時，應遵循以下幾點：a、選擇參考相量；b、畫在同一相量圖上的各電量一定是同頻率的；c、依據歐姆定律及KCL、KVL的相量形式；d、單一參數R、L、C各元件電壓與電流的相量關系；2）參考相量的選取原則：a、串聯電路宜選用電流為參考相量，并聯電路宜選用電壓為參考相量；b、對于較復雜的混聯電路，應根據已知條件綜合考慮。可以選電路內部某并聯部分電壓為參考相量，也可以選其中某部分的電流為參考相量；或選用端電壓或電流為參考相量。例1 并聯電路如圖（a）所示，用相量圖定性表明各電流相量的關系。解：并聯電路宜從兩端電壓入手，選電壓相量為參考相量。先畫相量，如圖（b），再畫并聯支路電流相量。同相，因為該支路是電阻元件組成的。畫時，要注意它和的相位關系，不能說超前角。確實超前電容電壓，但并非是電容兩端的電壓，而是電容電阻兩端的電壓。雖超前，但并非，故繪如圖525（b）中所示，具體角度不定（視元件參數及頻率而定），但必然在第I象限內。最后，由KCL知，運用平行四邊形法則，求和的相量和，即得。例1圖例2 為測定某電感線圈的電感參數L和電阻參數R，可把該線圈與一已知電阻串聯后接在正弦交流電源兩端。用交流電壓表測得電感線圈，電阻和電源兩端的電壓分別為80V、50V和100V，如圖（a）所示。已知：，電源的角頻率為314rad/s。交流電壓表測讀有效值。試求線圈的參數L和R。例2圖解：以電流為參考相量，繪相量圖，I為電流的有效值，其值為50/25=2A。與同相作線段OB，此即為已知電阻的電壓相量，其值為50V，分別以O、B為圓心，對應于100V和80V的長度為半徑作弧相交與A點，電壓三角形OAB表明了線圈電壓，已知電阻電壓和電源電壓的相量關系，即OB和BA的相量和為OA。由余弦定理可以求得電源電壓與電流的相位差角。即由解得如果繪制電壓三角形OAB時，各邊長度比例足夠準確，則角也可以由量角器測得。待測線圈的電壓三角形BCA反映出線圈電壓BA應為其電阻部分電壓RI（BC）與電感部分電壓的相量和，BC與電流相量同相，CA則與電流相量垂直。在直角三角形OCA中得 因而故得 又 得故得 本題如用相量解析法解，可進行如下：令（參考相量）由和 得 (a) (b)聯立(a)、(b)，可解得R和L。2、正弦交流電路的相量法分析計算：前面已指出：在用相量法分析計算時，引入正弦量的相量、阻抗、導納和KCL、KVL的相量形式、歐姆定律的相量形式，它們在形式上與線性電阻電路相似。對于電阻電路有對于正弦交流電路有因此，對正弦交流電路，用相量法分析時，線性電阻電路的各種分析方法和電路定理可推廣用于線性電路的正弦穩態分析，差別僅在于所得電路方程為以相量形式表示的代數方程以及相量形式描述的電路定理，而計算則為復數運算。顯然兩者描述的物理過程之間有很大的差別。例3 正弦交流電路在角頻率均為的兩電壓源作用下的相量模型如圖所示，試用回路電流法求電源對電路提供的電流相量。例3圖解：設回路電流（選兩網孔為獨立回路）、，則兩網孔電流相量方程為即應用克萊姆法則求解方程 因而例4 試用戴維南定理求解圖所示電路的。例4圖解：步驟與求解電阻電路時完全相同。先求移去右側電壓源后的開路電壓，電路如圖529（a）所示。再求圖529（a）電路中電壓源短路后ab兩點等效阻抗，見圖529（）。由圖529（b）可知 最后，在得到的戴維南等效電路（相量模型）兩端聯接原來移去的電壓源，如圖所示。圖 由戴維南等效電路求由此可得 二、三種基本元件的功率1、電阻元件1）瞬時功率在正弦交流電路中，通過電阻元件的電流及其兩端電壓的大小和方向隨時間在變動，電阻吸收的功率也必然是隨時間變化的。把電阻在任一瞬間所吸收的功率稱為，用小寫字母p表示。設u、i參考方向關聯，則瞬時功率等于同一瞬時電壓和電流瞬時值的乘積，即由于電阻元件的電壓、電流同相位，它們的瞬時值總是同時為正或同時為負，所以瞬時功率總為正值。這表明，電阻元件在每一瞬間都在消耗電能，所以電阻元件是耗能元件。2）平均功率由于瞬時功率是隨時間變化的，適用時很不方便，因而工程上所說的功率指的是瞬時功率在一個周期內的平均值，稱為，用大寫字母表示。平均功率又稱為有功功率，它的單位為瓦特（）或千瓦（）。式中是電壓、電流的有效值。2、電容元件1）瞬時功率在電壓、電流取關聯參考方向下，電容元件吸收的瞬時功率為 從瞬時功率的數學表達式可以看出，瞬時功率也是隨時間變化的正弦函數，其幅值為，并以角速度隨時間變化。在一個周期內，瞬時功率的平均值為零，說明電容元件不消耗能量。但這并不意味著電容元件不從電源獲取能量。在第一和第三個T/4內，同為正值或負值，瞬時功率p大于零，這一過程實際是電容將電能轉換為電場能存儲起來，從電源吸取能量。在第二和第四個T/4內，一個為正值，另一個則為負值，故瞬時功率小于零，這一過程實際上是電容將電場能轉換為電能釋放出來。電容不斷地與電源交換能量，在一個周期內吸收和釋放的能量相等，因此平均功率為零，這說明電容不消耗能量，是一個儲能元件。2）平均功率電容元件瞬時功率的平均值，即為平均功率電容元件的平均功率為零，但存在著與電源之間的能量交換，電源要供給它電流，而實際上電源的額定電流是有限的，所以電容元件對電源來說仍是一種負載，它要占用電源設備的容量。3）無功功率不同電容元件與電源進行能量交換的速率是不同的，為了衡量這種能量交換的速率，我們定義瞬時功率的最大值，即能量交換的最大速率為電容元件的，無功功率用大寫字母Q表示 無功功率與有功功率在形式上是相似的，但無功功率不是消耗電能的速率，而是交換能量的最大速率。無功功率雖具有功率的量綱，但它終究不是元件實際消耗的功率，它的單位也與功率的單位有所區別。為了區別無功功率和有功功率，將無功功率的單位命名為乏（），工程上還用到千乏()，。3、電感元件1）瞬時功率在電壓、電流取關聯參考方向下，電感元件吸收的瞬時功率為從瞬時功率的數學表達式可以看出，瞬時功率也是隨時間變化的正弦函數，其幅值為，并以角速度隨時間變化。在一個周期內，瞬時功率的平均值為零，說明電感元件不消耗能量，但電感元件也存在著與電源之間的能量交換。同為正值或負值，瞬時功率p大于零，這一過程實際是電感將電能轉換為磁場能存儲起來，從電源吸取能量。在第二和第四個T/4內，一個為正值，另一個則為負值，故瞬時功率小于零，這一過程實際上是電感將磁場能轉換為電能釋放出來。電感不斷地與電源交換能量，在一個周期內吸收和釋放的能量相等，因此平均功率為零，這說明電感不消耗能量，也是一個儲能元件。2）平均功率電感元件瞬時功率的平均值（即為平均功率）為3）無功功率與電容元件一樣，采用無功功率來衡量這種能量的交換，它仍等于瞬時功率的最大值。電容上無功功率的大小為 Q的單位為（）或千乏()。三、正弦交流電路的功率前面介紹了正弦交流電路中單一元件的功率，但是實際電路可能會由多個不同性質的元件組成，由于電阻要消耗能量，電感、電容元件是儲能元件，并不消耗能量，只是與電源之間進行能量的交換。因此，電路中既要消耗能量，又要進行能量的交換，這時，電路的功率計算就比較復雜。1、有功功率和無功功率無源二端網絡的有功功率為： 有功功率又稱為平均功率，它表示電路吸收或消耗的功率的大小，單位為瓦（W）或千瓦（KW）。稱為功率因數，通常用表示，阻抗角又稱為功率因數角。 無源二端網絡的無功功率為： 無功功率表示的是電路交換能量的最大速率，單位為乏（var）或千乏（Kvar）。由于可能為正，也可能為負，因此無功功率也是可正可負的代數量。在電壓、電流關聯參考方向下，對于感性電路，由于，計算的無功功率為正值。對于容性電路，由于，計算的無功功率為負值。2、視在功率由于交流電路中一般電壓和電流存在相位差，因此正弦電路的平均功率不等于電壓和電流的有效值的乘積。具有功率的形式，但它既不是有功功率，也不是無功功率，我們把它稱為視在功率，用大寫字母S表示，為了與有功功率和無功功率區別，視在功率的單位為伏安（VA）。視在功率是有實際意義的。如交流電源都有確定的額定電壓和額定電流，其視在功率就表示了該電源可能提供最大有功功率，稱為電源的容量。3、功率三角形有功功率、無功功率、視在功率之間的關系可以用一個直角三角形表示，此直角三角形稱為功率三角形，如圖所示。在RLC串聯電路中，如果將功率三角形的三個邊除以電流的有效值，便可以得到電壓三角形。功率三角形與電壓三角形為相似三角形，角即為功率因數角。圖 功率三角形四、功率因數的提高1、功率因數在實際中的意義在交流電路中, 一般負載多為電感性負載,通常它們的功率因數都比較低。交流感應電動機在額定負載時, 功率因數約為0.80.85，輕載時只有0.40.5，空載時更低,僅為0.20.3, 不裝電容器的日光燈的功率因數為0.450.60。功率因數低會引起下述不良后果：1）電源設備的容量不能得到充分的利用2）增加了線路上的功率損耗和電壓降。綜上可知，提高功率因數可以使電源設備的能力得到充分的發揮，并使輸送電能損耗和線路壓降大大減少。因此，提高電網功率因數是增產節電的重要途徑，對國民經濟的發展有著十分重要的意義。2、提高功率因數的方法我們一般可以從兩方面來考慮提高功率因數。一方面是提高自然功率因數, 主要辦法有改進電動機的運行條件、合理選擇電動機的容量、或采用同步電動機等措施；另一方面是采用人工補償, 也叫無功補償，就是在通常廣泛應用的電感性電路中，人為地并聯電容性負載, 利用電容性負載的超前電流來補償滯后的電感性電流, 以達到提高功率因數的目的。圖（a）給出了一個電感性負載并聯電容時的電路圖，圖（b）是它的相量圖。并聯電容前，有，并聯電容后，有，圖 功率因數的提高由圖（b）可以看出又知 代入上式可得 即 應用上式就可以求出把功率因數從提高到所需的電容值。在實用中往往需要確定電容器的個數, 而制造廠家生產的補償用的電容器的技術數據也是直接給出其額定電壓和額定功率 (千伏安)。為此，就需要計算補償的無功功率。因為 所以 代入可得 應該注意，所謂提高功率因數, 并不是提高電感性負載本身的功率因數, 負載在并聯電容前后, 由于端電壓沒變, 其工作狀態不受影響，負載本身的電流、有功功率和功率因數均無變化。提高功率因數只是提高了電路總的功率因數。用并聯電容來提高功率因數, 一般補償到0.9左右即可, 而不是補償到更高, 因為補償到功率因數接近于1時, 所需電容量大, 反而不經濟了。3、工程上常見的提高功率因數的其它方法簡介除了上述常用的采用感性負載兩端并聯電容器的方法提高功率因數外，工程上還采用下列幾種方法來提高功率因數。（1）利用過勵磁的同步電機補償無功功率，提高功率因數。但是由于同步電機造價高、設備復雜，因此這種方法只適用于大功率拖動負載；（2）利用調相電機做無功功率電源。這種裝置調整性能好，在系統出現故障時，還能維持電壓水平，提高了系統運行的穩定性。但是裝置投資大，損耗也比較大，一般裝在電力系統的中樞變壓所；（3）異步電機的同步運行。這種方法電機自身損耗大，因此一般很少采用。例1 圖所示為一日光燈裝置等效電路, 已知P=40 W, U=220 V, I=0.4A, f=50Hz(1) 求此日光燈的功率因數。(2) 若要把功率因數提高到0.9, 需補償的無功功率QC及電容量C各為多少？ 例 1圖解：(1) 因為所以 (2) 由得, 由 利用式(571)可得 即 第十一講 三相電源和三相負載 三相電路的分析和計算時間：2學時重點和難點：三相電源的星型連接；線電壓與相電壓、線電流與相電流；目的：讓學生了解三相電壓的產生過程，掌握三相電源和三相負載的連接方式，掌握三角形連接和星型連接兩種方式下線電壓與相電壓、線電流與相電流之間的關系，掌握相序的概念；讓學生掌握三相三線制與三相四線制電路的特點，熟練掌握對稱三相電路的電壓、電流和功率計算，掌握三相容量和三相負載的功率因數。 教學方法：多媒體演示、課堂講授主要教學內容：一、三相電源三相交流電源是三個單相交流電源按一定方式進行的組合，這三個單相交流電源的頻率相同、最大值相等、相位互差120。對稱三相電動勢的瞬時表達式為 相量表達式為 對稱三相電源的電動勢瞬時值或相量值之和都為零，即 三個電動勢到達最大值（或零）的先后次序稱為相序。如先后次序為U、V、W則稱為正序或順序；否則，W、V、U則稱為負序或逆序。在以后分析中，如不加以說明，均指正序。需要指出，在發電機三相繞組中，哪個是U相可以任意指定，但U相確定之后，比U相滯后120就是V相，比U相超前120的就是W相。在發電廠和變電所中母線通常涂以黃、綠、紅三種顏色，分別表示U、U、W三相。二、三相電源的連接 在實際的電力系統中，發電機三相繞組按要求接成星形或三角形。1、星形（Y形）連接：（a） （b）圖 三相電源的星形連接圖和相量圖發電機三相繞組的末端U2、V2、W2連接在一起用N表示，稱為中點或零點，從該點引出的導線稱為中線。從始端U1、V1、W1引出的三根導線稱為相線或端線，俗稱火線。這樣就構成了星形連接。如圖（a）所示，中線通常接地，所以也稱地線。這種由三根相線和一根中性線所組成的供電方式稱為三相四線制（通常在低壓配電中采用）。每相繞組始端與末端之間的電壓（即相線和中性線之間的電壓）叫相電壓，它的瞬時值用、表示。因為三個電動勢的最大值相等，頻率相同，彼此相位差均為120，所以，三個相電壓的最大值也相等，頻率也相同，相互之間的相位差也是120，即三個相電壓是對稱的。任意兩相始端之間的電壓（即相線和相線之間的電壓）叫線電壓，它的瞬時值用、表示。 在對稱的三相電路中，三相電壓的有效值相等，即 其中UP為相電壓有效值。所以，三相電壓瞬時值表達式可寫成 相應的相量用，表示，相量圖如圖（b）所示。三個線電壓可以表為 其相量分別為 從相量圖中還可以看出，、一和構成一個等腰三角形，它的頂角是120，兩底角是30，從這個等腰三角形的頂點作一垂線到底邊，把分成相等的兩段，得到兩個相等的直角三角形，于是可得其有效值的表示式為 則 同理 由于三相對稱，一般表示式為 可見，當發電機繞組作星形聯結時，三個相電壓和三個線電壓均為三相對稱電壓，各線電壓的有效值為相電壓有效值的倍，而且各線電壓在相位上比各對應的相電壓超前30。 2、三角形（形）連接三相發電機繞組的三角形連接，就是把繞組始末端依次連接，即U2與V1，V2與W1，W2與U1相聯，組成一個閉合回路，由三個連接點引出三根相線就構成三角形連接方式，這種只用三根相線供電的方式稱為三相三線制，如圖所示。 圖 三相電源的三角形聯接圖 圖 三相電源的角接電壓相量圖三角形連接時，相電壓即為繞組電壓，線電壓仍為端線電壓，由圖可看出，線電壓就是相電壓，即 一般式則為 電源三角形連接的線電壓和相電壓的相量圖如圖75所示，這種接法，只能形成三相三線制供電形式，提供一種電壓。注意：三相電源三角形連接時，切勿接錯。當三相繞組正確連接時，三相電動勢對稱，三相電動勢之和為零，閉合回路中無電流。但是，如有一相繞組接反，如圖 (a）中的W相錯接，則從圖 (b)相量圖可知，這時三角形回路內的總電動勢為,這樣，一個大小等于相電動勢2倍的電動勢，在發電機內部產生很大的環行電流，甚至燒壞繞組。為了防止發生這種事故，繞組在作角接時，在連成閉合回路前，應按圖（c）所示，用電壓表檢測閉合回路的開口是否有很高的電壓，核對是否接錯。實際上三相發電機繞組三角形連接用的很少。 圖 接錯的三相三角形連接例1、 有一臺三相發電機，不計繞組本身的阻抗壓降，每相繞組的端電壓數值上等于每相的電動勢，每相繞組的電動勢Ep220 V,試分別求出將繞組按星形和三角形連接時的相電壓和線電壓。 解： 繞組星形連接 繞組三角形連接 如果沒有特殊說明，一般所說三相電源是指對稱電源，而三相電源的電壓指線電壓。三、三相負載的連接方式1、負載星形連接的三相電路：接在三相電路中的三相受電器或分別接在各相電路中的三組單相受電器統稱為三相負載，用、表示。如果負載的電阻相等、電抗相等且阻抗性質相同，即、，于是，這種負載便稱為三相對稱負載，否則就稱為三相不對稱負載。根據負載的對稱