第二章 控制系統的數學模型第二章 控制系統的數學模型 基本概念基本概念 控制系統的微分方程控制系統的微分方程 時域時域 控制系統的微分方程控制系統的微分方程 時域時域 微分方程的建立微分方程的建立 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 控制系統的傳遞函數控制系統的傳遞函數 復域 復域 控制系統的方框圖控制系統的方框圖 方框圖及其等效變換方框圖及其等效變換方框圖及其等效變換方框圖及其等效變換 信號流圖的繪制和化簡信號流圖的繪制和化簡 閉環控制系統的傳遞函數閉環控制系統的傳遞函數 閉環控制系統的傳遞函數閉環控制系統的傳遞函數 Matlab簡介簡介 本章小結本章小結 自動化學院自動化學院 1 本章小結本章小結 基本概念基本概念 數學模型數學模型 是描述系統 是描述系統 或環節或環節 的輸出變量與輸入變量的輸出變量與輸入變量 或內 部變量 或內 部變量 之間關系的數學表達式 之間關系的數學表達式 為什么要建立系統的數學模型 為什么要建立系統的數學模型 以便定量地給出系統中一些變量之間的相互關系以便定量地給出系統中一些變量之間的相互關系 從而對系統從而對系統以便定量地給出系統中一些變量之間的相互關系以便定量地給出系統中一些變量之間的相互關系 從而對系統從而對系統 進行各種分析和設計 包括穩定性和動態響應的性能分析 進行各種分析和設計 包括穩定性和動態響應的性能分析 對于同一個系統而言對于同一個系統而言 根據不同的需要和系統不同的特點根據不同的需要和系統不同的特點 對于同一個系統而言對于同一個系統而言 根據不同的需要和系統不同的特點根據不同的需要和系統不同的特點 數學模型不是唯一的 數學模型不是唯一的 數學模型的形式數學模型的形式 數學模型的形式數學模型的形式 如果只需要反映系統靜態關系如果只需要反映系統靜態關系 就可以用代數方程 就可以用代數方程 如果要表示系統輸入和輸出之間的動態關系如果要表示系統輸入和輸出之間的動態關系 就可以用微 就可以用微 分方程分方程 偏微分方程或差分方程偏微分方程或差分方程 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 2 分方程分方程 偏微分方程或差分方程偏微分方程或差分方程 基本概念基本概念 建立模型的方法 機理建模和實驗建模 建立模型的方法 機理建模和實驗建模 機理建模機理建模 根據系統的運動學或動力學的規律和機理根據系統的運動學或動力學的規律和機理 如機如機 機理建模機理建模 根據系統的運動學或動力學的規律和機理根據系統的運動學或動力學的規律和機理 如機如機 械系統中的牛頓定律 電系統中的克希霍夫定律等 建立系統 的數學表達式 械系統中的牛頓定律 電系統中的克希霍夫定律等 建立系統 的數學表達式 要求已知所有元部件的結構及對應的物理機理 要求已知所有元部件的結構及對應的物理機理 實驗建模實驗建模 人為地給系統施加某種典型的輸入信號人為地給系統施加某種典型的輸入信號 記錄下記錄下 實驗建模實驗建模 人為地給系統施加某種典型的輸入信號人為地給系統施加某種典型的輸入信號 記錄下記錄下 對應的輸出響應數據 通過辨識的方法采用適當的數學模型去對應的輸出響應數據 通過辨識的方法采用適當的數學模型去 模擬逼近該過程模擬逼近該過程 所獲得的數學模型稱為辨識模型所獲得的數學模型稱為辨識模型 模擬逼近該過程模擬逼近該過程 所獲得的數學模型稱為辨識模型所獲得的數學模型稱為辨識模型 不需要了解系統內部情況 但不精確 不需要了解系統內部情況 但不精確 建立模型的基本原則 建立模型的基本原則 準確性準確性 簡化性簡化性 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 3 準確性準確性 簡化性簡化性 基本概念基本概念 系統系統 多個元部件通過某種方式組合在一起所構成的整體 系 統可以分為 多個元部件通過某種方式組合在一起所構成的整體 系 統可以分為 1 集中參數系統集中參數系統 變量僅僅是時間的函數 動態數學模型通常 是微分方程 變量僅僅是時間的函數 動態數學模型通常 是微分方程 分布參數系統分布參數系統 變量不僅是時間函數 而且還是空間的函數 變量不僅是時間函數 而且還是空間的函數 動態數學模型通常是偏微分方程動態數學模型通常是偏微分方程 動態數學模型通常是偏微分方程動態數學模型通常是偏微分方程 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 4 系統的基本概念系統的基本概念 2 線性系統線性系統 滿足滿足疊加原理疊加原理 加和性加和性f 1 2 f 1 f 2 與齊次性與齊次性2 線性系統線性系統 滿足滿足疊加原理疊加原理 加和性加和性f x1 x2 f x1 f x2 與齊次性與齊次性 f kx kf x 的系統 的系統 疊加原理說明兩個不同的疊加原理說明兩個不同的作用函數作用函數同時作用于系統的響應同時作用于系統的響應 等于等于疊加原理說明兩個不同的疊加原理說明兩個不同的作用函數作用函數同時作用于系統的響應同時作用于系統的響應 等于等于 兩個作用函數兩個作用函數單獨作用的響應之和 單獨作用的響應之和 非線性系統非線性系統 不滿足疊加原理的系統不滿足疊加原理的系統 非線性系統非線性系統 不滿足疊加原理的系統不滿足疊加原理的系統 非線性系統對兩個輸入量的響應不能單獨進行計算 因此系統分非線性系統對兩個輸入量的響應不能單獨進行計算 因此系統分 析將比較困難析將比較困難 很難找到一般通用方法很難找到一般通用方法 但在實際系統中但在實際系統中 絕對絕對析將比較困難析將比較困難 很難找到一般通用方法很難找到一般通用方法 但在實際系統中但在實際系統中 絕對絕對 線性的系統是不存在的 通常所謂的線性系統也是在一定的工作線性的系統是不存在的 通常所謂的線性系統也是在一定的工作 范圍內才保證線性的范圍內才保證線性的 范圍內才保證線性的范圍內才保證線性的 判斷下面系統是否是線性系統 判斷下面系統是否是線性系統 a和和b為常數 為常數 btartc 考察是否符合疊加原理考察是否符合疊加原理 令令f x ax b 考察是否符合疊加原理考察是否符合疊加原理 令令f x ax b 對于對于x3 k1 x1 k2 x2 f x3 a k1 x1 k2 x2 b k1 f x1 k2 f x2 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 5 3 1122 1 1 2 2 不符合疊加原理 因此不是線性系統 不符合疊加原理 因此不是線性系統 系統的基本概念系統的基本概念 3 定常系統定常系統 微分方程的各項系數為常數 微分方程的各項系數為常數 時變系統時變系統 系統的微分方程的系數為時間的函數系統的微分方程的系數為時間的函數 時變系統時變系統 系統的微分方程的系數為時間的函數系統的微分方程的系數為時間的函數 本章討論的系統 本章討論的系統 單輸入單輸出集中參數線性定常系統 單輸入單輸出集中參數線性定常系統 可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數定常系統可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數定常系統 可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數定常系統可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數定常系統 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 6 控制系統的微分方程控制系統的微分方程 建立控制系統微分方程的一般步驟建立控制系統微分方程的一般步驟 建立控制系統微分方程的一般步驟建立控制系統微分方程的一般步驟 系統原理系統原理 線路圖線路圖 確定輸入確定輸入 輸出量輸出量 各元件的各元件的 微分方程微分方程 線路圖線路圖輸出量輸出量 微分方程微分方程 標準標準I O之間的之間的 化簡化簡 整理整理 標準標準 形式形式 消去中 間變量 消去中 間變量 之間的之間的 微分方程微分方程 化簡化簡 在建立系統微分方程模型時 應注意在建立系統微分方程模型時 應注意 各元件的信號傳送的單向性各元件的信號傳送的單向性 即前一個元件的輸出是后一個即前一個元件的輸出是后一個各元件的信號傳送的單向性各元件的信號傳送的單向性 即前一個元件的輸出是后一個即前一個元件的輸出是后一個 元件的輸入 一級一級的單向傳送 元件的輸入 一級一級的單向傳送 前后連接的兩個元件中前后連接的兩個元件中 后級對前級的負載效應后級對前級的負載效應 前后連接的兩個元件中前后連接的兩個元件中 后級對前級的負載效應后級對前級的負載效應 最后化成標準形式 與輸入量相關的寫在方程右邊 與輸出最后化成標準形式 與輸入量相關的寫在方程右邊 與輸出 量相關的寫在方程左邊量相關的寫在方程左邊 兩端變量的導數項均按降冪排列兩端變量的導數項均按降冪排列 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 7 量相關的寫在方程左邊量相關的寫在方程左邊 兩端變量的導數項均按降冪排列兩端變量的導數項均按降冪排列 控制系統的微分方程控制系統的微分方程 對任何線性定常系統 假如它的輸出為對任何線性定常系統 假如它的輸出為c t 輸入為 輸入為r t 則系統微分方程模型的一般形式如下 則系統微分方程模型的一般形式如下 01 1 1 1 tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a n n n n n n 01 1 1 1 trb dt tdr b dt trd b dt trd b dtdtdt m m m m m m 有時將輸出的有時將輸出的0階導數項的系數化為階導數項的系數化為1 dtdtdt 對于實際的系統 對于實際的系統 n m 而且大多數系統 而且大多數系統n m 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 8 微分方程的建立 例微分方程的建立 例1 機械位移系統 設一彈簧 質量塊 阻尼 器組成的系統如圖所示 當外力 機械位移系統 設一彈簧 質量塊 阻尼 器組成的系統如圖所示 當外力F t 作用于作用于 系統時系統時 系統將產生運動系統將產生運動 k F t 系統時系統時 系統將產生運動系統將產生運動 假設假設 忽略彈簧和阻尼器的質量 并認為 忽略彈簧和阻尼器的質量 并認為 連接是剛性的連接是剛性的 這樣各處才能同時運動這樣各處才能同時運動 m 連接是剛性的連接是剛性的 這樣各處才能同時運動這樣各處才能同時運動 試寫出外力試寫出外力F t 與質量塊的位移與質量塊的位移y t 之間的之間的 微分方程微分方程 f y t 微分方程微分方程 機理建模 機理建模 阻尼器的作用方式是產生摩擦力 大小與 速度成正比 方向與運動方向相反 阻尼器的作用方式是產生摩擦力 大小與 速度成正比 方向與運動方向相反 彈簧的作用力大小與位移成正比 方向與 運動方向相反 彈簧的作用力大小與位移成正比 方向與 運動方向相反 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 9 微分方程的建立 例微分方程的建立 例1 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 與與 k F t 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 F t 與與y t 然后根據物理定律列寫方程然后根據物理定律列寫方程 tdy mdt tdy ftF 1 阻尼器的阻力阻尼器的阻力 彈簧的恢復力彈簧的恢復力 F2 t F t ky t 重力重力 f y t 2 2 21 dt tyd mtFtFtF 質量塊的運動質量塊的運動 彈簧的恢復力彈簧的恢復力 消去中間變量消去中間變量 化為標準形式化為標準形式 F2 t ky t F1 t 消去中間變量消去中間變量 化為標準形式化為標準形式 f阻尼系數阻尼系數 則令則令 k K mk f k m T 1 2 f 阻尼系數阻尼系數 k 彈性系數 系數為 彈性系數 系數為1 kmkk2 2 2 2 2 tKFty dt tdy T dt tyd T 靜態時系統的輸入與 輸出之比 稱為 靜態時系統的輸入與 輸出之比 稱為比例比例 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 10 dtdt 式中 式中 T為時間常數 為阻尼比 為時間常數 為阻尼比 系數系數或傳遞系數或傳遞系數 微分方程的建立 例微分方程的建立 例2 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 設回路電流為設回路電流為i t 由克希霍夫定由克希霍夫定 律寫出回路方程為律寫出回路方程為 RL Curuc 律寫出回路方程為律寫出回路方程為 R L C電路電路 cr u dt di LRiu C i dt duc 消去中間變量得到描述電路輸入輸出關系的微分方程為消去中間變量得到描述電路輸入輸出關系的微分方程為 i t tuu tdu RC tud LC cc 2 tuu dt RC dt LC rc 2 令令RC T2 L R T1 則 則 tuu d tdu T d tud TT rc cc 2 2 2 21 與前面建立的彈簧與前面建立的彈簧 質量質量 阻尼器系統的微分方程比較 阻尼器系統的微分方程比較 2 2 tdytyd dtdt rc2 2 21 二者的結構相似 若選擇適當的參數 則當輸入相同時 兩個二者的結構相似 若選擇適當的參數 則當輸入相同時 兩個 2 2 2 tKFty dt tdy T dt tyd T 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 11 系統的輸出會具有相同的響應曲線 因此稱二者為系統的輸出會具有相同的響應曲線 因此稱二者為相似系統相似系統 微分方程的建立 例微分方程的建立 例3 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 R R 首先確定輸入和輸出首先確定輸入和輸出 設回路電流為設回路電流為i1 t i2 t 由克 由克 希霍夫定律寫出回路方程為希霍夫定律寫出回路方程為 R1 R2 i1 i 希霍夫定律寫出回路方程為希霍夫定律寫出回路方程為 uruc C2 i2 C1 cc uiRu 221111cr uiRu 1 21 1 1 ii Cdt duc 2 2 1 i Cdt duc 負載效應負載效應 12 消去中間變量消去中間變量i1 t i2 t uc1 得到描述網絡輸入輸出關系 得到描述網絡輸入輸出關系 的微分方程為的微分方程為的微分方程為的微分方程為 rc cc uu dt du CRCRCR dt ud CRCR 212211 2 2 2211 cc du TTT ud TT 2 令令T1 R1C1 T2 R2C2 T3 R1C2則有則有 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 12 rc cc uu dt TTT dt TT 321 2 21 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 L if Ra f E ia La 設電樞控制的它激直流電 動機如圖示 若以電樞電 設電樞控制的它激直流電 動機如圖示 若以電樞電 壓壓為輸入量為輸入量 以電動機以電動機 if Eb m ua 壓壓ua為輸入量為輸入量 以電動機以電動機 的轉角的轉角 m為輸出量 寫出為輸出量 寫出 該電動機的微分方程該電動機的微分方程 ML 該電動機的微分方程該電動機的微分方程 直流電動機直流電動機是將直流電做功轉化為機械功的一個裝置 其是將直流電做功轉化為機械功的一個裝置 其原理原理 是電樞回路產生電樞電流與電機的勵磁磁通相互作用產生電磁 轉矩 是電樞回路產生電樞電流與電機的勵磁磁通相互作用產生電磁 轉矩Md從而拖動負載運動 同時電機轉動會產生一個反電勢作從而拖動負載運動 同時電機轉動會產生一個反電勢作 用于電樞回路用于電樞回路 用于電樞回路用于電樞回路 在建立方程時 作一些在建立方程時 作一些近似近似 不計電樞反應 渦流效應和磁滯 不計電樞反應 渦流效應和磁滯 影響影響 且電機繞組溫度在瞬變過程中不變且電機繞組溫度在瞬變過程中不變 影響影響 且電機繞組溫度在瞬變過程中不變且電機繞組溫度在瞬變過程中不變 電動機既有力學作用 有轉矩 同時又有電學作用 會產生反電動機既有力學作用 有轉矩 同時又有電學作用 會產生反 電勢電勢 即由于電機轉動而產生的電力即由于電機轉動而產生的電力 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 13 電勢電勢 即由于電機轉動而產生的電力即由于電機轉動而產生的電力 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 L if Ra f E ia La 電樞電壓電樞電壓ua為輸入量 電 動機的轉角 為輸入量 電 動機的轉角 m為輸出量 為輸出量 if Eb m ua 圖中 圖中 if為固定的激磁電流 為固定的激磁電流 端電壓端電壓ua ML為負載轉矩為負載轉矩 ML 端電壓端電壓 a L為負載轉矩 為負載轉矩 Ra La分別為電樞電阻和 電感 分別為電樞電阻和 電感 已知已知Kb為電動機反電勢系數 為電動機反電勢系數 Cm為電動機力矩系數 為電動機力矩系數 f為電機為電機 上的粘性摩擦系數上的粘性摩擦系數 J為電動機轉動慣量為電動機轉動慣量 設設電磁轉矩電磁轉矩Mm 電電上的粘性摩擦系數上的粘性摩擦系數 J為電動機轉動慣量為電動機轉動慣量 設設電磁轉矩電磁轉矩 m 電電 樞反電勢樞反電勢Eb 電樞電流 電樞電流ia 解 解 由輸入端開始由輸入端開始 按照信號傳遞順序列寫方程按照信號傳遞順序列寫方程 由輸入端開始由輸入端開始 按照信號傳遞順序列寫方程按照信號傳遞順序列寫方程 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 14 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 L 解解 if Ra f E ia La 解解 由輸入端開始 按照信由輸入端開始 按照信 號傳遞順序列寫方程號傳遞順序列寫方程 if Eb m ua 號傳遞順序列寫方程號傳遞順序列寫方程 1 電樞回路電壓平衡方程電樞回路電壓平衡方程 di ML b a aaaa E dt di LiRu 2電樞的反電動勢電樞的反電動勢 大小與角速度成正比大小與角速度成正比 方向與電樞電壓方向與電樞電壓 dt d KE m bb 2 電樞的反電動勢電樞的反電動勢 大小與角速度成正比大小與角速度成正比 方向與電樞電壓方向與電樞電壓 相反 電動機反電勢系數已知 為相反 電動機反電勢系數已知 為Kb dt amm iCM 3 電磁轉矩方程 電力驅動電機轉動 電動機力矩系數已知 為 電磁轉矩方程 電力驅動電機轉動 電動機力矩系數已知 為Cm dd 2 4 電動機軸上的轉矩平衡方程 電機轉動要克服慣性 摩擦以 及負載 電機上的轉動慣量為 電動機軸上的轉矩平衡方程 電機轉動要克服慣性 摩擦以 及負載 電機上的轉動慣量為J 粘性摩擦系數為 粘性摩擦系數為f 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 15 L mm m M dt d f dt d JM 2 2 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 did 擾動 是擾動 是 一種輸入一種輸入 擾動 是擾動 是 一種輸入一種輸入 b a aaaa E dt di LiRu dt d KE m bb iCM dd 2 一種輸入一種輸入一種輸入一種輸入 消去中間變量消去中間變量i E M 可得到表示電樞電壓可得到表示電樞電壓u 電動機 電動機 amm iCM L mm m M dt d f dt d JM 2 消去中間變量消去中間變量ia Eb Mm 可得到表示電樞電壓可得到表示電樞電壓ua 電動機 電動機 的轉角的轉角 m及負載轉矩及負載轉矩ML之間關系的微分方程 之間關系的微分方程 mmm d KCfR d fLJR d JL 23 L m bma m aa m a MR dM LuC dt KCfR dt fLJR dt JL 23 La L aam MR dt LuC dt d m 若以電機轉速為輸出量 則上式可改寫為若以電機轉速為輸出量 則上式可改寫為 dt La L aambmaaaa MR dt dM LuCKCfR dt d fLJR dt d JL 2 2 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 16 dtdtdt 微分方程的建立 例微分方程的建立 例4 2 La L aambmaaaa MR dt dM LuCKCfR dt d fLJR dt d JL 2 2 TMTTddd 2 若令若令Tm JRa fRa CmKb Ta La Ra Tb fLa fRa CmKb Km Cm fRa CmKb 上式可簡化為 上式可簡化為 L mLma ambmma M J T t M J TT uK t TT t TT d d d d d d 2 2 考慮到電樞回路中的考慮到電樞回路中的La一般較小 可以忽略不計 上式可簡 化為 一般較小 可以忽略不計 上式可簡 化為 Lb MRuCKCfR d JR 若負載轉矩若負載轉矩ML 0 則 則 Laambmaa MRuCKCfR dt JR amm uK d T amm dt 若電樞電阻若電樞電阻Ra很小可以忽略 則有很小可以忽略 則有Kb ua 即電樞電壓與 即電樞電壓與 電機轉速成正比電機轉速成正比 此時稱為此時稱為測速發電機測速發電機 為線性元件為線性元件 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 17 電機轉速成正比電機轉速成正比 此時稱為此時稱為測速發電機測速發電機 為線性元件為線性元件 微分方程的建立 例微分方程的建立 例5 直流電機反饋系統 直流電機反饋系統 解解 解解 與開環系統不同之處為 與開環系統不同之處為 系統輸入為系統輸入為ur 而不是而不是ua 系統輸入為系統輸入為 r 而不是而不是 a L mLma ambmma M J T t M J TT uK t TT t TT d d d d d d 2 2 eKu aa tr uue 設放大器沒有慣性 輸出與輸入成正比設放大器沒有慣性 輸出與輸入成正比 測速發電機輸出為測速發電機輸出為ut 輸入為 輸入為 tt Ku 消去中間變量得消去中間變量得 d d2 消去中間變量得消去中間變量得 mLma mtabmma M TMTT KK KKK t TT t TT d 1 d d d d 2 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 18 L mLma rma M JtJ uKK d 微分方程的建立 例微分方程的建立 例6 齒輪系運動齒輪系運動 分別用下標分別用下標1和和2代表代表齒輪系運動齒輪系運動 分別用下標分別用下標1和和2代表代表 第一 二級齒輪的參數 參數第一 二級齒輪的參數 參數z為為 齒數齒數 r為半徑為半徑 J為轉動慣量為轉動慣量 f齒數齒數 r為半徑為半徑 J為轉動慣量為轉動慣量 f 為阻尼系數 并設 為阻尼系數 并設 為角速度 為角速度 M為轉矩 為轉矩 Mm Mc分別代表原動力轉矩和負分別代表原動力轉矩和負 載轉矩 以載轉矩 以 1為輸出列寫系統的微分方程 為輸出列寫系統的微分方程 解 解 兩個嚙合的齒輪線速度相等 功率相等 兩個嚙合的齒輪線速度相等 功率相等 2211 MM 2211 rr 又因為齒數與半徑成正比又因為齒數與半徑成正比 2 1 2 1 Z Z r r 22 根據力學定軸轉動動靜法 分別寫出齒輪根據力學定軸轉動動靜法 分別寫出齒輪1和齒輪和齒輪2的運動方程的運動方程 m MMf d J 111 1 1 222 2 2 MMf d J c m f dt J 1111 2222 f dt c 消去中間變量得消去中間變量得 ZZdZ 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 19 2 1 12 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 Z Z MMf Z Z f dt d J Z Z J cm 液位流體過程液位流體過程 如圖如圖 Q為流入量為流入量 微分方程的建立 例微分方程的建立 例7 液位流體過程液位流體過程 如圖如圖 Q1為流入量為流入量 也是輸入量 也是輸入量 Q2為流出量 為流出量 h為液為液 位高度位高度 為系統輸出為系統輸出 C為水箱的為水箱的位高度位高度 為系統輸出為系統輸出 C為水箱的為水箱的 截面積 截面積 解解 根據物質守恒定律根據物質守恒定律 dt dh CQQ 21 hk gh Q 2 解解 根據物質守恒定律根據物質守恒定律 因為流體不可壓縮 有因為流體不可壓縮 有 由于通過節流閥的流體是紊流由于通過節流閥的流體是紊流 由流量公式得由流量公式得 hk gh Q 2 2 其中其中g為重力加速度 為重力加速度 為液體密度 為液體密度 為流體系數 為流體系數 由于通過節流閥的流體是紊流由于通過節流閥的流體是紊流 由流量公式得由流量公式得 設節流閥開度固定 則設節流閥開度固定 則 g k 2 為常數 為常數 消去中間變量消去中間變量Q2 則有 則有 1 Qhk dt dh C 這是一個一階非線性微分方程這是一個一階非線性微分方程 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 20 這是一個一階非線性微分方程這是一個一階非線性微分方程 微分方程的建立微分方程的建立 列寫微分方程要注意列寫微分方程要注意 列寫微分方程要注意列寫微分方程要注意 確切反映系統的動態性能 遵循物理定律 確切反映系統的動態性能 遵循物理定律 忽略次要因素忽略次要因素 簡化分析計算簡化分析計算 忽略次要因素忽略次要因素 簡化分析計算簡化分析計算 系統有幾個獨立的儲能元件就是幾階微分方程 系統有幾個獨立的儲能元件就是幾階微分方程 由微分方程模型可以直接求出系統在一定初始條件和特定輸入由微分方程模型可以直接求出系統在一定初始條件和特定輸入 由微分方程模型可以直接求出系統在一定初始條件和特定輸入由微分方程模型可以直接求出系統在一定初始條件和特定輸入 下的輸出響應 從而可以分析系統的性能 下的輸出響應 從而可以分析系統的性能 求解方法之一求解方法之一 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 求解方法之一求解方法之一 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 21 用拉氏變換求解微分方程用拉氏變換求解微分方程 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟是 用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟是 對線性微分方程的每一項進行拉氏變換對線性微分方程的每一項進行拉氏變換 使微分方程變成使微分方程變成 對線性微分方程的每一項進行拉氏變換對線性微分方程的每一項進行拉氏變換 使微分方程變成使微分方程變成 以以s為變量的代數方程 注意為變量的代數方程 注意初始條件初始條件的處理 的處理 求解代數方程求解代數方程 得到輸出變量得到輸出變量象函數象函數的表達式的表達式 求解代數方程求解代數方程 得到輸出變量得到輸出變量象函數象函數的表達式的表達式 將象函數展開成部分分式 將象函數展開成部分分式 對部分分式進行拉氏反變換 得到微分方程的解 對部分分式進行拉氏反變換 得到微分方程的解 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 22 拉氏變換 復習拉氏變換 復習 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 0 fssFtf d 0 0 2 2 2 fsfsFstf d d ff dt 2 fff dt 拉普拉斯反變換 拉普拉斯反變換 通常首先進行部分分式展開 然后查表求拉氏反變換通常首先進行部分分式展開 然后查表求拉氏反變換 11111 s t 1 1 as e at 1 2 1 s t 3 2 1 2 1 s t 22 sin bs b bt 22 cos bs s bt bs bs 2 2 cos b as bte at 2 sin b bte at 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 23 2 2 bas 2 2 s bas bte 微分方程的求解 例微分方程的求解 例1 dd 2 已知系統的微分方程為已知系統的微分方程為 xy dt dy dt yd 23 2 2 初始條件初始條件為輸入變量為輸入變量設設為系統的輸出變量為系統的輸出變量式中式中 120t 求系統的輸出 為 求系統的輸出 為 初始條件初始條件為輸入變量為輸入變量 設設為系統的輸出變量為系統的輸出變量 式中式中 15 0 5 0 120 tyyy txxy 解解 對微分方程進行拉氏變換得對微分方程進行拉氏變換得 解解 對微分方程進行拉氏變換得對微分方程進行拉氏變換得 s sYyssYysysYs 20 2 0 3 3 0 0 2 s 統輸出的拉氏反變換為將初始條件代入可得系統輸出的拉氏反變換為將初始條件代入可得系 2030520305 22 ssss sY 2 1 23 2 ssssss sY 10510 Y將上式展開成部分分式將上式展開成部分分式 21 sss sY將上式展開成部分分式將上式展開成部分分式 tt eety 2 10510 進行拉氏反變換得進行拉氏反變換得 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 24 y 微分方程的求解 例微分方程的求解 例2 1 00 dy Tyrrt dt 用拉氏變換解微分方程用拉氏變換解微分方程 00 y 解 解 方程兩邊進行拉氏變換得方程兩邊進行拉氏變換得 sRsYsTsY 整理得整理得 TsssTsTs sR sY 1 111 1 1 1 方程兩邊進行拉氏反變換得方程兩邊進行拉氏反變換得 T t tt 1 1 T etty 1 r tt 若若 T t e T ty 1 1 T 則則 TsTTs sY 1 11 1 1 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 25 零初始條件下單位脈沖響應是單位階躍響應的導數 零初始條件下單位脈沖響應是單位階躍響應的導數 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 問題的提出問題的提出 問題的提出問題的提出 嚴格的說 幾乎所有元件或系統的運動方程都是非線性方程 嚴格的說 幾乎所有元件或系統的運動方程都是非線性方程 即輸入即輸入 輸出和擾動等之間的關系都是非線性的輸出和擾動等之間的關系都是非線性的 模型精度模型精度即輸入即輸入 輸出和擾動等之間的關系都是非線性的輸出和擾動等之間的關系都是非線性的 模型精度模型精度 越高 模型就越復雜 通常會產生越高 模型就越復雜 通常會產生非線性非線性 非線性微分方程的求解和控制系統性能研究非常復雜非線性微分方程的求解和控制系統性能研究非常復雜 不方不方非線性微分方程的求解和控制系統性能研究非常復雜非線性微分方程的求解和控制系統性能研究非常復雜 不方不方 便 便 通常在建立模型時通常在建立模型時 會在模型精確性和可行性之間做出折衷會在模型精確性和可行性之間做出折衷通常在建立模型時通常在建立模型時 會在模型精確性和可行性之間做出折衷會在模型精確性和可行性之間做出折衷 考慮 考慮 對許多系統來說對許多系統來說 如果研究的是系統在某個如果研究的是系統在某個工作點工作點附近的性附近的性對許多系統來說對許多系統來說 如果研究的是系統在某個如果研究的是系統在某個工作點工作點附近的性附近的性 能 那么把它看作是線性關系 不會產生很大的誤差 同時 能 那么把它看作是線性關系 不會產生很大的誤差 同時 由于線性化以后可以應用疊加原理等由于線性化以后可以應用疊加原理等 使得研究問題非常方使得研究問題非常方由于線性化以后可以應用疊加原理等由于線性化以后可以應用疊加原理等 使得研究問題非常方使得研究問題非常方 便 因此我們要研究非線性微分方程的線性化 便 因此我們要研究非線性微分方程的線性化 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 26 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 在一定的條件下或在一定范圍內把非線性的數學模型化為 線性模型的處理方法稱為非線性數學模型的 在一定的條件下或在一定范圍內把非線性的數學模型化為 線性模型的處理方法稱為非線性數學模型的線性化線性化 線性化的條件線性化的條件 線性化的條件線性化的條件 小偏差理論小偏差理論或或小信號理論小信號理論 在工程實踐中 控制系統都 在工程實踐中 控制系統都 有一個額定的工作狀態和工作點有一個額定的工作狀態和工作點 當變量在當變量在工作點工作點附近作附近作有一個額定的工作狀態和工作點有一個額定的工作狀態和工作點 當變量在當變量在工作點工作點附近作附近作 小范圍的變化時 就滿足這個條件 小范圍的變化時 就滿足這個條件 在工作點附近存在各階導數或偏導數在工作點附近存在各階導數或偏導數 在工作點附近存在各階導數或偏導數在工作點附近存在各階導數或偏導數 線性化的方法 在給定工作點的鄰域將非線性函數展開為線性化的方法 在給定工作點的鄰域將非線性函數展開為 泰勒級數泰勒級數 忽略級數中的高階項后忽略級數中的高階項后 就可得到只包含偏差的就可得到只包含偏差的泰勒級數泰勒級數 忽略級數中的高階項后忽略級數中的高階項后 就可得到只包含偏差的就可得到只包含偏差的 一次項的線性方程 這種線性化方法稱為一次項的線性方程 這種線性化方法稱為小偏差法小偏差法 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 27 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 設非線性函數設非線性函數y f x 如圖所示如圖所示 如果在給定工作點如果在給定工作點y f x 處各處各設非線性函數設非線性函數y f x 如圖所示如圖所示 如果在給定工作點如果在給定工作點y0 f x0 處各處各 階導數均存在 則在階導數均存在 則在y0 f x0 附近將附近將y展開成泰勒級數 展開成泰勒級數 xf ff yy f x 2 0 0 0 xx x x f xfxfy yy f x y0 2 0 0 2 2 2 1 xx x x xf x0 x 0 若偏差若偏差 x x x0很小 可忽略級數中高階無窮小項 上式化為很小 可忽略級數中高階無窮小項 上式化為 xx xf xfxfy 0 x xf xx x x xfxfy 0 0 0 xKxx x x xf xfxfyyy 0 0 00 K表示表示y f x 曲線在曲線在 x0y0 處切線的斜率處切線的斜率 因此非線性函數在工因此非線性函數在工 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 28 K表示表示y f x 曲線在曲線在 x0 y0 處切線的斜率處切線的斜率 因此非線性函數在工因此非線性函數在工 作點處可以用該點的切線方程線性化 作點處可以用該點的切線方程線性化 線性化 例線性化 例1 將液位流體過程在工作點將液位流體過程在工作點 Q6 1 3Qh dh C 將液位流體過程在工作點將液位流體過程在工作點 Q10 6 h0 4 處線性化 處線性化 1 Q dt 解解 設設hQ3 3 解解 設設hQ3 3 hhhQ 3 3 平衡點處有平衡點處有 100 3Qh 將將Q進行進行線性化線性化 hhhQ h 0 3 3 03 hh 0 3 3hh 7503 將將Q3進行進行線性化線性化 h h h h 4 0 0 2 3hh 75 03 0 則則 1100 0 75 03 QQhh hhd C 1 75 0Qh hd C 則則 1100 75 03QQhh dt C 則則 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 29 1 75 0Qh dt C 則則 線性化 例線性化 例2 兩相伺服電機輸入量兩相伺服電機輸入量 輸出量輸出量 設設J為電為電 兩相伺服電機輸入量兩相伺服電機輸入量uk 輸出量輸出量 設設J為電為電 動機轉動慣量 動機轉動慣量 Mf為負載轉矩 為負載轉矩 M為電機轉為電機轉 矩矩 SMM k u 矩矩 假設假設負載轉矩負載轉矩是電動機角速度的非線性函數 是電動機角速度的非線性函數 電樞電樞u驅動電機轉動而產生的電動機的驅動電機轉動而產生的電動機的轉矩轉矩電樞電樞uk驅動電機轉動而產生的電動機的驅動電機轉動而產生的電動機的轉矩轉矩 是電動機角速度和電樞電壓的非線性函數 是電動機角速度和電樞電壓的非線性函數 則可得則可得則可得則可得 轉矩平衡方程轉矩平衡方程 kf uMM dt d J 其中兩個非線性項均需要線性化 其中兩個非線性項均需要線性化 平衡點平衡點 時時u uM MM M dt 平衡點平衡點 0時時uk uk0 Mf Mf0 M M0 由于平衡點處由于平衡點處 0 dt d 000kf uMM 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 30 dt f 線性化 例線性化 例2 d 轉矩平衡方程轉矩平衡方程 平衡點平衡點 時時u uM MM M kf uMM dt d J SMM k u 平衡點平衡點 0時時uk uk0 Mf Mf0 M M0 平衡點處平衡點處0 dt d 000kf uMM 當增加一個當增加一個 時 時 uk uk0 u 0 dM dt 0 0 d dM MM f ff k k kk u u MM uMuM 0 0 00 dM k k k f f u u MM uM d dM M dt d J 0 0 00 0 0 0 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 31 線性化 例線性化 例2 k f u u MM d dM dt d J k uddt 0 0 0 dM k k f u u MM d dM dt d J 0 0 0 設時間參數設時間參數 0 00 0 0 M d dM u M K M d dM JT f k m f m 0 00 0 0 k kmm uK dt d T 則則 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 32 dt 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化 在處理線性化問題時在處理線性化問題時 需要注意以下幾點需要注意以下幾點 在處理線性化問題時在處理線性化問題時 需要注意以下幾點需要注意以下幾點 上述線性化是針對元件的某一上述線性化是針對元件的某一工作點工作點進行的 工作點不同 得進行的 工作點不同 得 到的線性化方程的系數也將不同到的線性化方程的系數也將不同 因此在線性化時必須確定元因此在線性化時必須確定元到的線性化方程的系數也將不同到的線性化方程的系數也將不同 因此在線性化時必須確定元因此在線性化時必須確定元 件的件的工作點工作點 在線性化過程中在線性化過程中 略去了泰勒級數中二階以上的無窮小項略去了泰勒級數中二階以上的無窮小項 如如在線性化過程中在線性化過程中 略去了泰勒級數中二階以上的無窮小項略去了泰勒級數中二階以上的無窮小項 如如 果實際系統中輸入量果實際系統中輸入量變化范圍較大變化范圍較大時 采用小偏差法建立線性 模型必然會帶來 時 采用小偏差法建立線性 模型必然會帶來較大的誤差較大的誤差 線性化后的微分方程通常是線性化后的微分方程通常是增量方程增量方程 在實用上為了簡便通常 直接采用 在實用上為了簡便通常 直接采用y和和x來表示增量 來表示增量 若描述非線性特性的函數具有間斷點 折斷點或非單值關系而 無法作線性化處理時 則控制系統只能應用非線性理論來研究 若描述非線性特性的函數具有間斷點 折斷點或非單值關系而 無法作線性化處理時 則控制系統只能應用非線性理論來研究 本質非線性本質非線性 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 33 傳遞函數傳遞函數 問題的提出問題的提出 為何引入傳遞函數為何引入傳遞函數 問題的提出問題的提出 為何引入傳遞函數為何引入傳遞函數 微分方程模型的優缺點 微分方程模型的優缺點 比較比較直觀直觀 微分方程是時間域描述系統動態性能的數學模 型 在給定外作用以及初始條件下 求解微分方程可以得到 微分方程是時間域描述系統動態性能的數學模 型 在給定外作用以及初始條件下 求解微分方程可以得到 系統的輸出響應系統的輸出響應 系統的輸出響應系統的輸出響應 借助于電子計算機可以迅速而準確的求得結果 借助于電子計算機可以迅速而準確的求得結果 如果如果系統系統的的結構結構改變或某個參數變化時改變或某個參數變化時 就要重新列寫并就要重新列寫并 如果如果系統系統的的結構結構改變或某個參數變化時改變或某個參數變化時 就要重新列寫并就要重新列寫并 求解微分方程 不便于系統的分析和設計 求解微分方程 不便于系統的分析和設計 因此因此 微分方程的方法研究控制系統對于參數變化或結構形式微分方程的方法研究控制系統對于參數變化或結構形式因此因此 微分方程的方法研究控制系統對于參數變化或結構形式微分方程的方法研究控制系統對于參數變化或結構形式 的改變的分析具有的改變的分析具有局限性局限性 用拉氏變換求解線性系統的微分方程時用拉氏變換求解線性系統的微分方程時 可以得到控制系統可以得到控制系統 用拉氏變換求解線性系統的微分方程時用拉氏變換求解線性系統的微分方程時 可以得到控制系統可以得到控制系統 在復域的數學模型在復域的數學模型 傳遞函數傳遞函數 傳遞函數除了表征系統的動 傳遞函數除了表征系統的動 態特性外態特性外 還可以用以研究系統的結構參數的變化對系統性能還可以用以研究系統的結構參數的變化對系統性能 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 34 態特性外態特性外 還可以用以研究系統的結構參數的變化對系統性能還可以用以研究系統的結構參數的變化對系統性能 的影響 的影響 傳遞函數傳遞函數 定義定義 線性定常系統線性定常系統的傳遞函數為的傳遞函數為零初始條件零初始條件下下 系統輸出系統輸出 定義定義 線性定常系統線性定常系統的傳遞函數為的傳遞函數為零初始條件零初始條件下下 系統輸出系統輸出 量的拉氏變換與系統輸入量的拉氏變換之比 量的拉氏變換與系統輸入量的拉氏變換之比 幾點說明幾點說明 幾點說明幾點說明 線性定常系統線性定常系統 不是線性定常的系統是否有傳遞函數不是線性定常的系統是否有傳遞函數 不是線性定常的系統是否有傳遞函數不是線性定常的系統是否有傳遞函數 零初始條件的含義 零初始條件的含義 1系統的輸入在系統的輸入在t 0時才作用于系統時才作用于系統 即在即在t 0時系統輸時系統輸 1 系統的輸入在系統的輸入在t 0時才作用于系統時才作用于系統 即在即在t 0 時系統輸時系統輸 入及其各項導數均為零 入及其各項導數均為零 2輸入量在加于系統之前輸入量在加于系統之前 系統為穩態系統為穩態 即在即在t 0 時輸出時輸出 2 輸入量在加于系統之前輸入量在加于系統之前 系統為穩態系統為穩態 即在即在t 0時輸出時輸出 及其所有導數項為零 及其所有導數項為零 不滿足零初始條件的系統是否有傳遞函數不滿足零初始條件的系統是否有傳遞函數 不滿足零初始條件的系統是否有傳遞函數不滿足零初始條件的系統是否有傳遞函數 系統的響應是系統的響應是零輸入響應零輸入響應和和零狀態響應零狀態響應之和 由于線性系統滿之和 由于線性系統滿 足疊加原理足疊加原理 非零初始條件產生的零輸入響應可以看作是某種非零初始條件產生的零輸入響應可以看作是某種 華中科技大學自動化學院王燕舞華中科技大學自動化學院王燕舞 35 足疊加原理足疊加原理 非零初始條件產生的零輸入響應可以看作是某種非零初始條件產生的零輸入響應可以看作是某種 輸入作用下的響應 輸入作用下的響應 傳遞函數傳遞函數摒棄了非零初始狀態對響應的影 響 來考察系統的特性 摒棄了非零初始狀態對響應的影 響 來考察系統的特性 傳遞函數傳遞函數 dd nn1 dd tcatc dt d atc dt d a mm n n n n n n 1 0 1 1 1 設線性定常系統由 下述 設線性定常系統由 下述n階線性常微分階線性常微分 式中式中c t 是系統輸出量是系統輸出量 r t 是系統輸