對數與對數函數基礎過關1對數：(1) 定義：如果，那么稱 為 ，記作 ，其中稱為對數的底，N稱為真數. 以10為底的對數稱為常用對數，記作_ 以無理數為底的對數稱為自然對數，記作_(2) 基本性質： 真數N為 (負數和零無對數)； ； ； 對數恒等式： (3) 運算性質： loga(MN)_； loga_； logaMn (nR). 換底公式：logaN (a0，a1，m0，m1，N0) .2對數函數： 定義：函數 稱為對數函數，1) 函數的定義域為( ；2) 函數的值域為 ；3) 當_時，函數為減函數，當_時為增函數；4) 函數與函數 互為反函數. 1) 圖象經過點( )，圖象在 ；2) 對數函數以 為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)；4) 函數ylogax與 的圖象關于x軸對稱 函數值的變化特征： 典型例題例1 計算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一 利用對數定義求值設=x,則(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1.方法二 利用對數的運算性質求解= =(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(25)= lg10=.變式訓練1：化簡求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(例2 比較下列各組數的大小.（1）log3與log5;（2）log1.10.7與log1.20.7;（3）已知logblogalogc,比較2b,2a,2c的大小關系.解：（1）log3log31=0,而log5log51=0,log3log5.(2)方法一 00.71,1.11.2,0,即由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二 作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=為減函數，且,bac,而y=2x是增函數，2b2a2c.變式訓練2：已知0a1,b1,ab1，則loga的大小關系是 （ ）A.loga B.C. D.解： C例3已知函數f(x)=logax(a0,a1)，如果對于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，試求a的取值范圍.解：當a1時，對于任意x3，+），都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+）上為增函數，對于任意x3，+），有f(x)loga3. 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，1a3. 當0a1時，對于x3，+），有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+）上為減函數，-f（x）在3，+）上為增函數.對于任意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1對于任意x3，+）都成立，只要-loga31成立即可，loga3-1=loga,即3,a1.綜上，使|f(x)|1對任意x3，+）都成立的a的取值范圍是：(1，3，1）. 變式訓練3：已知函數f（x）=log2(x2-ax-a)在區間（-,1-上是單調遞減函數.求實數a的取值范圍.解：令g(x)=x2-ax-a,則g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的圖象關于直線x=對稱且此拋物線開口向上.因為函數f(x)=log2g(x)的底數21,在區間（-,1-上是減函數，所以g(x)=x2-ax-a在區間（-,1-上也是單調減函數，且g(x)0.解得2-2a2.故a的取值范圍是a|2-2a2.例4 已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點.（1）證明:點C、D和原點O在同一直線上；（2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標.（1）證明 設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題設知x11,x21,則點A、B的縱坐標分別為log8x1、log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以點C、D的坐標分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率為k1=,OD的斜率為由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上.（2）解： 由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x11,知log8x10,故x31=3x1,又因x11,解得x1=,于是點A的坐標為（，log8).變式訓練4：已知函數f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定義域； （2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意義時，有由、得x1,由得xp,因為函數的定義域為非空數集，故p1,f(x)的定義域是(1,p).（2）f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2-（x-）2+ (1xp),當1p，即p3時，0-(x-,log22log2(p+1)-2.當1，即1p3時，0-(x-log21+log2(p-1).綜合可知：當p3時，f(x)的值域是（-,2log2(p+1)-2;當1p3時，函數f(x)的值域是(-,1+log2(p-1).小結歸納1處理對數函數的有關問題，要緊密聯系函數圖象，運用數形結合的思想進行求解.2對數函數值的變化特點是解決含對數式問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到熟練、運用自如的水平，使用時常常要結合對數的特殊值共同分析.3含有參數的指對