1.1直角坐標系，平面上的伸縮變換1.1.1直角坐標系 1.1.2平面上的伸縮變換學習目標：1.回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用.2.了解在伸縮變換作用下平面圖形的變化情況，掌握平面直角坐標系中的伸縮變換(重點)1直角坐標系(1)直線上點的坐標點O，長度單位和選定的方向三者就構成了直線上的坐標系，簡稱數軸直線上的點與全體實數之間就建立了一一對應關系(2)平面直角坐標系取定兩條互相垂直的且有方向的直線和長度單位構成平面上的一個直角坐標系，記為xOy，有序數組(x，y)為點M的坐標在平面上建立了直角坐標系后，平面上的點就與全體有順序的實數對之間建立了一一對應關系(3)空間直角坐標系過空間中一個定點O，作三條互相垂直且有相同長度單位的數軸，就構成了空間直角坐標系在建立了空間直角坐標系后，空間中的點和有序數組(x，y，z)之間建立了一一對應關系2平面上的伸縮變換把點P(x，y)變為平面上新的點Q(X，Y)，伸縮變換的坐標表達式為：，其中a0，b0.特別提醒：(1)在坐標伸縮變換的作用下，可以實現平面圖形的伸縮，因此，平面圖形的伸縮變換可以用坐標的伸縮變換來表示(2)在使用時，要注意點的對應性，即分清新舊：Q(X，Y)是變換后的點的坐標，P(x，y)是變換前的點的坐標思考1：如何根據幾何圖形的幾何特征建立恰當的坐標系？提示如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標原點；如果圖形有對稱軸，可以選對稱軸為坐標軸；若題目有已知長度的線段，以線段所在的直線為x軸，以端點或中點為原點建系原則：使幾何圖形上的特殊點盡可能多地在坐標軸上思考2：如何理解點的坐標的伸縮變換？提示在平面直角坐標系中，點P(x，y)變換到點Q(X，Y)當a1時，是橫向拉伸變換，當0a1時，是縱向拉伸變換，當0b100.所以，埋設地下管線m的計劃不需修改已知伸縮變換求點的坐標和曲線方程【例3】在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換：.(1)求點A(，2)經過變換所得的點A的坐標；(2)求雙曲線C：x21經過變換后所得曲線C的焦點坐標思路探究(1)由伸縮變換求得X，Y.即用x，y表示X，Y.(2)將求得的x，y代入原方程得X，Y間的關系解(1)設點A(X，Y)由伸縮變換：得到又已知點A(，2)于是X31，Y(2)1.變換后點A的坐標為(1，1)(2)設曲線C上任意一點Q(X，Y)，將代入x21，得1，化簡得1，曲線C的方程為1.a29，b216，c225，因此曲線C的焦點F1(5,0)，F2(5,0)解答本題的關鍵：一是根據平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前后點的坐標關系，利用方程思想求解3若將例題中第(2)題改為：如果曲線C經過變換后得到的曲線的方程為x218y，那么能否求出曲線C的焦點坐標和準線方程？請說明理由解設曲線C上任意一點M(x，y)，經過變換后對應點M(X，Y)由得(*)又M(X，Y)在曲線x218y上，X218Y將(*)代入式得(3x)218(y)即x2y為曲線C的方程可見仍是拋物線，其中p，拋物線x2y的焦點為F(0，)準線方程為y.由條件求伸縮變換【例4】在同一平面直角坐標系中，求一個伸縮變換，使得圓x2y21變換為橢圓1.思路探究區分原方程和變換后的方程設伸縮變換公式代入變換后的曲線方程與原曲線方程比較系數解將變換后的橢圓的方程1改寫為1，設伸縮變換為，代入上式得1，即()2x2()2y21.與x2y21比較系數，得所以伸縮變換為因此，先使圓x2y21上的點的縱坐標不變，將圓上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，得到橢圓y21，再將該橢圓的縱坐標伸長到原來的2倍，得到橢圓1.1求滿足圖象變換的伸縮變換，實際上是讓我們求出變換公式，將新舊坐標分清，代入對應的曲線方程，然后比較系數可得2解題時，區分變換的前后方向是關鍵，必要時需要將變換后的曲線的方程改寫成加注上(或下)標的未知數的方程形式4在同一平面坐標系中，求一個伸縮變換使其將曲線y2sin變換為正弦曲線ysin x.解將變換后的曲線的方程ysin x改寫為Ysin X，設伸縮變換為代入Ysin X，bysin ax，即ysin ax.比較與原曲線方程的系數，知所以伸縮變換為即先使曲線y2sin的點的縱坐標不變，將曲線上的點的橫坐標縮短為原來的倍，得到曲線y2sin x；再將其縱坐標縮短到原來的倍，得正弦曲線ysin x.(教材P5習題11T3)伸縮變換的坐標表達式為曲線C在此變換下變為橢圓X21.求曲線C的方程在同一平面直角坐標系中，經過伸縮變換后，曲線C變為曲線4Y21，求曲線C的方程并畫出圖形命題意圖本題主要考查曲線與方程，以及平面直角坐標系中的