第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和 考綱傳真1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(對應(yīng)學(xué)生用書第72頁) 基礎(chǔ)知識填充1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nn*，q為非零常數(shù))(2)等比中項：如果在a與b中插入一個數(shù)g，使得a，g，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，g2ab，g，那么g叫作a與b的等比中項即：g是a與b的等比中項a，g，b成等比數(shù)列g(shù)2ab2等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式：ana1qn1.(2)前n項和公式：sn3等比數(shù)列的性質(zhì)已知an是等比數(shù)列，sn是數(shù)列an的前n項和(1)若klmn(k，l，m，nn)，則有akalaman.(2)等比數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)q1，a10或0q1，a10時，數(shù)列an是遞增數(shù)列；當(dāng)q1，a10或0q1，a10時，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)q1時，數(shù)列an是常數(shù)列(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數(shù)列，公比為qm.(4)當(dāng)q1，或q1且n為奇數(shù)時，sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.知識拓展1“g2ab”是“a，g，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件2若q0，q1，則snkkqn(k0)是數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件，此時k.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)滿足an1qan(nn*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)g為a，b的等比中項g2ab()(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為sn.()答案(1)(2)(3)(4)2(2018廣州模擬)已知等比數(shù)列an的公比為，則的值是()a2bcd2a2.3(2017東北三省四市一聯(lián))等比數(shù)列an中，an0，a1a26，a38，則a6() 【導(dǎo)學(xué)號：00090168】a64b128 c256d512a設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，則由解得或(舍去)，所以a6a1q564，故選a4(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9327,27381.5(2018長春模擬)在數(shù)列an中，a12，an12an，sn為an的前n項和若sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列又sn126，126，解得n6.(對應(yīng)學(xué)生用書第72頁)等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(2018合肥模擬)已知sn是各項為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和，a2a416，s37，則a8()a32b64c128d256(2)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_(1)c(2)2n1(1)an為等比數(shù)列，a2a416，a34.a3a1q24，s37，s23，(1q2)3(1q)，即3q24q40，q或q2.an0，q2，則a11，a827128.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有解得或又an為遞增數(shù)列，sn2n1.規(guī)律方法1.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用2在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，在運(yùn)算過程中，應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算變式訓(xùn)練1(1)在等比數(shù)列an中，a37，前3項和s321，則公比q的值為()a1b c1或d1或(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn，若27a3a60，則_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090169】(1)c(2)28(1)根據(jù)已知條件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由題可知an為等比數(shù)列，設(shè)首項為a1，公比為q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由sn，得s6，s3，所以28.等比數(shù)列的判定與證明(2016全國卷)已知數(shù)列an的前n項和sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若s5，求.解(1)證明：由題意得a1s11a1，2分故1，a1，故a10.3分由sn1an，sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.5分由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.7分(2)由(1)得sn1n.9分由s5得15，即5.10分解得1.12分規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nn*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項法：若數(shù)列an中，an0，且aanan2(nn*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nn*)，則an是等比數(shù)列說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定變式訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項和為sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且ansnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項公式解(1)證明：ansnn，an1sn1n1，得an1anan11，即2an1an1，2(an11)an1，即2cn1cn.3分由a1s11得a1，c1a11，從而cn0，.數(shù)列cn是以為首項，為公比的等比數(shù)列.6分(2)由(1)知cnn1n，7分又cnan1，ancn11n，9分當(dāng)n2時，bnanan11nn.又b1a1，適合上式，故bnn.12分等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)(2016安徽六安一中綜合訓(xùn)練)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若 am1am12am(m2)，數(shù)列an的前n項積為tn，若t2m1512，則m的值為()a4 b5 c6 d7(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn，若3，則() 【導(dǎo)學(xué)號：00090170】a2 b cd3(1)b(2)b(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知am1am1a2am(m2)，所以am2，即數(shù)列an為常數(shù)列，an2，所以t2m122m151229，即2m19，所以m5，故選b(2)法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得s3，s6s3，s9s6仍成等比數(shù)列，由已知得s63s3，即s9s64s3，s97s3，.法二：11q33，所以q32.則.規(guī)律方法1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度2等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口變式訓(xùn)練3(1)(2017合肥三次質(zhì)檢)在正項等比數(shù)列an中，a1 008a1 009，則lg a1lg a2lg a2 016()a2 015b2 016c2 015d2 016(2)(2018湖北六校聯(lián)考)在數(shù)列an中，a11，an12an，則snaaaaaa等于()a(2n1) b(124n)c(4n1