課時作業(yè)62圓錐曲線中的最值、范圍與定值、定點問題1已知橢圓c過點m，點f(，0)是橢圓的左焦點，點p，q是橢圓c上的兩個動點，且|pf|，|mf|，|qf|成等差數(shù)列(1)求橢圓c的標準方程；(2)求證：線段pq的垂直平分線經(jīng)過一個定點a.解：(1)設橢圓c的方程為1(ab0)，由已知，得解得橢圓的標準方程為1.(2)證明：設p(x1，y1)，q(x2，y2)，由橢圓的標準方程為1，可知|pf|2x1，同理|qf|2x2，|mf|2，2|mf|pf|qf|，24(x1x2)，x1x22.()當x1x2時，由得xx2(yy)0，.設線段pq的中點為n(1，n)，由kpq，得線段pq的中垂線方程為yn2n(x1)，(2x1)ny0，該直線恒過一定點a.()當x1x2時，p，q或p，q，線段pq的中垂線是x軸，也過點a.綜上，線段pq的中垂線過定點a.2已知橢圓1(ab0)的離心率為，且過點(2，)(1)求橢圓的標準方程；(2)四邊形abcd的頂點在橢圓上，且對角線ac，bd過原點o，若kackbd.求證：四邊形abcd的面積為定值解：(1)由題意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故橢圓的標準方程為1.(2)證明：設直線ab的方程為ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯(lián)立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，由根與系數(shù)的關系得kackbd，y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2.設原點到直線ab的距離為d，則saob|ab|d|x2x1|2，s四邊形abcd4saob8，即四邊形abcd的面積為定值3在平面直角坐標系xoy中，動點p到兩點(，0)，(，0)的距離之和等于4，設點p的軌跡為曲線c，直線l過點e(1，0)且與曲線c交于a，b兩點(1)求曲線c的軌跡方程；(2)aob的面積是否存在最大值，若存在，求出aob的面積的最大值；若不存在，說明理由解：(1)由橢圓定義可知，點p的軌跡c是以(，0)，(，0)為焦點，長半軸長為2的橢圓故曲線c的軌跡方程為y21.(2)aob的面積存在最大值因為直線l過點e(1,0)，所以可設直線l的方程為xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.設點a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中y1y2.解得y1，y2.則|y2y1|.因為saob|oe|y1y2|.設t，t，g(t)t，則g(t)1，故當t時，g(t)0恒成立，則g(t)在區(qū)間，)上為增函數(shù)，所以g(t)g().所以saob，當且僅當m0時取等號所以saob的最大值為.1(2014新課標全國卷)已知點a(0，2)，橢圓e：1(ab0)的離心率為，f是橢圓e的右焦點，直線af的斜率為，o為坐標原點(1)求e的方程；(2)設過點a的動直線l與e相交于p，q兩點，當opq的面積最大時，求l的方程解：(1)設f(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程為y21.(2)當lx軸時不合題意，故設l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當16(4k23)0，即k2時，x1,2.從而|pq|x1x2|.又點o到直線pq的距離d.所以opq的面積sopqd|pq|.設t，則t0，sopq.因為t4，當且僅當t2，即k時等號成立，且滿足0.所以，當opq的面積最大時，l的方程為yx2或yx2.2已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點m(，1)，離心率為.(1)求橢圓的標準方程(2)已知點p(，0)，若a，b為已知橢圓上兩動點，且滿足2，試問直線ab是否恒過定點？若恒過定點，請給出證明，并求出該定點的坐標；若不過，請說明理由解：(1)由題意得，因為橢圓經(jīng)過點m(，1)，所以1.又a2b2c2，由，解得a28，b2c24.所以橢圓方程為1.(2)當直線ab與x軸不垂直時，設直線的方程為ykxm，代入1，消去y整理得(2k21)x24kmx2m280.由0，得8k24m20，(*)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2(km)(x1x2)6m22，得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20，(k21)(km)8