3.3.3 簡單的線性規劃問題 一、教學目標：（一）知識與技能1.從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決；2.了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等概念；會根據條件建立線性目標函數3.了解線性規劃的圖解法，并會用圖解法求線性目標函數的最大（小）值4.培養學生觀察、聯想以及作圖的能力；滲透集合、化歸、數形結合、等價轉化的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力，培養學生應用數學的意識。（二）過程與方法經歷從實際情境中抽象出不等式模型的過程，培養學生數學建模的能力以及數學應用意識（三）情感、態度與價值觀1. 通過具體情景，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，體會不等式對于刻畫不等關系的意義和價值；2. 體會線性規劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規劃問題；3. 通過實例，體驗數學與日常生活的聯系，感受數學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力，培養學生理論聯系實際的觀點二、教學重難點 ：重點：線性規劃的圖解法。難點：從實際情景中抽象出一些簡單的二元線形規劃問題；尋求線性規劃問題的最優解。三、教學過程：（一）創設情景，揭示課題1. 在生活、生產中，經常會遇到資源利用、人力調配、生產安排的等問題，本節課就學習此方面的應用2.問題：在約束條件下，如何求目標函數的最大值？（二）自學導案（三）解決自學導案（四）例題分析例1 設，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值解：由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域由圖知，原點不在公共區域內，當時，即點在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大由圖象可知，當直線經過點時，對應的最大，當直線經過點時，對應的最小，所以，變題：設，式中滿足條件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優解有無數多個，當經過點時，對應最小，例2投資生產A產品時，每生產一百噸需要資金200萬元，需場地200 m，可獲利潤300萬元；投資生產B產品時，每生產一百米需要資金300萬元，需場地100m，可獲利潤200萬元現某單位可使用資金1400萬元，場地900 m，問應作怎樣的組合投資，可獲利最大？分析：資金（百萬元）場地（百平方米）利潤（百萬元）A產品（百噸）223B產品（百米）312限制149A（，）y2x+y=9xO2x+3y=14解設生產A產品x百噸，生產B產品y百米，利潤為S百萬元，則約束條件為：目標函數為，作出可行域（如圖所示），將目標函數變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為，隨著變化的直線族當最大時，S最大，但直線要與可行域相交當直線經過兩條直線的交點時，直線在y軸上的截距最大，此時,因此，生產A產品325t，生產B產品250m時，獲利最大，且最大利潤為1475萬元例3某運輸公司向某地區運送物資，每天至少運送180t該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員每輛卡車每天往返次數為A型車4次，B型車3次每輛卡車每天往返的成本費A型車為320元，B型車為504元試為該公司設計調配車輛方案，使公司花費的成本最低，若只調配A型或B型卡車，所花的成本費分別是多少？解設每天調出A型車輛，B型車輛，公司花費成本元，將題中數據整理成如下表格：A型車B型車物資限制載重（s）610共180車輛數84出車次數43每車每天運輸成本（元）320504則約束條件為 即目標函數為作出可行域：當直線經過直線與軸的交點（7.5，0）時，有最小值，由于（7.5，0）不是整點，故不是最優解由圖可知，經過可行域內的整點，且與原點距離最近的直線是，經過的整點是（8，0），它是最優解答公司每天調出A型車8輛時，花費的成本最低，即只調配A型卡車，所花最低成本費（元）；若只調配B型卡車，則無允許值，即無法調配車輛五、課堂小結：本節課學習了以下內容：1. 線性規劃問題的求解步驟：（1）審：審題（將題目中數據列表），將實際問題轉化為數學問題；（2）設：設出變量，確定約束條件，建立目標函數；（3）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域，作出目標函數線；（4）移：在線性目標函數所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；（5）求：通過解方程組求出最優解；（6）答：回答實際問題2. 對于有實際背景的線性規劃問題，可行域通常是一個凸多邊形區域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個