7 2 7 2 7 2 7 2 靜電場的環路定理靜電場的環路定理靜電場的環路定理靜電場的環路定理電勢電勢電勢電勢 前面介紹了電場前面介紹了電場 電場對電荷有作用力電場對電荷有作用力 電場對電荷電場對電荷 既然有作用力既然有作用力 那么那么 當電荷在電場中移動時當電荷在電場中移動時 電場力電場力 就要做功就要做功 根據力和能量的關系根據力和能量的關系 則能量和電場有關則能量和電場有關 從靜電力作功研究靜電場的重要性質從靜電力作功研究靜電場的重要性質 保守性保守性 一一一一 靜電場力的功靜電場力的功靜電場力的功靜電場力的功 一點電荷一點電荷q 在其周圍產生電場在其周圍產生電場 另有一試驗電荷另有一試驗電荷q0在場中運動在場中運動 電場力作元功電場力作元功 0 dAF dlq E dl 0 2 0 4 q qr dl r 0 2 0 cos 4 q q dl r 0 2 0 4 q q dr r b r E l d q dr a r r a b 0 q q0從從a點移到點移到b點電場力做的功為點電場力做的功為 11 44 0 0 2 0 0 ba r r b a ab rr qq r drqq dAA b a 在此點電荷在此點電荷q形成的靜電場中形成的靜電場中 靜電場對移動電荷靜電場對移動電荷 所做的功僅和移動電荷的始所做的功僅和移動電荷的始 末位置有關末位置有關 與具體路與具體路 徑無關徑無關 點電荷形成的靜電場是保守力場點電荷形成的靜電場是保守力場 可以得到可以得到 對任何靜電場對任何靜電場 無論是由點電荷無論是由點電荷 點電荷系點電荷系 帶電體等帶電體等 電場對移動電荷作功恒與路徑無關電場對移動電荷作功恒與路徑無關 僅與僅與 移動電荷的初移動電荷的初 末位置有關末位置有關 這樣這樣電場力就是保守力電場力就是保守力電場力就是保守力電場力就是保守力 即做功與路徑無關即做功與路徑無關 故故靜電場是保守力場靜電場是保守力場 靜電場是保守力場靜電場是保守力場 二二二二 電勢能電勢能電勢能電勢能 靜電場是保守力場靜電場是保守力場 可以引進一勢能可以引進一勢能 即設在此即設在此 靜電場中的電荷具有靜電場中的電荷具有靜電勢能靜電勢能 簡稱電勢能簡稱電勢能 靜電勢能靜電勢能 簡稱電勢能簡稱電勢能 b b a aab WWldfA 點電點電 勢能勢能 a b 點電點電 勢能勢能 靜電場力作功等于相應電勢能的減少量靜電場力作功等于相應電勢能的減少量靜電場力作功等于相應電勢能的減少量靜電場力作功等于相應電勢能的減少量 a b 0 q E 0 b b abb a a WfdlWqE dlW 規定電勢能的零點規定電勢能的零點 0a a WqE dl 則 無窮遠處的電勢能為零無窮遠處的電勢能為零 2 場中某一點場中某一點 b 的電勢能的電勢能 為零為零 W b 0 如地球的地面如地球的地面 0 b a a WqE dl 則 試驗電荷試驗電荷試驗電荷試驗電荷在靜電場中某點的電勢能在數值上等于在靜電場中某點的電勢能在數值上等于在靜電場中某點的電勢能在數值上等于在靜電場中某點的電勢能在數值上等于 從該點移到電勢能零點處靜電場力所做的功從該點移到電勢能零點處靜電場力所做的功 從該點移到電勢能零點處靜電場力所做的功從該點移到電勢能零點處靜電場力所做的功 0 q 0 q 1 當電荷分布在有限區域時當電荷分布在有限區域時 0 bb ab aa f dlqE dlWW 00 b ab a WW Edl qq a b 0 q E 如圖示點電荷在場中受力如圖示點電荷在場中受力 0 fq E 三三三三 電勢電勢電勢電勢 00 ab WW qq 與試驗電荷無關反映了與試驗電荷無關反映了 電場在電場在a b兩點的性質兩點的性質 ba b a UUldE 電勢零點 a a ldEU 電電勢零點的選擇勢零點的選擇 參考點參考點 任意任意視分析問題方便而定視分析問題方便而定 參考點不同電勢不同參考點不同電勢不同 若選若選b b點的電勢為參考零點點的電勢為參考零點 則則a點的電勢由下式得到點的電勢由下式得到 稱稱a ba b兩點電勢差兩點電勢差 electric potential differenceelectric potential difference 討論討論 理論理論計算計算有限有限帶電體電勢時選帶電體電勢時選無限遠無限遠為參考點為參考點 實際實際應用中或研究電路問題時取應用中或研究電路問題時取大地大地 儀器儀器外殼外殼等等 電勢的單位電勢的單位 SI制制 單位單位 V 伏特伏特 在在靜電場中靜電場中 任意兩點間的電勢差任意兩點間的電勢差 abab ab UUUE dlE dl 通常通常 b a E dl 任意兩點任意兩點a b的電勢差在數值上等于單位正試驗電荷的電勢差在數值上等于單位正試驗電荷 從從 a 點點經經任意路徑到任意路徑到 b 點電場力做的功點電場力做的功 00 b abab a Aq UqE dl 如果電場的電勢分布已知如果電場的電勢分布已知 則試驗電荷則試驗電荷在電場中在電場中 從從a 到到 b 經任意路徑經任意路徑 電場力作的功為電場力作的功為 0 q 1 1 點電荷點電荷Q Q的電場中的電勢分布的電場中的電勢分布 球對稱球對稱 標量標量 正負正負 r ldE dr r Q r 2 0 4 U Q r 4 0 四四四四 電勢的計算電勢的計算電勢的計算電勢的計算 Q Pr E l d P P l dEU rdr r Q r 2 0 4 rdl d 2 2 電勢疊加原理電勢疊加原理 i P P i i P P p ldEldEU 00 i i i i ip r q UU 0 4 1 QQ r dq dUU 0 4 1 i P P ii ldE 0 點電荷系所產生的電場點電荷系所產生的電場 i i EE 空間某點的電勢空間某點的電勢 電荷連續分電荷連續分 布的帶電體布的帶電體 計算電勢的方法計算電勢的方法 1 已知電場強度已知電場強度的分布的分布 利用電勢的定義利用電勢的定義 E 電勢零點 a a ldEU 可可計算電勢的分布計算電勢的分布 2 已知已知q i或 或分布分布 利用點電荷的電勢和利用點電荷的電勢和 電勢疊加原理電勢疊加原理 可求得帶電體在周圍產生的可求得帶電體在周圍產生的 電勢電勢 i i i p r q U 0 4 1 Q r dq U 0 4 1 例例 書例書例7 8 求電偶極子電場中任一點求電偶極子電場中任一點P的電勢的電勢 210 12 2010 21 4 44rr rrq r q r q UUU P 解解 由疊加原理由疊加原理 lr cos 12 lrr 2 21 rrr 2 0 cos 4r lq U p 2 0 0 2 0 4 cos 4 1 r rp r p Up r 其中其中為為和和之間的夾角之間的夾角 l r r r 0 為單位向量為單位向量 l O q q X Y r 1 r 2 r yxP 例例 計算均勻帶電球面的電勢計算均勻帶電球面的電勢如圖如圖 P ldEU dr r Q odl R R r 2 0 4 R Q o 解解 均勻帶電球面電場的分布為均勻帶電球面電場的分布為 r r Q ERr ERr 4 0 2 0 Rr Rr P R Q 0 4 R Q U 0 4 Rr Rr 與電量集中在球心的與電量集中在球心的 點電荷點電荷點電荷點電荷的電勢分布相同的電勢分布相同 圖示圖示 U r 0 R 等勢體等勢體 例例計算電量為計算電量為的帶電球面球心的電勢的帶電球面球心的電勢 Q dU dq R 4 0 UdU dq R QQ 4 0 Q R4 0 R Q o 解解 在球面上任取一電荷元在球面上任取一電荷元 dq dq 則電荷元在球心的電勢為則電荷元在球心的電勢為 由電勢疊加原理由電勢疊加原理 球面上電荷在球心的總電勢球面上電荷在球心的總電勢 思考思考 電量分布電量分布 均勻均勻 圓環圓環 圓圓 弧弧 例例長為長為均勻帶電細桿均勻帶電細桿 電荷線密度為電荷線密度為 如圖如圖 計算計算P點的電勢點的電勢 l l xoP a xdx 解解 取一電荷元取一電荷元dq dxdq 4 4 1 00 xal dx xal dq dU 00 ln 4 4 dxla UdU laxa 例例 平行板電容器兩板間的電勢差平行板電容器兩板間的電勢差 d 0 E ldEU dlE 解解 平行板電容器內部的場強為平行板電容器內部的場強為 兩板間的電勢差兩板間的電勢差 E l d Edl 方向一致方向一致 l dE 均勻場均勻場 EdU 例例 求電荷線密度為求電荷線密度為 的無限長帶電直線的電勢分布的無限長帶電直線的電勢分布 r E 0 2 解解 由由 r rEU d 分析分析 如果仍選擇無限遠為電勢如果仍選擇無限遠為電勢0點點 積分將趨積分將趨 于無限大于無限大 必須選擇某一定點為電勢必須選擇某一定點為電勢0點點 現在選現在選 距離帶電直線為距離帶電直線為a的的P0點為電勢點為電勢0點點 a P0 0 P r rEU d a r r r Ud 0 2 r a ln 2 0 為正時電勢沿為正時電勢沿r降落降落 例例 均勻帶電球體均勻帶電球體 帶電荷為帶電荷為Q 半徑為半徑為R 計算其球內計算其球內 外的電勢分布外的電勢分布 解解 先計算先計算的分布的分布E 4 4 3 0 2 3 0 1 Rr r rQ E Rr R rQ E 球外球外一點一點 P2 的電勢的電勢 20 2 0 2 44 22 2 r Q r drQ ldEU rP P P1 P2 r2 r1 3 3 4 R Q 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 4 R Qr r R QrQ 3 0 1 4 r rQ E 球內球內一點一點 P1 的電勢的電勢 3 8 4 2 1 4 44 2 2 1 0 0 2 1 2 3 0 2 0 3 0 21 1 11 1 R r R Q R Q rR R Q r drQ rdr R Q ldEldEldEU R R r R R rP P 20 4 2 r Q U P 外 3 8 2 2 1 0 1 R r R Q U P 內 五五 五五 靜電場的環路定理靜電場的環路定理靜電場的環路定理靜電場的環路定理 表述表述靜電場中場強沿任意閉合環路的線積分恒等于零靜電場中場強沿任意閉合環路的線積分恒等于零 即即 Edl L 0 場強環路定理場強環路定理場強環路定理場強環路定理 討論討論 靜電場的基本方程靜電場的基本方程 保守場保守場 微分形式微分形式 0 E 有有源源 無旋無旋 Stokes 公式公式 SdAl dA SL S是以是以L為邊界的曲面為邊界的曲面 LS SdEl dE0 z k y j x i 對任意對任意S曲面成立曲面成立 0 E 只能有只能有旋度旋度 六六 六六 等勢面等勢面等勢面等勢面電勢梯度電勢梯度電勢梯度電勢梯度 一一 等勢面等勢面 由電勢相等的點組成的面叫等勢面由電勢相等的點組成的面叫等勢面 滿足方程滿足方程 1 U 2312 UU n CzyxU 可以得到一系列的等勢面可以得到一系列的等勢面 2 U 3 U 等勢面的疏密反映了等勢面的疏密反映了 場的強弱場的強弱 d EdU 2312 CCCCC 當常量當常量C取等間隔數值時取等間隔數值時 二二 電力線與等勢面的關系電力線與等勢面的關系 1 1 電力線處處垂直等勢面電力線處處垂直等勢面 在等勢面上任取兩點在等勢面上任取兩點 a a b b 則則 ba b a UUldE 2 2 電力線指向電勢降的方向電力線指向電勢降的方向 等勢等勢 0 0 a a b b 任取任取 處處有處處有 E U2 U1 U2 U1 Edl a b E dl 電場力作正功可得電場力作正功可得 點電荷的電場線與等勢面點電荷的電場線與等勢面 電偶極子的電場線與等勢面電偶極子的電場線與等勢面 平行板電容器的電場線與等勢面平行板電容器的電場線與等勢面 三三 電勢梯度電勢梯度 U1 U2 E P1 P2 P1 P2是距離很近的兩等勢面上兩點 是距離很近的兩等勢面上兩點 dl dU cosE 場強沿場強沿l方向的分量等于電勢方向的分量等于電勢 沿沿l方向變化率方向變化率 的負值的負值 l d dn dU E nd cosdl dU dn dU cos dn dU dl dU cosdldn 說明電勢沿法線說明電勢沿法線 方向變化率最大方向變化率最大 定義定義電勢梯度電勢梯度 n dn dU gradU 電勢沿電勢沿l方向的變方向的變 化率等于電勢梯化率等于電勢梯 度在度在l方向的投影方向的投影 l dEUUdU 12 l dEUU 21 cosEdl gradUE P1和和P2兩點間的電勢差為兩點間的電勢差為 U2 U1 l E x U E x y U E y z U Ez EkEjEiE zyx ijk UU xyz 電勢梯度電勢梯度 UE z k y j x i UUU Eijk xyz dl dU E cos dn dU E gradUE El U1 U2 E P1 P2 l d nd 例例 書例書例7 9 計算電偶極子電場中任一點的場強計算電偶極子電場中任一點的場強 解解 2 3 22 0 4 1 yx px yxUU xx U Ex 4