四邊形、圓(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)1.在abcd中,下列結論一定正確的是()a.acbdb.a+b=180c.ab=add.ac解析:平行四邊形的對角線不垂直,故a不正確;平行四邊形的對邊互相平行,故由兩直線平行同旁內角互補,可得b正確;平行四邊形的對邊相等,但相鄰的邊不一定相等,故c錯誤;平行四邊形兩對角相等,故d錯誤.答案:b2.如圖,在abcd中,ae,cf分別是bad和bcd的平分線.添加一個條件,仍無法判斷四邊形aecf為菱形的是()a.ae=afb.efacc.b=60d.ac是eaf的平分線解析:由ae,cf分別是bad和bcd的平分線可以證明eaf=ecf,再由abcd得adbc,進而證明aefc,從而證明四邊形aecf是平行四邊形,只有選項c不能證明是菱形.答案:c3.如圖,菱形abcd的對角線ac,bd相交于點o,ac=8,bd=6,以ab為直徑作一個半圓,則圖中陰影部分的面積為()a.25-6b.-6c.-6d.-6解析:根據菱形的性質可知ao=4,bo=3,且aobo,由勾股定理得ab=5.以ab為直徑的半圓的面積為s=,而saob=6,故s陰影=s-saob=-6.選d.答案:d4.如圖,將n個邊長為1 cm的正方形按如圖所示的方式擺放,點a1,a2,an分別是正方形的中心,則n個這樣的正方形重疊部分(陰影部分)的面積和為()a. cm2b. cm2c. cm2d. cm2解析:連接ca1,ea1.a1是正方形pqce的中心,ca1ea1,ca1=ea1,且bca1=dea1=45.又正方形a1fgh,ha1f=90,ba1c=ea1d.bca1dea1,.s正方形pqce=.而將n個邊長為1 cm的正方形按如圖所示的方式擺放,重疊后形成的陰影部分共有(n-1)塊,每一小塊陰影部分面積均為,因此總面積為.答案:c5.如圖,菱形abcd中,ab=2,a=120,點p,q,k分別為線段bc,cd,bd上任意一點,則pk+qk的最小值為()a.1b.c.2d.+1解析:過點k作pkbc于點p,作點p關于直線bd的對稱點p1,pk=p1k,直線p1k與直線cd交于點q,p1kab,由abcd,得qkcd.此時pk+kq的值最小.過點d作dmbc交bc的延長線于點m,bc=cd=2,dm=cdsin 60=,根據題意可知p1q即為菱形abcd的高,p1q=,所以pk+qk的最小值為.答案:b6.如圖,已知直線ab與o相切于點a,o的半徑為2.若oba=30,則ob的長為()a.4b.4c.2d.2答案:b7.如圖,pa切o于點a,op交o于點b.若點b是op的中點,pa=,則的長是()a.b.c.d.答案:b8.如圖,在o中,aob的度數為m,c是上一點,d,e是上不同的兩點(不與a,b兩點重合),則d+e的度數為()a.mb.180-c.90+d.答案:b9.在半徑為1的圓中,長為的弦所對的圓心角的度數是()a.30b.45c.60d.90解析:如圖,由題意,得ab=,oa=ob=1,則oa2+ob2=ab2,故aob=90.答案:d10.如圖,o的圓心在定角(00)變化的函數圖象大致是()解析:連接ob,oc,oa,圓o切am于點b,切an于點c,oba=oca=90,ob=oc=r,ab=ac.boc=360-90-90-=180-.ao平分man,bao=cao=,ab=ac=.s陰影=s四邊形baco-s扇形obc=2r-=r2,r0,s與r之間是二次函數關系.故選c.答案:c二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)11.如圖,在四邊形abcd中,對角線ac,bd交于點o,adbc,請添加一個條件:,使四邊形abcd為平行四邊形(不添加任何輔助線).解析:平行四邊形的判定有:(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義判定法);(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;(4)組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)所有鄰角(每一組鄰角)都互補的四邊形是平行四邊形;(6)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.答案:答案不唯一;ad=bc;(或者abdc)12.如圖,由四個邊長為1的小正方形構成一個大正方形,連接小正方形的三個頂點,可得到abc,則abc中bc邊上的高是.解析:設大正方形aefd的面積為s,根據題意得,sabc=s-saeb-sbfc-sadc=22-12-11-12=.在rtbcf中,f=90,bc=,abc中bc邊上的高是2.答案:13.如圖,已知點a(-1,0)和點b(1,0),半圓a和半圓b均與y軸相切于點o,其直徑cd,ef均和x軸垂直,以o為頂點的兩條拋物線分別經過c,e和d,f,則圖中陰影部分的面積是.解析:觀察圖形,該圖形關于y軸對稱,根據軸對稱的性質,陰影部分的面積即為一個半圓的面積,由題意,半圓的半徑為1,故s陰影=s半圓=.答案:14.如圖,已知ab是o的直徑,ad切o于點a,點c是的中點,則下列結論中成立的是.(填序號)ocae;ec=bc;dae=abe;acoe.解析:點c是的中點,ocbe.ab為圓o的直徑,aebe.ocae,故正確;,bc=ce,故正確;ad為圓o的切線,adoa,dae+eab=90.abe+eab=90,dae=abe,故正確;ac不一定垂直于oe,故錯誤.答案:三、(本大題共4小題,每小題8分,共32分)15.如圖,已知在abcd中,ae=cf,m,n分別是de,bf的中點.求證:四邊形mfne是平行四邊形.證明:由四邊形abcd是平行四邊形可知,ad=bc,a=c.又ae=cf,daebcf.de=bf,aed=bfc.又m,n分別是de,bf的中點,me=nf.又由abcd,得aed=edc.bfc=edc.menf.四邊形mfne是平行四邊形.16.如圖,已知pac=30,在射線ac上順次截取ad=3 cm,db=10 cm,以db為直徑作o交射線ap于e,f兩點,求圓心o到ap的距離及ef的長.解:如圖,過點o作omap于m,pac=30,om=ao.又ad=3,bo=bd=5,ao=8,om=4.連接oe,則oe=5,由勾股定理得em=3,所以ef=6.故圓心o到ap的距離為4,ef的長為6.17.如圖,在正方形abcd中,點m是對角線bd上的一點,過點m作mecd交bc于點e,作mfbc交cd于點f.求證:am=ef.證明:連接mc.正方形abcd中,ad=cd,adm=cdm,又dm=dm,admcdm,am=cm.mecd,mfbc,四邊形cemf是平行四邊形,ecf=90,cemf是矩形,ef=mc,又am=cm,am=ef.18.如圖是“明清影視城”的圓弧形門,小華同學到影視城游玩,很想知道這扇門的相關數據.于是她從景點管理人員處打聽到:這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的,ab=cd=20 cm,bd=200 cm,且ab,cd與水平地面都是垂直的.根據以上數據,請你幫助小華同學計算出這個圓弧形門的最高點離地面的高度是多少?解:過圓心o作oeac,連接ao.設圓o的半徑為r,在rtaoe中,ae=100,oe=r-ab=r-20.ae2+oe2=oa2,1002+(r20)2=r2.解之,得r=260 cm,故這個圓弧形門的最高點離地面的高度為2r=520 cm.四、(本大題共2小題,每小題10分,共20分)19.已知:如圖,在四邊形abcd中,abc=90,cdad,ad2+cd2=2ab2.(1)求證:ab=bc;(2)當bead于e時,試證明:be=ae+cd.證明:(1)連接ac.abc=90,ab2+bc2=ac2.cdad,ad2+cd2=ac2.又ad2+cd2=2ab2,ab2+bc2=2ab2.ab=bc.(2)過c作cfbe于f.bead,四邊形cdef是矩形.abe+bae=90,abe+cbf=90,bae=cbf,baecbf.ae=bf.be=bf+ef=ae+cd.20.如圖,cd為o的直徑,cdab,垂足為點f,aobc,垂足為點e,ao=2.(1)求c的大小;(2)求陰影部分的面積.解:(1)aobc,cdab,ce=eb,af=fb,ceo=afo=90.又coe=aof,oa=oc,aofcoe(aas).af=ce,即bf=bc,又cfb=90.c=30.(2)連接ob.由(1)知aob=2aof=2(90-30)=120,of=oa=1,af=.ab=2.s陰影=s扇形aob-saob=12.五、(本大題共2小題,每小題12分,共24分)21.如圖,點p是菱形abcd對角線ac上的一點,連接dp并延長dp交邊ab于點e,連接bp并延長交邊ad于點f,交cd的延長線于點g.(1)求證:apbapd.(2)已知dffa=12,設線段dp的長為x,線段pf的長為y.求y與x的函數關系式;當x=6時,求線段fg的長.(1)證明:點p是菱形abcd對角線ac上的一點,dap=pab,ad=ab.在apb和apd中,apbapd(sas).(2)解:apbapd,dp=pb,adp=abp.在dfp和bep中,dfpbep(asa),pf=pe,df=be.gdab,.dffa=12,.,即,y=x.當x=6時,y=6=4,pf=pe=4,dp=pb=6,解得fg=5,故線段fg的長為5.22.如圖,已知直線mn交o于a,b兩點,ac是直徑,ad平分cam交o于點d,過點d作demn于點e.(1)求證:de是o的切線;(2)若de=6,ae=3,求o的半徑.(1)證明:連接od.oa=od,oad=oda.oad=dae,oda=dae.domn.demn,ode=dem=90,即odde.點d在o上,de是o的切線.(2)解:aed=90,de=6,ae=3,ad=3.連接cd,ac是o的直徑,adc=aed=90.cad=dae,acdade.,則ac=15(cm).o的半徑是7.5 cm.六、(本題滿分14分)23.如圖1,在正方形abcd中,e,f分別為bc,cd的中點,連接ae,bf,交點為g.(1)求證:aebf;(2)將bcf沿bf對折,得到bpf(如圖2),延長fp交ba的延長線于點q,求sin bqp的值;(3)將abe繞點a逆時針方向旋轉,使邊ab正好落在ae上,得到ahm(如圖3),若am和bf相交于點n,當正方形abcd的面積為4時,求四邊形ghmn的面積.(1)證明:e,f分別是正方形abcd邊bc,cd的中點,cf=be,rtabertbcf,bae=cbf.又bae+bea=90,cbf+bea