甘肅省蘭州市2015屆高三數學3月診斷考試試題 文注意事項：1本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫在答題紙上。2本試卷滿分150分，考試用時120分鐘。答題全部在答題紙上完成，試卷上答題無效。第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，則a b c d2復數的實部是a b c d3已知向量，滿足，則 a b c d 4從數字、中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于的概率為a b c d5在中，內角，的對邊分別為，且=則a b c d 正視圖 側視圖俯視圖6某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是a bc d 7在直三棱柱中，則點到平面的距離為 a b c d8如圖，程序輸出的結果, 則判斷框中應填是否s=s*i輸出s結束開始i=i-1i=12,s=1 a b c d 9已知不等式組所表示的平面區域為，若直線與平面區域有公 共點，則的取值范圍為是a b c d10在直角坐標系中，設是曲線：上任意一點，是曲線在點處的切線，且交坐標軸于,兩點，則以下結論正確的是 a的面積為定值 b的面積有最小值為 c的面積有最大值為 d的面積的取值范圍是11已知橢圓：的左、右焦點分別為、，右頂點為，上頂點為，若橢圓的中心到直線的距離為，則橢圓的離心率a b c d12已知定義在上的可導函數的導函數為，若對于任意實數，有，且為奇函數，則不等式的解集為abcd第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答。第2224題為選考題，考生根據要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，則 14拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于 15已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是 16若函數的圖象與軸交于點，過點的直線與函數的圖象交于、兩點，為坐標原點，則 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（本小題滿分12分） 在等比數列中，已知 （）求數列的通項公式 （）若分別為等差數列的第3項和第5項，試求數列的前項和18（本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，,abcda1b1c1d1，頂點在底面內的射影恰為點（）求證：；（）在上是否存在點，使得平面？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由19（本小題滿分12分）蘭州市為增強市民的環保意識，面向全市征召宣傳志愿者現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示（）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，應從年齡頻率/組距202530354045001002003004005006007o第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（）在（）的條件下，決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率20（本小題滿分12分）已知雙曲線：的一條漸近線為，右焦點到直線的距離為（）求雙曲線的方程；（）斜率為且在軸上的截距大于的直線與曲線相交于、兩點，已知，若，證明：過、三點的圓與軸相切21（本小題滿分12分）已知函數（為自然對數的底數）（）討論函數的單調性；（）若，函數在上為增函數，求實數的取值范圍請從下面所給的22、23、24三題中選定一題作答，如果多答按所答第一題評分。22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講abepcdo如圖，已知切于點，割線交于、兩點，的平分線和、分別交于點、求證:（）； （）23（本小題滿分10分）選修44：極坐標系與參數方程 在直角坐標系中，曲線的參數方程為，（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（） 求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（） 設為曲線上的動點，求點到上點的距離的最小值一、選擇題題號123456789101112答案dcdbcdbbcaab8由題意，s表示從12開始的逐漸減小的若干個整數的乘積，由于1211=132，故此循環體需要執行兩次所以每次執行后i的值依次為11，10,由于i的值為10時，就應該退出循環，再考察四個選項，b符合題意11. 解析：設橢圓的的焦距為，由于直線的方程為，所以，因，所以，解得或（舍），所以二、填空題13. 14. 15. 16. 15解析 ：函數，則， 令得，因為函數有兩個極值點，所以有兩個零點，等價于函數與的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象，過點（0，1）作的切線，設切點為（x0，y0），則切線的斜率，切線方程為. 切點在切線上，則，又切點在曲線上，則，即切點為（1，0）.切線方程為. 再由直線與曲線有兩個交點，知直線位于兩直線和之間，其斜率2a滿足：02a1，解得實數a的取值范圍是.16解析：，的解為，即，而恰為函數圖像的一個對稱中心，、關于對稱 三、解答題17. 解：（）為等比數列 6分（）,又因為為等差數列 12分18. 解：()證明:連接,則平面, 在等腰梯形中,連接 , 平面 6分()設是上的點 因經過、的平面與平面相交與，要是平面，則，即四邊形為平行四邊形 ，此時，即點為的中點. 所以在上存在點,使得平面，此時點為的中點.12分19. 解：（）第3組的人數為0.3100=30, 第4組的人數為0.2100=20, 第5組的人數為0.1100=10. 因為第3,4,5組共有60名志愿者,所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每組抽取的人數分別為: 第3組:6=3； 第4組:6=2； 第5組:6=1； 即應從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人. 6分 （）記第3組的3名志愿者為, ,第4組的2名志愿者為,第5組的1名志愿者為.則從6名志愿者中抽取2名志愿者有: ( ,), (,),( ,),( ,),( ,), ( ,),( ),( ,), ( ,), ( ,), ,), (,), ( ,),( ,),( ,),共有15種. 其中第4組的2名志愿者,至少有一名志愿者被抽中的有:( ,),( ,),( ),( ,), ( ,), (,),( ,),( ,),( ,),共有9種,10分所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為 12分20. 解：（）依題意有， ， 曲線的方程為 6分 （）設直線的方程為，則，的中點為 由 得 ， ，即（舍）或， 點的橫坐標為 過、三點的圓以點為圓心，為直徑點的橫坐標為 過、三點的圓與軸相切 12分21. 解：（）函數的定義域為當時，所以在上為增函數；當時，由得 則:當時,所以函數在上為減函數， 當時, 所以函數在上為增函數. 6分（）當時，在上為增函數，在恒成立，即在恒成立，令，令，在恒成立，即在單調遞增，即，即在單調遞增，所以 12分22. 證明: () 切于點, 平分 , 5分(