第3課時空間點 直線 平面之間的位置關(guān)系 一 考綱點擊1 了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理 2 理解空間直線 平面位置關(guān)系的定義 3 能運用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題 二 命題趨勢1 從考查內(nèi)容看 對本節(jié)的考查以考查點 線 面的位置關(guān)系為主 同時也考查邏輯推理能力與空間想象能力 2 從考查形式看 多以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 有時也出現(xiàn)在解答題中 屬低中檔題 1 平面的基本性質(zhì) 兩點 對點演練 2014 東北三校聯(lián)考 下列命題正確的個數(shù)為 經(jīng)過三點確定一個平面 梯形可以確定一個平面 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 如果兩個平面有三個公共點 則這兩個平面重合 a 0b 1c 2d 3解析 錯誤 正確 答案 c 2 空間中兩直線的位置關(guān)系 1 空間兩直線的位置關(guān)系 0 1 0 2 平行公理和等角定理 平行公理平行于的兩條直線平行 用符號表示 設(shè)a b c為三條直線 若a b b c 則a c 等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行 那么這兩個角相等或互補 同一條直線 銳角或直角 對點演練 1 已知空間中有三條線段ab bc和cd 且 abc bcd 那么直線ab與cd的位置關(guān)系是 a ab cdb ab與cd異面c ab與cd相交d ab cd或ab與cd異面或ab與cd相交 解析 若三條線段共面 如果ab bc cd構(gòu)成等腰三角形 則直線ab與cd相交 否則直線ab與cd平行 若不共面 則直線ab與cd是異面直線 答案 d 2 教材習題改編 如圖所示 在正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別是ab ad的中點 則異面直線b1c與ef所成的角的大小為 解析 連接b1d1 d1c 則b1d1 ef 故 d1b1c為所求 又b1d1 b1c d1c d1b1c 60 答案 60 3 空間直線與平面 平面與平面的位置關(guān)系 1 0 無數(shù) 0 無數(shù) 對點演練 教材習題改編 平行六面體abcd a1b1c1d1中既與ab共面又與cc1共面的棱的條數(shù)為 解析 如圖 與ab和cc1都相交的棱有bc 與ab相交且與cc1平行的棱有aa1 bb1 與ab平行且與cc1相交的棱有cd c1d1 故符合條件的棱共有5條 答案 5 1 公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行 2 異面直線的判定方法 1 判定定理 平面外一點a與平面內(nèi)一點b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線 2 反證法 證明兩線不可能平行 相交或證明兩線不可能共面 從而可得兩線異面 3 公理2的三個推論推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點 有且只有一個平面 推論2 經(jīng)過兩條相交直線 有且只有一個平面 推論3 經(jīng)過兩條平行直線 有且只有一個平面 4 公理的作用 1 公理1的作用 檢驗平面 判斷直線在平面內(nèi) 由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi) 2 公理2的作用 公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷 直線共面 的方法 3 公理3的作用 判定兩平面相交 作兩平面相交的交線 證明多點共線 4 公理4用于證明兩直線平行 題型一點共線 點共面 線共點問題 2014 長春一模 已知正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別為d1c1 c1b1的中點 ac bd p a1c1 ef q 求證 1 d b f e四點共面 2 若a1c交平面dbfe于r點 則p q r三點共線 證明 1 如圖所示 因為ef是 d1b1c1的中位線 所以ef b1d1 在正方體ac1中 b1d1 bd 所以ef bd 所以ef bd確定一個平面 即d b f e四點共面 2 正方體ac1中 設(shè)a1acc1確定的平面為 又設(shè)平面bdef為 因為q a1c1 所以q 又q ef 所以q 則q是 與 的公共點 同理 p點也是 與 的公共點 所以 pq 又a1c r 所以r a1c r 且r 則r pq 故p q r三點共線 歸納提升 1 點共線問題的證明方法證明空間點共線 一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點 再依據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上 2 線共點問題的證明方法證明空間三線共點 先證兩條直線交于一點 再證第三條直線經(jīng)過這點 將問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上 3 點線共面問題的證明方法 1 納入平面法 先確定一個平面 再證有關(guān)點 線在此平面內(nèi) 2 輔助平面法 先證有關(guān)點 線確定平面 再證其余點 線確定平面 最后證明平面 重合 針對訓練1 1 2014 江西模擬 在空間中 下列命題正確的是 a 對邊相等的四邊形一定是平面圖形b 四邊相等的四邊形一定是平面圖形c 有一組對邊平行的四邊形一定是平面圖形d 有一組對角相等的四邊形一定是平面圖形 2 對于四面體abcd 下列命題正確的是 寫出所有正確命題的編號 相對棱ab與cd所在直線異面 由頂點a作四面體的高 其垂足是 bcd三條高線的交點 若分別作 abc和 abd的邊ab上的高 則這兩條高所在的直線異面 分別作三組相對棱中點的連線 所得的三條線段相交于一點 解析 1 由 兩平行直線確定一個平面 知c正確 2 由四面體的概念可知 ab與cd所在的直線為異面直線 故 正確 由頂點a作四面體的高 只有當四面體abcd的對棱互相垂直時 其垂足是 bcd的三條高線的交點 故 錯誤 當da db ca cb時 這兩條高線共面 故 錯誤 設(shè)ab bc cd da的中點依次為e f m n 易證四邊形efmn為平行四邊形 所以em與fn相交于一點 易證另一組對棱中點的連線也過它們的交點 故 正確 答案 1 c 2 解析 過n作np bb1于點p 連接mp 可證aa1 平面mnp aa1 mn 正確 過m n分別作mr a1b1 ns b1c1于點r s 則當m不是ab1的中點 n不是bc1的中點時 直線a1c1與直線rs相交 當m n分別是ab1 bc1的中點時 a1c1 rs a1c1與mn可以異面 也可以平行 故 錯誤 由 正確知 aa1 平面mnp 而aa1 平面a1b1c1d1 平面mnp 平面a1b1c1d1 故 對 綜上所述 其中正確命題的序號是 答案 歸納提升 空間中兩直線位置關(guān)系的判定 主要是異面 平行和垂直的判定 對于異面直線 可采用直接法或反證法 對于平行直線 可利用三角形 梯形 中位線的性質(zhì) 公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理 對于垂直關(guān)系 往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決 針對訓練2 1 2014 金華模擬 在圖中 g n m h分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點 則表示直線gh mn是異面直線的圖形有 填上所有正確答案的序號 2 l1 l2 l3是空間三條不同的直線 則下列命題正確的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3b l1 l2 l2 l3 l1 l3c l1 l2 l3 l1 l2 l3共面d l1 l2 l3共點 l1 l2 l3共面 解析 1 圖 中 直線gh mn 圖 中 g h n三點共面 但m 面ghn 因此直線gh與mn異面 圖 中 連接mg gm hn 因此gh與mn共面 圖 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh與mn異面 所以圖 中g(shù)h與mn異面 2 a選項 l1 l2 l2 l3 則l1與l3的位置關(guān)系可能是相交 平行或異面 b選項正確 c選項 l1 l2 l3 則l1 l2 l3既可能共面 也可能異面 d選項 如長方體共頂點的三條棱為l1 l2 l3 但這三條直線不共面 答案 1 2 b 題型三異面直線所成的角正方體abcd a1b1c1d1中 1 求ac與a1d所成角的大小 2 若e f分別為ab ad的中點 求a1c1與ef所成角的大小 解 1 如圖所示 連接b1c 由abcd a1b1c1d1是正方體 易知a1d b1c 從而b1c與ac所成的角就是ac與a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d與ac所成的角為60 2 如圖所示 連接ac bd 在正方體abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分別為ab ad的中點 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1與ef所成的角為90 歸納提升 求異面直線所成的角一般用平移法 步驟如下 1 一作 即找或作平行線 作出異面直線所成的角 2 二證 即證明作出的角是異面直線所成的角 3 三求 解三角形 求出所作的角 如果求出的角是銳角或直角 則它就是要求的角 如果求出的角是鈍角 則它的補角才是要求的角 創(chuàng)新體驗 構(gòu)造法判斷空間線面位置關(guān)系 典例 2013 課標全國 已知m n為異面直線 m 平面 n 平面 直線l滿足l m l n l l 則 a 且l b 且l c 與 相交 且交線垂直于ld 與 相交 且交線平行于l 規(guī)范解答 若 則m n