大學(xué)物理,電子教案,大學(xué)物理教研組,編寫：李紹新文德華范素芹盧義剛趙純,力學(xué),剛體力學(xué),第四章剛體力學(xué),4.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué),4-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律,返回總目錄,4-2剛體的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,4-3力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,4-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,4-6進(jìn)動(dòng),本章教學(xué)要求：了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念。理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能的概念。理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。了解進(jìn)動(dòng)的概念。,本章重點(diǎn)：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和剛體在繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒定律。剛體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問題本章難點(diǎn)：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體角動(dòng)量守恒定律,返回目錄,下一頁,上一頁,3.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué),返回本章目錄,下一頁,上一頁,剛體在平動(dòng)時(shí)，在任意一段時(shí)間內(nèi)，剛體中所質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，都可代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。,當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。,3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：,剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-1一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2）求制動(dòng)開始后t=25s時(shí)飛輪的加速度；（3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在t=25s時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。,解（1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，,返回本章目錄,下一頁,上一頁,量值為0=21500/60=50rad/s，對于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50S時(shí)刻=0，代入方程=0+t得,從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,（2）t=25s時(shí)飛輪的角速度為,從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,（3）t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度。,的方向與0相同；,的方向垂直于和構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為,由,返回本章目錄,下一頁,上一頁,邊緣上該點(diǎn)的加速度其中的方向與的方向相反，的方向指向軸心.的大小為,的方向幾乎和相同。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-2一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度at+bt3-ct4,式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。,解：飛輪上某點(diǎn)角位置可用表示為at+bt3-ct4將此式對t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為,角加速度是角速度對t的導(dǎo)數(shù)，因此得,由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,42剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律,質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理，即,z軸方向的分量式,4-2-1力矩,略去下標(biāo)z,返回本章目錄,下一頁,上一頁,力矩,轉(zhuǎn)動(dòng)平面,力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),注（1）在定軸動(dòng)問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。,（2）,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,略去下標(biāo)Z，,返回本章目錄,下一頁,上一頁,J=mr2稱為質(zhì)點(diǎn)對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,4-2-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,定義：剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為：,4-2-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)定律,略去下標(biāo)z，有,上式稱剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律。它表明，剛體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,質(zhì)元的質(zhì)量,質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。,質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。,對比：,線動(dòng)量,角動(dòng)量,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-3求質(zhì)量為m、長為l的均勻細(xì)棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直；（3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,解如圖所示，在棒上離軸x處，取一長度元dx，如棒的質(zhì)量線密度為，這長度元的質(zhì)量為dm=dx。,（1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時(shí)，我們有,返回本章目錄,下一頁,上一頁,因l=m，代入得,（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并和棒垂直時(shí)，我們有,返回本章目錄,下一頁,上一頁,（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的B點(diǎn)并和棒垂直時(shí)，我們有,這個(gè)例題表明，同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-4求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。,解設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm=2rdr。可得,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,4-2-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用,1分析問題，視解題方便選定轉(zhuǎn)軸正向。,2根據(jù)右手螺旋法則，如果某力對轉(zhuǎn)軸力矩方向與轉(zhuǎn)軸正向一致為正，否則為負(fù)。合外力矩應(yīng)為各力矩的代數(shù)和。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,4-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能,1.力矩的功,力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱力矩對剛體做功。,力對P點(diǎn)作功：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,因,力矩作功：,對于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,4-3-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能,與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能公式,對比，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,相當(dāng)于慣性質(zhì)量，角速度取代了線速度,4-3-3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理,外力矩所做元功為：,總外力矩對剛體所作的功為：,則物體在時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過角位移時(shí),返回本章目錄,下一頁,上一頁,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,表明：一個(gè)不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能一樣。,3.剛體的重力勢能,即：,質(zhì)心高度為：,對于一個(gè)不太大的質(zhì)量為的物體，它的重力勢能應(yīng)是組成剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重力勢能之和。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-7如圖，沖床上配置一質(zhì)量為5000kg的飛輪，r1=0.3m,r2=0.2m.今用轉(zhuǎn)速為900r/min的電動(dòng)機(jī)借皮帶傳動(dòng)來驅(qū)動(dòng)飛輪，已知電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸直徑為d=10cm。（1）求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。（2）若沖床沖斷0.5mm厚的薄鋼片需用沖力9.80104N，所消耗的能量全部由飛輪提供，問沖斷鋼片后飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻螅?返回本章目錄,下一頁,上一頁,解（1）為了求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，需先求出它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)速。因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上，由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，得,皮帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，電動(dòng)機(jī)的傳動(dòng)軸是主動(dòng)輪，飛輪是從動(dòng)輪。兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比，即飛輪的轉(zhuǎn)速為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,由此得飛輪的角速度,這樣飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是,（2）在沖斷鋼片過程中，沖力F所作的功為,返回本章目錄,下一頁,上一頁,這就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)?由,求得此時(shí)間的角速度為,而飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)?返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,力矩作功：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,【例4-6】如圖4-13，繞在定滑輪上輕繩的一端固定于定滑輪邊上，另一端與一質(zhì)量為m=2.00kg的物體相連，已知定滑輪質(zhì)量M=1.00kg，半徑R=0.100m，且軸承光滑，定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,，其初角速度,=5.00rads，方向垂直于紙面向內(nèi)，求(1)定滑輪的角加速度,(2)定滑輪角速度變化到,時(shí)，物體上升的高度。,解(1)研究定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，選向內(nèi)作為轉(zhuǎn)軸正向，重力、軸支撐力對轉(zhuǎn)軸力矩為零，對轉(zhuǎn)動(dòng)沒有影響,繩張力對轉(zhuǎn)軸力矩為,，則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有,選x軸向上，根據(jù)牛頓定律，有T-mg=ma關(guān)聯(lián)方程,聯(lián)立以上三式解得,(2)研究物體m、定滑輪M及地球組成的系統(tǒng)，在物體m上升、定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，選開始m所在處為重力勢能零點(diǎn)，有,式中，,，代人數(shù)據(jù)，解得h=0.0159m,1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：,4-6剛體角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,我們用沖量矩表示力矩對時(shí)間的積累效果，即沖量矩等于力矩乘以力矩所作用的時(shí)間。上式中的Mdt為沖量矩。,設(shè)剛體tl時(shí)刻角速度為,，t2時(shí)刻角速度為,則對上式兩邊積分，有,上式稱剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，它表明：剛體在一段時(shí)間內(nèi)所受的沖量矩，等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。(4-23)式是角動(dòng)量定理的微分形式。,(4-23),2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,恒量,返回本章目錄,下一頁,上一頁,這就是說：剛體(或質(zhì)點(diǎn)系)對某一定軸所受合外力矩為零，則它對這一固定軸的角動(dòng)量保持不變，這稱為剛體(或質(zhì)點(diǎn)系)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。,四、角動(dòng)量守恒定理,返回本章目錄,下一頁,上一頁,實(shí)際生活中的一些現(xiàn)象,藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合,高！,高！,、芭蕾舞演員的高難動(dòng)作,返回本章目錄,下一頁,上一頁,當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)落地。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,因此，開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-11一勻質(zhì)細(xì)棒長為l，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。,解：這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢能,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,零點(diǎn)，用表示棒這時(shí)的角速度,則,返回本章目錄,下一頁,上一頁,機(jī)械能守恒,（1）,第二階段是碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對O軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則,（2）,式中棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。,返回本章目錄,下一頁,上一頁,第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為,（3）,由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得,由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得,（5）,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,（1）,（2）,返回本章目錄,下一頁,上一頁,亦即l6s；當(dāng)取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為,亦即l6s,棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求結(jié)果為,當(dāng)取正值，則棒向左擺，其條件為,(6),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,（5）,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-12工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kgm2。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量守恒定律可得,為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，于是,以各量的數(shù)值代入得,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,或共同轉(zhuǎn)速為,在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-13恒星晚期在一定條件下，會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā)，這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時(shí)星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每45天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑R0約為2107m，坍縮成半徑R僅為6103m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。,解在星際空間中，恒星不會(huì)受到顯著的外力矩，因此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量J00和J應(yīng)相等。因,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,代入J00=J中，整理后得,由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無線電波、光或X射線。當(dāng)這個(gè)輻射束掃過地球時(shí)，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測到的脈沖星超過300個(gè)。,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例題4-14圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。,解把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為m。可以認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量，,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等于飛船自身的角動(dòng)量，即,在噴氣過程中，以dm表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動(dòng)量為dmr(u+v)，方向與飛船的角動(dòng)量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的速率v(=r)，所以此角動(dòng)量近似地等于dmru。在整個(gè)噴氣過程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，其角動(dòng)量為零。系統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量L1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量，即為,在整個(gè)噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動(dòng)量守恒，即L0=L1，由此得,即,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,于是所需的時(shí)間為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例1一長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。,解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮,其中,(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：,由角動(dòng)量守恒，得：,(1),定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300，得：,將上式與聯(lián)立，并代入J值，得,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例2A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圓盤半徑RA=0.2m,質(zhì)量mA=2kg,B圓盤的半徑RB=0.1m,質(zhì)量mB=4kg.試求兩圓盤對心銜接后的角速度w.,解：以兩圓盤為系統(tǒng)，盡管在銜接過程中有重力、軸對圓盤支持力及軸向正壓力，但他們均不產(chǎn)生力矩；圓盤間切向摩擦力屬于內(nèi)力。因此系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，得到,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,返回本章目錄,下一頁,上一頁,例）質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)盤，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始質(zhì)量為m的人相對轉(zhuǎn)盤靜止在離轉(zhuǎn)軸中心R/2處。開始系統(tǒng)以角速度旋轉(zhuǎn)。然后人相對于轉(zhuǎn)盤以速度v垂直于R方向走動(dòng)（與原轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反），求轉(zhuǎn)盤相對于地的角速度。,已知：,求：,解：以M、m為研究對象,故角動(dòng)量守恒,以地面為參照，建立轉(zhuǎn)軸的正方向(向下)如圖,M,m,返回本章目錄,下一頁,上一頁,開始人和盤繞軸角動(dòng)量為：,M,m,人和轉(zhuǎn)臺繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為,t時(shí)刻人相對地的角速度為：,上式的投影為為：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,M,m,根據(jù)題意，人相對盤的角速度為：,t時(shí)刻系統(tǒng)的角動(dòng)量為：,由系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，可得：,返回本章目錄,下一頁,上一頁,M,m,（3）式代入（2）式