2018年高中數(shù)學第三章不等式3.3二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題學案新人教A版必修5 預習課本P8286，思考并完成以下問題 (1)二元一次不等式是如何定義的？(2)應按照怎樣的步驟畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域？(3)應按照怎樣的步驟畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域？含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式2二元一次不等式組由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組3二元一次不等式(組)的解集滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x，y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(x，y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集4二元一次不等式表示平面區(qū)域在平面直角坐標系中，二元一次不等式AxByC0表示直線AxByC0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界不等式AxByC0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線5二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定(1)直線AxByC0同一側(cè)的所有點的坐標(x，y)代入AxByC，所得的符號都相同(2)在直線AxByC0的一側(cè)取某個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0By0C的符號可以斷定AxByC0表示的是直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域點睛確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法是“線定界，點定域”，定邊界時需分清虛實，定區(qū)域時常選原點(C0)1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)由于不等式2x10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區(qū)域()(2)點(1,2)不在不等式2xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)()(3)不等式AxByC0與AxByC0表示的平面區(qū)域是相同的()(4)二元一次不等式組中每個不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域都是封閉區(qū)域()解析：(1)錯誤不等式2x10不是二元一次不等式，但表示的區(qū)域是直線x的右側(cè)(不包括邊界)(2)錯誤把點(1,2)代入2xy1，得2xy130，所以點(1,2)在不等式2xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)(3)錯誤不等式AxByC0表示的平面區(qū)域不包括邊界，而不等式AxByC0表示的平面區(qū)域包括邊界，所以兩個不等式表示的平面區(qū)域是不相同的(4)錯誤在二元一次不等式組中可以含有一元一次不等式，如也稱為二元一次不等式組(5)錯誤二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是每個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分，但不一定是封閉區(qū)域答案：(1)(2)(3)(4)(5)2在直角坐標系中，不等式y(tǒng)2x20表示的平面區(qū)域是()解析：選C原不等式等價于(xy)(xy)0，因此表示的平面區(qū)域為左右對頂?shù)膮^(qū)域(包括邊界)，故選C.3在不等式2xy60表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A(0,7)B(5,0)C(0,1) D(2,3)解析：選C對于點(0,1)，代入上述不等式200160成立，故此點在不等式2xy60，解得m.答案：二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域典例畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)2xy60；(2)解(1)如圖，先畫出直線2xy60，取原點O(0,0)代入2xy6中，2010660，與點O在直線2xy60同一側(cè)的所有點(x，y)都滿足2xy60，因此2xy60表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(如圖中陰影部分所示)(2)先畫出直線xy50(畫成實線)，如圖，取原點O(0,0)代入xy5，00550，原點在xy50表示的平面區(qū)域內(nèi)，即xy50表示直線xy50上及其右下方的點的集合同理可得，xy0表示直線xy0上及其右上方的點的集合，x3表示直線x3上及其左方的點的集合如圖所示的陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域(1)在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時，應先畫出每個不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可其步驟為：畫線；定側(cè)；求“交”；表示(2)要判斷一個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，只需在它所對應的直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)，從Ax0By0C的正負判定活學活用若關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則正數(shù)k的值為()A1B2C3 D4解析：選B如圖，易知直線kxy10經(jīng)過定點A(0,1)，又知道關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，且k0，所以k1，解得k2，故選B.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的面積典例不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A. B.C. D.解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示可以求得點A的坐標為，點B的坐標為(2，2)，點C的坐標為(8，2)，所以ABC的面積是8(2).答案A求平面區(qū)域的面積的方法求平面區(qū)域的面積，先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積若圖形為規(guī)則的，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，可采取分割的方法，將平面區(qū)域分為幾個規(guī)則圖形求解活學活用不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()A. B.C. D.解析：選C作出平面區(qū)域如圖所示為ABC，由可得A(1,1)，又B(0,4)，C，SABC|BC|xA|1，故選C.用二元一次不等式組表示實際問題典例某廠使用兩種零件A，B裝配兩種產(chǎn)品P，Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2 500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1 200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個零件A,2個零件B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個零件A,8個零件B，該廠在某個月能用的A零件最多14 000個，B零件最多12 000個用數(shù)學關(guān)系式和圖形表示上述要求解設分別生產(chǎn)P，Q產(chǎn)品x件，y件，依題意則有用圖形表示上述限制條件，得其表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分整點)所示用二元一次不等式組表示實際問題的方法(1)先根據(jù)問題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的兩個量用字母表示(2)將問題中所有的量都用這兩個字母表示出來(3)由實際問題中有關(guān)的限制條件或由問題中所有量均有實際意義寫出所有的不等式(4)把這些不等式所組成的不等式組用平面區(qū)域表示出來 活學活用某家具廠制造甲、乙兩種型號的桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成已知木工做一張甲、乙型號的桌子分別需要1 h和2 h，漆工油漆一張甲、乙型號的桌子分別需要3 h和1 h又木工、漆工每天工作分別不得超過8 h和9 h請列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域解：設家具廠每天生產(chǎn)甲，乙型號的桌子的張數(shù)分別為x和y，它們滿足的數(shù)學關(guān)系式為：分別畫出不等式組中各不等式表示的平面區(qū)域，然后取交集，如圖中的陰影部分所示，生產(chǎn)條件是圖中陰影部分的整數(shù)點所表示的條件層級一學業(yè)水平達標1設點P(x，y)，其中x，yN，滿足xy3的點P的個數(shù)為()A10B9C3 D無數(shù)個解析：選A作的平面區(qū)域，如圖所示，符合要求的點P的個數(shù)為10.2不在3x2y3表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A(0,0) B(1,1)C(0,2) D(2,0)解析：選A將(0,0)代入，此時不等式3x2y3不成立，故(0,0)不在3x2y3表示的平面區(qū)域內(nèi)，將(1,1)代入，此時不等式3x2y3成立，故(1,1)在3x2y3表示的平面區(qū)域內(nèi)，將(0,2)代入，此時不等式3x2y3成立，故(0,2)在3x2y3表示的平面區(qū)域內(nèi)，將(2,0)代入，此時不等式3x2y3成立，故(2,0)在3x2y3表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選A.3不等式組表示的平面區(qū)域為()解析：選C取滿足不等式組的一個點(2,0)，由圖易知此點在選項C表示的陰影中，故選C.4已知點M(2，1)，直線l：x2y30，則()A點M與原點在直線l的同側(cè)B點M與原點在直線l的異側(cè)C點M與原點在直線l上D無法判斷點M及原點與直線l的位置關(guān)系解析：選B因為22(1)310,020330，所以點M與原點在直線l的異側(cè)，故選B.5若不等式組表示的平面區(qū)域為，則當a從2連續(xù)變化到1時，動直線xya0掃過中的那部分區(qū)域的面積為()A. B.C. D.解析：選C如圖所示，為BOE所表示的區(qū)域，而動直線xya掃過中的那部分區(qū)域為四邊形BOCD，而B(2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，CDE為直角三角形S四邊形BOCD221.6直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有_個解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示因為直線2xy100過點A(5,0)，且其斜率為2，小于直線4x3y20的斜率，故只有一個公共點(5,0)答案：17平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的形狀是_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖易知平面區(qū)域為等腰直角三角形答案：等腰直角三角形8若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是_解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當ya過A(0,5)時表示的平面區(qū)域為三角形，即ABC，當5a7時，表示的平面區(qū)域為三角形，綜上，當5a7時，表示的平面區(qū)域為三角形答案：5,7)9已知點P(1，2)及其關(guān)于原點的對稱點均不在不等式kx2y10表示的平面區(qū)域內(nèi)，求k的取值范圍解：點P(1，2)關(guān)于原點的對稱點為P(1,2)，由題意，得即解得5k3.故k的取值范圍是5，310已知實數(shù)x，y滿足不等式組：(1)畫出滿足不等式組的平面區(qū)域；(2)求滿足不等式組的平面區(qū)域的面積解：(1)滿足不等式組的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(2)解方程組得A，解方程組得D，所以滿足不等式組的平面區(qū)域的面積為S四邊形ABCDSAEFSBCFSDCE(23)(12)1(31).層級二應試能力達標1如圖陰影部分用二元一次不等式組表示為()A.B.C. D.解析：選B由圖易知平面區(qū)域在直線2xy0的右下方，在直線xy3的左下方，在直線y1的上方，故選B.2原點和點(1,1)在直線xya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是()A(，0)(2，) B0,2C(0,2) D0,2解析：選C因為原點和點(1,1)在直線xya0的兩側(cè)，所以a(2a)0，即a(a2)0，解得0a2.3由直線xy10，xy50和x10所圍成的三角形區(qū)域(包括邊界)用不等式組可表示為()A. B.C. D.解析：選A由題意，得所圍成的三角形區(qū)域在直線xy10的左上方，直線xy50的左下方，及直線x10的右側(cè)，所以所求不等式組為4完成一項裝修工程，木工和瓦工的比例為23，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工資預算2 000元，設木工x人，瓦工y人，請工人數(shù)的限制條件是()A. B.C. D.解析：選C由題意50x40y2 000，即5x4y200，x，yN*，故選C.5不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面區(qū)域的面積為342111.答案：116設關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x02y02，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖得點C的坐標為(m，m)，把直線x2y2轉(zhuǎn)化為斜截式y(tǒng)x1，要使平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x02y02，則點C在直線x2y2的右下方，因此m，故m的取值范圍是.答案：7已知點M(a，b)在由不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，求N(ab，ab)所在的平面區(qū)域的面積解：由題意，得a，b滿足不等式組設nab，mab，則a，b，于是有即這個不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的OAB內(nèi)部(含邊界)，其面積為(22)24，即點N(ab，ab)所在的平面區(qū)域的面積為4.8已知點P在|x|y|1表示的平面區(qū)域內(nèi)，點Q在表示的平面區(qū)域內(nèi)(1)畫出點P和點Q所在的平面區(qū)域；(2)求P與Q之間的最大距離和最小距離解：(1)不等式|x|y|1等價于不等式組等價于由此可作出點P和點Q所在的平面區(qū)域，分別為如圖所示的四邊形ABCD內(nèi)部(含邊界)，四邊形EFGH內(nèi)部(含邊界)(2)由圖易知|AG|(或|BG|)為所求的最大值，|ER|為所求的最小值，易求得|AG|5，|ER|OE|.33.2簡單的線性規(guī)劃問題預習課本P8791，思考并完成以下問題(1)約束條件，目標函數(shù)，可行解，線性規(guī)劃問題是如何定義的？(2)如何求解線性目標函數(shù)的最值問題？線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件變量x，y滿足的一組條件線性約束條件由x，y的二元一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的二元一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題點睛(1)線性約束條件包括兩點：一是變量x，y的不等式(或等式)，二是次數(shù)為1.(2)目標函數(shù)與線性目標函數(shù)的概念不同，線性目標函數(shù)在變量x，y的次數(shù)上作了嚴格的限定：一次解析式，即目標函數(shù)包括線性目標函數(shù)和非線性目標函數(shù)(3)可行解必須使約束條件成立，而可行域是所有的可行解組成的一個集合1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)可行域是一個封閉的區(qū)域()(2)在線性約束條件下，最優(yōu)解是唯一的()(3)最優(yōu)解一定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解()(4)線性規(guī)劃問題一定存在最優(yōu)解()解析：(1)錯誤可行域是約束條件表示的平面區(qū)域，不一定是封閉的(2)錯誤在線性約束條件下，最優(yōu)解可能有一個或多個，也可能有無數(shù)個，也可能無最優(yōu)解，故該說法錯誤(3)正確滿足線性約束條件的解稱為可行解，但不一定是最優(yōu)解，只有使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，才是最優(yōu)解，所以最優(yōu)解一定是可行解(4)錯誤線性規(guī)劃問題不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最優(yōu)解，故該說法是錯誤的答案：(1)(2)(3)(4)2已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為()A3B1C5 D6解析：選C由約束條件作出可行域如圖：由zx2y得yx，的幾何意義為直線在y軸上的截距，當直線yx過直線x1和xy1的交點A(1，2)時，z最小，最小值為5，故選C.3已知實數(shù)x，y滿足若可行域內(nèi)存在點使得x2ya0成立，則a的最大值為()A1 B1C4 D5 解析：選D作出不等式對應的可行域如圖所示，由x2ya0可得yx，平移直線yx，當直線yx經(jīng)過點A時，直線yx的截距最大，此時a最大，由解得故A(1,2)，此時a的最大值是ax2y1225.4已知實數(shù)x，y滿足條件則的取值范圍是_解析：由約束條件作出可行域如圖所示 ，所以即是可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，故可得0,2，所以.答案：求線性目標函數(shù)的最大(小)值典例設z2xy，變量x，y滿足條件求z的最大值和最小值解作出不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示把z2xy變形為y2xz，則得到斜率為2，在y軸上的截距為z，且隨z變化的一組平行直線由圖可以看出，當直線z2xy經(jīng)過可行域上的點A時，截距z最大，經(jīng)過點B時，截距z最小解方程組得A點坐標為(5,2)，解方程組得B點坐標為(1,1)，z最大值25212，z最小值2113.解線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域(2)移：在線性目標函數(shù)所表示的一組平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線(3)求：通過解方程組求出最優(yōu)解(4)答：根據(jù)所求得的最優(yōu)解得出答案活學活用1若實數(shù)x，y滿足不等式組目標函數(shù)tx2y的最大值為2，則實數(shù)a的值是()A0B1C2 D3解析：選C作出滿足條件的可行域(如圖)，由目標函數(shù)tx2y，得直線yxt在點處取得最大值，即tmax224a2，得a2，故選C.2已知實數(shù)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z2xay僅在點(3,4)取得最小值，則a的取值范圍是_解析：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖所示，若a0，則目標函數(shù)為z2x，即此時函數(shù)在A(3,4)時取得最大值，不滿足條件當a0，由z2xay得yx，若a0，目標函數(shù)斜率0，此時平移yx，得yx在點A(3,4)處的截距最大，此時z取得最大值，不滿足條件若a0，目標函數(shù)斜率0，要使目標函數(shù)yx僅在點A(3,4)處取得最小值，則kAB1 ，a，所以，由圖可知直線過點A時，z取得最大值又x，yN，所以點A不是最優(yōu)解點(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域內(nèi)，逐一驗證可得，當x2，y6時，z取得最大值，故選D.層級一學業(yè)水平達標1設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)zx6y的最大值為()A3B4C18D40解析：選C由題意作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示作直線x6y0并向右上平移，由圖可知，過點A(0,3)時zx6y取得最大值，最大值為18.2某服裝制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的絲綢料，做一條褲子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的絲綢料，做一條裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的絲綢料，做一條褲子的純收益是20元，一條裙子的純收益是40元，為了使收益達到最大，若生產(chǎn)褲子x條，裙子y條，利潤為z，則生產(chǎn)這兩種服裝所滿足的數(shù)學關(guān)系式與目標函數(shù)分別為()A.z20x40yB.z20x40yC.z20x40yD.z40x20y解析：選A由題意知A正確3已知變量x，y滿足約束條件則的取值范圍是()A.B.6，)C(，36，) D(3,6解析：選A作出可行域，如圖中陰影部分所示，可理解為可行域中一點與原點的連線的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范圍是.4某學校用800元購買A，B兩種教學用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A，B兩種用品應各買的件數(shù)為()A2,4 B3,3C4,2 D不確定解析：選B設買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則求z800100x160y取得最小值時的整數(shù)解(x，y)，用圖解法求得整數(shù)解為(3,3)5已知若zaxy的最小值是2，則a的值為()A1 B2C3 D4解析：選B作出可行域，如圖中陰影部分所示，又zaxy的最小值為2，若a2，則(1,0)為最優(yōu)解，所以a2；若a2，則(3,4)為最優(yōu)解，解得a，舍去，故a2.6若點P(m，n)在由不等式組所確定的區(qū)域內(nèi)，則nm的最大值為_解析：作出可行域，如圖中的陰影部分所示，可行域的頂點坐標分別為A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，設目標函數(shù)為zyx，則yxz，其縱截距為z，由圖易知點P的坐標為(2,5)時，nm的最大值為3.答案：37已知x，y滿足約束條件則x2y2的最小值是_解析：畫出滿足條件的可行域(如圖)，根據(jù)表示可行域內(nèi)一點到原點的距離，可知x2y2的最小值是|AO|2.由得A(1,2)，所以|AO|25.答案：58鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為_(百萬元)解析：設購買鐵礦石A，B分別為x，y萬噸，購買鐵礦石的費用為z(百萬元)，則目標函數(shù)z3x6y.由得記P(1,2)，畫出可行域，如圖所示當目標函數(shù)z3x6y過點P(1，2)時，z取到最小值，且最小值為zmin316215.答案：159若x，y滿足約束條件(1)求目標函數(shù)zxy的最值；(2)若目標函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直線xy0，過A